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第三章 函数的概念与性质单元测试卷（B卷 能力提升）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023春·四川成都·高一校联考期末）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是减函数
C．是奇函数 D．是偶函数
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义及单调性可判断AB，再由奇函数的定义判断CD.
【详解】函数为幂函数，则，解得或.
当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A；
当时，在区间上单调递减，满足题意.
函数在和上单调递减，但不是减函数，排除B；
因为函数定义域关于原点对称，且，
所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.
故选：C.
2．（2022秋·四川成都·高一校考期中）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】直接根据全称命题的否定得到答案.
【详解】命题“，”的否定是：，.
故选：B.
3．（2022秋·四川成都·高一校考期中）已知则（ ）
A．7 B．2 C．10 D．12
【答案】D
【分析】根据分段函数的定义计算．
【详解】由题意．
故选：D．
4．（2022秋·四川成都·高一校考期中）已知是定义在[a - 1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（ ）
A．－ B． C．－ D．
【答案】B
【分析】由偶函数的定义得且a－1＝－2a求出a、b，然后求a＋b
【详解】∵在[a - 1，2a]上是偶函数
∴有：b＝0，且a－1＝－2a
∴a＝
∴a＋b＝
故选：B
【点睛】本题考查了函数的奇偶性；根据偶函数的定义且定义域关于原点对称求参数值
5．（2022秋·四川成都·高一校考期中）函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】化简函数为分段函数，利用解析式即判断图象.
【详解】函数的定义域为，，所以C中的图象满足题意.
故选：C.
【点睛】方法点睛：本题考查由解析式选函数图象问题，可由解析式研究函数的性质，如奇偶性，单调性，对称性等等，研究函数值的变化规律，特殊的函数值等等用排除法确定正确选项．
6．（2022秋·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考期中）下列函数中与函数是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对于A、B：定义域不同，即可判断；
对于C：定义域相同，但解析式不同，即可判断；
对于D：定义域相同，解析式也相同，即可判断是同一函数.
【详解】函数的定义域为R.
对于A：的定义域为，故与函数不是同一函数.故A错误；
对于B：的定义域为，故与函数不是同一函数.故B错误；
对于C：的定义域为R，但是，故与函数不是同一函数.故C错误；
对于D：的定义域为R，且，故与函数是同一函数.故D正确.
故选：D.
7．（2022秋·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考期中）已知函数若的最小值为，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求解分段函数在每一段定义区间内的最小值，结合函数在整体定义域内的最小值得到关于a的不等式组，解不等式组得到a的取值范围.
【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，
即当时，函数的最小值为；
当时，，
要使得函数的最小值为，
则满足解得．
故选：A．
8．（2022秋·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考期中）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意，即不等式的解集为，分，，三种情况讨论，即得解
【详解】函数的定义域为，即不等式的解集为
（1）当时，得到，显然不等式的解集为；
（2）当时，二次函数开口向下，函数值不恒大于0，故解集为不可能．
（3）当时，二次函数开口向上，由不等式的解集为，
得到二次函数与轴没有交点，即，即，解得；
综上，的取值范围为
故选：B
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2022秋·四川成都·高一校考期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】逐一判断奇偶性和单调性即可求解
【详解】对于A：的定义域为，且，
所以为奇函数，故A错误；
对于B：的定义域为，且，所以为偶函数，
当时，由一次函数的性质可知，在上单调递增，
即在上单调递增，故B正确；
对于C：的定义域为，且，
所以为偶函数，由幂函数的性质可知，在上单调递增，故C正确；
对于D：的定义域为，且，
所以为奇函数，故D错误；
故选：BC
10．（2022秋·四川成都·高一校考期中）函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
【答案】ABD
【分析】根据奇函数的定义并取特值即可判定；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得在上有最大值，进而判定；利用奇函数的单调性性质判定；利用奇函数的定义根据时的解析式求得时的解析式，进而判定．
【详解】由得，故正确；
当时，，且存在使得，
则时，，，且当有,
∴在上有最大值为1，故正确；
若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误；
若时，，则时，，，故正确．
故选：．
【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．
11．（2022秋·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考期中）已知幂函数的图像经过，则幂函数具有的性质是（ ）
A．在其定义域上为增函数 B．在上单调递减
C．奇函数 D．定义域为
【答案】BC
【分析】设幂函数，将代入解析式即可求出解析式，根据幂函数性质判断选项即可.
【详解】设幂函数，
幂函数图象过点，
，
，
定义域为，满足，是奇函数，值域为，在定义域内不单调，在上单调递减.
