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第三章 函数的概念与性质单元测试卷（A卷 基础巩固）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2020秋·湖北武汉·高一校联考期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·贵州贵阳·高一校联考期中）若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020秋·湖北武汉·高一校联考期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考期中）已知函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则不等式f（2x﹣1）＞f（x﹣2）的解集为（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（1，+∞） D．（0，1）
5．（2022秋·贵州贵阳·高一校联考期中）已知一次函数满足，，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022秋·贵州贵阳·高一校联考期中）偶函数在区间上单调递减，则函数在区间上（ ）
A．单调递增，且有最小值 B．单调递增，且有最大值
C．单调递减，且有最小值 D．单调递减，且有最大值
7．（2022秋·广东惠州·高一惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）已知函数那么的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·广东惠州·高一惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2022秋·贵州贵阳·高一校联考期中）下列四个函数中，与表示不是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020秋·湖北武汉·高一校联考期中）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
11．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考期中）关于函数的性质描述，正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．在定义域上是增函数 D．的图象关于原点对称
12．（2022秋·贵州贵阳·高一校联考期中）若幂函数的图象经过点，则函数具有的性质是（ ）
A．在定义域内是减函数 B．图象过点
C．是奇函数 D．其定义域是
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考期中）已知幂函数的图象过点，则
14．（2022秋·贵州贵阳·高一校联考期中）函数的定义域是 ．
15．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考期中）已知，若，则 ．
16．（2020秋·湖北武汉·高一校联考期中）二次不等式的解集为，则的值为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2020秋·湖北武汉·高一校联考期中）已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)根据定义证明函数在区间函数上单调递减.
18．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考期中）求下列函数的解析式.
(1)已知二次函数满足，求的解析式；
(2)已知函数满足，，求的解析式.
19．（2022秋·贵州贵阳·高一校联考期中）已知函数，
（1）证明在上是增函数；
（2）求在上的最大值及最小值.
20．（2020秋·湖北武汉·高一校联考期中）已知二次函数满足，且的最小值是．
求的解析式；
若关于x的方程在区间上有唯一实数根，求实数m的取值范围；
函数，对任意，都有恒成立，求实数t的取值范围．
21．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考期中）已知函数，.
(1)若函数的图象经过点，求实数的值；
(2)在（1）条件下，求不等式的解集；
(3)当时，函数的最小值为1，求当时，函数的最大值.
22．（2022秋·贵州贵阳·高一校联考期中）设函数.
（1）若，解不等式；
（2）若对一切实数，恒成立，求实数的取值范围.
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第三章 函数的概念与性质单元测试卷（A卷 基础巩固）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2020秋·湖北武汉·高一校联考期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形可得阴影部分表示的集合为，求出即可.
【详解】根据图形可得阴影部分表示的集合为,
.
故选：C.
【点睛】本题考查根据图形判断集合运算，属于基础题.
2．（2022秋·贵州贵阳·高一校联考期中）若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义可以排除C选项，根据定义域与值域的概念排除A，D选项.
【详解】对于A选项，当时，没有对应的图像，不符合题意；
对于B选项，根据函数的定义本选项符合题意；
对于C选项，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合题意；
对于D选项，值域当中有的元素在集合中没有对应的实数，不符合题意.
故选：B．
3．（2020秋·湖北武汉·高一校联考期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求定义域，分母不为0，即：，再根据抽象函数的定义域的求法可得：，联立即可的解.
【详解】有意义需，解得，
所以的定义域为.
故选：C.
【点睛】本题考查了求函数定义域，考查了分母不为0以及求抽象函数定义域，属于基础题.
4．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考期中）已知函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则不等式f（2x﹣1）＞f（x﹣2）的解集为（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（1，+∞） D．（0，1）
【答案】B
【解析】根据偶函数性质分析可得f（2x﹣1）＞f（x﹣2） f（|2x﹣1|）＞f（|x﹣2|） |2x﹣1|＞|x﹣2|，变形解可得不等式的解集，即可得答案．
【详解】根据题意，函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，
则f（2x﹣1）＞f（x﹣2） f（|2x﹣1|）＞f（|x﹣2|） |2x﹣1|＞|x﹣2|，
变形可得即x2＞1，
解可得：x＜﹣1或x＞1，
即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
故选：B．
【点睛】本题考查函数不等式的求解，涉及函数的单调性与奇偶性，在函数为偶函数时，可充分利用偶函数的性质，将问题转化为函数在上的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
5．（2022秋·贵州贵阳·高一校联考期中）已知一次函数满足，，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设出一次函数解析式，根据题目所给条件列方程组，解方程组求得解析式.
【详解】设一次函数，依题意，解得，所以.
故选B.
【点睛】本小题主要考查待定系数法求一次函数解析式，考查方程的思想，属于基础题.
6．（2022秋·贵州贵阳·高一校联考期中）偶函数在区间上单调递减，则函数在区间上（ ）
A．单调递增，且有最小值 B．单调递增，且有最大值
C．单调递减，且有最小值 D．单调递减，且有最大值
【答案】A
【分析】根据偶函数的性质分析即得解.
【详解】解：偶函数在区间上单调递减，
则由偶函数的图象关于y轴对称，则有在上单调递增，
即有最小值为，最大值
对照选项，A正确．
故选：A
7．（2022秋·广东惠州·高一惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）已知函数那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数，将自变量分别代入对应解析式进行求解函数值即可.
【详解】已知，
，
得.