故选：BC
12．（2022秋·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考期中）若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据条件可得“理想函数”不仅为奇函数，又为单调递减函数，其中选项ABC可直接判断单调性和奇偶性，选项D通过画图判断单调性和奇偶性.
【详解】根据条件可得“理想函数”不仅为奇函数，又为单调递减函数，
对于A.，函数不为奇函数，故不为“理想函数”；
对于B.为定义域上的单调递减函数，也为奇函数，故为“理想函数”；
对于C.为定义域上的单调递增函数，故不为“理想函数”；
对于D.的图像如下：
由图像可得该函数为定义域上的单调减函数，也为奇函数，故为“理想函数”；
故选：BD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2022秋·四川成都·高一校考期中）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】利用二次根式被开方数非负和分式分母不为零，列不等式组可求得答案
【详解】由题意得，解得且，
所以函数的定义域为，
故答案为：
14．（2022秋·四川成都·高一校考期中）设为定义在上的偶函数，当时，．若方程有四个解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，
作出函数的图像，由数形结合法分析即可得答案．
【详解】因为函数是定义在上的偶函数且当时，，
所以函数图像关于轴对称，
作出函数的图像：
若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，
由图像可知：时，即有4个交点.
故的取值范围是，
故答案为：
15．（2022秋·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考期中）已知为上的偶函数，当，函数，那么当时= ．
【答案】
【解析】设设，则，进而得，再结合偶函数性质得当时，.
【详解】解：设，则，
由于当，函数，
所以，
因为函数为上的偶函数，
所以，
所以.
故当时，.
故答案为：
16．（2022秋·四川成都·高一成都外国语学校校考期中）已知的定义域是，则函数的定义域是 .
【答案】
【分析】由已知的定义域求出函数的定义域，从而求出函数的定义域．
【详解】解：因为的定义域是，
所以，所以．
函数应满足，解得．
函数的定义域为．
故答案为：．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022秋·四川成都·高一校考期中）已知函数，且．
(1)求a的值；
(2)判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．
【答案】(1)4
(2)在区间上单调递减，证明见解析
【分析】（1）直接根据即可得出答案；
（2）对任意，且，利用作差法比较的大小关系，即可得出结论.
【详解】（1）解：由得，解得；
（2）解：在区间内单调递减，
证明：由（1）得，
对任意，且，
有，
由，，得，，又由，得，
于是，即，
所以在区间上单调递减．
18．（2022秋·四川成都·高一校考期中）已知关于的不等式的解集为或．
(1)求的值；
(2)当，且满足＝1时，有恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，利用韦达定理可列出方程组，即得；
（2）利用基本不等式求得的最小值，根据恒成立可得，即得.
【详解】（1）因为不等式的解集为或，
所以1和2是方程的两个实数根且，
所以，解得，
经检验满足条件，
所以；
（2）由（1）知，于是有，
故，
（当时等号成立）
依题意有，即，
解得，
所以的取值范围为.
19．（2022秋·四川成都·高一校考期中）已知函数.
(1)若函数在上单调递增，求实数m的取值范围；
(2)若函数在的最小值为7，求实数m的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）化为分段函数，结合单调性得到实数m的取值范围；（2）化为分段函数，对分类讨论，结合最小值为7，求出实数m的值，注意舍去不合要求的值.
【详解】（1），即在上单调递减，在上单调递增，若函数在上单调递增，则，所以实数m的取值范围是；
（2）,
①当时，在上单调递增，故，解得：或3（舍去）；
②当时，，解得：（舍去）；
③当时，在上单调递增，在上单调递减，且更靠近1，所以，解得：或（舍去）；
④当时，在上单调递增，在上单调递减，且更靠近2，所以，解得：（舍去）或3（舍去）；
⑤当时，在上单调递增，故，解得：（舍去）或3（舍去）；
综上：或.
20．（2022秋·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考期中）已知函数
（1）求奇偶性
（2）画出函数的图像：
（3）求，的值域
【答案】（1）奇函数；（2）作图见解析；（3）.
【解析】（1）先求函数的定义域得，再求的值即可得答案；
（2）结合二次函数的图象和奇函数的性质即可得函数图象；
（3）根据（2）中的函数图象即可得值域.
【详解】解：（1）∵
∴为奇函数
（2）当时，
当时，
当时，
∴
∴的函数图象为
（3）由（2）可知，当和时函数单调递增，时函数单调递减，
所以，，的值域为
21．（2022秋·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考期中）已知二次函数（a，且），．
(1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间；
(2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围．
【答案】(1)，减区间（ ∞， 1]，增区间 [ 1，＋∞）
(2)
【分析】（1）根据函数的最小值为，可得，且，可得的值，从而得到的解析式，根据对称轴和开口方向写单调区间；
（2）分离参数,求解二次函数在区间上的最小值，即可得的范围．
【详解】（1）由题意知，且，
∴．
∴，
因为函数对称轴，开口向上，
∴单调减区间为（ ∞， 1]，单调增区间为[ 1，＋∞）；
（2）在区间上恒成立，
转化为在上恒成立．
设，
则在上递减．
∴．
∴，
即的取值范围为．
22．（2022秋·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考期中）已知函数对任意的实数，，都有，且当时，有.
（1）求的值；
（2）求证：在上为增函数；
（3）若，且关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）利用赋值法，m＝n＝0求f（0）；
（2）设x1，x2是R上任意两个实数，且x1＜x2，令m＝x2﹣x1，n＝x1，通过函数的单调性的定义直接证明f（x）在R上为增函数；
（3）由原不等式可化为f（ax﹣2+x﹣x2）+1＜3，化为f[﹣x2+（a+1）x﹣2]＜f（1），对任意的x∈[﹣1，+∞）恒成立，然后构造函数g（x）＝x2﹣（a+1）x+3，即g（x）min＞0成立即可，利用二次函数的性质，通过分类讨论求解实数a的取值范围．
【详解】（1）由，故此令，则，则；
（2）设x1，x2是R上任意两个实数，且x1＜x2，则令m＝x2﹣x1，n＝x1，
则f（x2）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1，所以f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）﹣1，
由x1＜x2得x2﹣x1＞0，所以f（x2﹣x1）＞1，故f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），
故此，函数为上增函数；
（3）由已知条件得：，
故此，∵，∴，
∴，由（2）可知f（x）在R上为增函数，
∴，即，令，即成立即可.
①当时，即，在单调递增，∴，∴∴
②当时，即，在先递减后递增，∴，
∴，解得，∴.
综上，∴.
【点睛】关键点点睛：在（3）转化为在恒成立，构造函数，利用二次函数的性质，通过分类讨论求解最小值.
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第三章 函数的概念与性质单元测试卷（B卷 能力提升）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023春·四川成都·高一校联考期末）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是减函数
C．是奇函数 D．是偶函数
2．（2022秋·四川成都·高一校考期中）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2022秋·四川成都·高一校考期中）已知则（ ）
A．7 B．2 C．10 D．12
4．（2022秋·四川成都·高一校考期中）已知是定义在[a - 1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（ ）
A．－ B． C．－ D．
5．（2022秋·四川成都·高一校考期中）函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022秋·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考期中）下列函数中与函数是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022秋·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考期中）已知函数若的最小值为，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考期中）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2022秋·四川成都·高一校考期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022秋·四川成都·高一校考期中）函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
11．（2022秋·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考期中）已知幂函数的图像经过，则幂函数具有的性质是（ ）
A．在其定义域上为增函数 B．在上单调递减
C．奇函数 D．定义域为
12．（2022秋·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考期中）若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2022秋·四川成都·高一校考期中）函数的定义域为 .
14．（2022秋·四川成都·高一校考期中）设为定义在上的偶函数，当时，．若方程有四个解，则实数的取值范围是 ．
15．（2022秋·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考期中）已知为上的偶函数，当，函数，那么当时= ．
16．（2022秋·四川成都·高一成都外国语学校校考期中）已知的定义域是，则函数的定义域是 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022秋·四川成都·高一校考期中）已知函数，且．
(1)求a的值；
(2)判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．
18．（2022秋·四川成都·高一校考期中）已知关于的不等式的解集为或．
(1)求的值；
(2)当，且满足＝1时，有恒成立，求的取值范围．
19．（2022秋·四川成都·高一校考期中）已知函数.
(1)若函数在上单调递增，求实数m的取值范围；
(2)若函数在的最小值为7，求实数m的值.
20．（2022秋·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考期中）已知函数
（1）求奇偶性
（2）画出函数的图像：
（3）求，的值域
21．（2022秋·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考期中）已知二次函数（a，且），．
(1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间；
(2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围．
22．（2022秋·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考期中）已知函数对任意的实数，，都有，且当时，有.
（1）求的值；
（2）求证：在上为增函数；
（3）若，且关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
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