故选：B
8．（2022秋·广东惠州·高一惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合二次函数和分段函数性质，研究给定函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答.
【详解】因为开口向下的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减；
为开口向上的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减，且，因此函数在R上单调递减，则，即，
解得或，
所以实数的取值范围是。
故选：D
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2022秋·贵州贵阳·高一校联考期中）下列四个函数中，与表示不是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】的定义域为，分别判断四个选项中函数的定义域和对应关系即可求解.
【详解】的定义域为，
对于A：定义域为，定义域不同所以不是同一函数，故选项A符合题意；
对于B：且定义域为，定义域和对应关系都相同，所以是同一函数，故选项B不符合题意；
对于C：对应关系不一致，所以不是同一函数，故选项C符合题意；
对于D：的定义域为定义域不同所以不是同一函数，故选项D符合题意；
故选：ACD
10．（2020秋·湖北武汉·高一校联考期中）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
【答案】BD
【分析】根据图表逐项判断即可
【详解】在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；
由题中图象知，B正确；
甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；
当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得，D正确.
故选：BD
11．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考期中）关于函数的性质描述，正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．在定义域上是增函数 D．的图象关于原点对称
【答案】ABD
【解析】由被开方式非负和分母不为，解不等式可得的定义域，可判断A；化简，讨论，，分别求得的范围，求并集可得的值域，可判断B；由，可判断C；由奇偶性的定义可判断为奇函数，可判断D；
【详解】对于A，由，解得且，
可得函数的定义域为，故A正确；
对于B，由A可得，即，
当可得，
当可得，可得函数的值域为，故B正确；
对于C，由，则在定义域上是增函数，故C 错误；
对于D，由的定义域为，关于原点对称，
，则为奇函数，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题考查了求函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，属于中档题.
12．（2022秋·贵州贵阳·高一校联考期中）若幂函数的图象经过点，则函数具有的性质是（ ）
A．在定义域内是减函数 B．图象过点
C．是奇函数 D．其定义域是
【答案】BC
【解析】先由已知条件求出函数解析式，然后对选项依次分析判断即可
【详解】解：因为幂函数的图象经过点，
所以，解得，
所以，
由反比例函数的性质可知，在和上递减，所以A错误；
当时，，所以函数图象过点，所以B正确；
因为，所以为奇函数，所以C正确；
函数的定义域为，所以D错误，
故选：BC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考期中）已知幂函数的图象过点，则
【答案】3
【分析】先求得幂函数的解析式，再去求函数值即可.
【详解】设幂函数，则，则，
则，则
故答案为：3
14．（2022秋·贵州贵阳·高一校联考期中）函数的定义域是 ．
【答案】且/
【分析】根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可．
【详解】要使函数有意义，则，得，
即且，即函数的定义域为且．
故答案为：且．
15．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考期中）已知，若，则 ．
【答案】/.
【分析】先利用换元法求出函数解析式，再由解方程可求出的值.
【详解】令，则，
所以，
因为，
所以，解得，
故答案为：
16．（2020秋·湖北武汉·高一校联考期中）二次不等式的解集为，则的值为 .
【答案】6
【分析】由二次不等式与二次方程的关系可得，从而得解.
【详解】二次不等式的解集为，
则，且的两个根为和.
所以，解得.
所以
【点睛】本题主要考查了二次方程与二次不等式的关系，属于基础题.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2020秋·湖北武汉·高一校联考期中）已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)根据定义证明函数在区间函数上单调递减.
【答案】(1)是奇函数，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）奇偶性的判定可先求函数的定义域并判断其是否关于原点对称，再验证之间的关系；
（2）利用函数单调性的定义可证明,先取值且，再作差并判定符号比较大小，即可证明.
【详解】（1）是奇函数，证明如下：
函数的定义域为且关于原点对称,
又
是奇函数.
（2）证明：设且，则
且即
即
函数在上是减函数.
18．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考期中）求下列函数的解析式.
(1)已知二次函数满足，求的解析式；
(2)已知函数满足，，求的解析式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，代入，让两边系数相等即可；
（2）把用替代，两个式子联立，消去，即得解.
【详解】（1）设，
，
，
∴，
故，
解得，
，
（2）在①中
把用替代，得②，
由①②联立消去得，
.
19．（2022秋·贵州贵阳·高一校联考期中）已知函数，
（1）证明在上是增函数；
（2）求在上的最大值及最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）当时，有最小值2；当时，有最大值.
【解析】（1）根据单调性的定义，直接证明，即可得出结论；
（2）根据（1）的结果，确定函数在给定区间的单调性，即可得出结果.
【详解】（1）证明：在上任取，，且，
，，
，，，
，即，
故在上是增函数；
（2）解：由（1）知：在上是增函数，
当时，有最小值2；当时，有最大值.
【点睛】本题主要考查证明函数单调性，以及由函数单调性求最值，属于常考题型.
20．（2020秋·湖北武汉·高一校联考期中）已知二次函数满足，且的最小值是．
求的解析式；
若关于x的方程在区间上有唯一实数根，求实数m的取值范围；
函数，对任意，都有恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】（1）(2) （3）
【详解】试题分析：（1）因，故对称轴为，故可设，再由得.（2）有唯一实数根可以转化为与有唯一的交点去考虑.（3），任意都有不等式成立等价于，分、、和四种情形讨论即可.
解析：（1）因，对称轴为，设，由得，所以.
（2）由方程得，即直线与函数的图象有且只有一个交点，作出函数在的图象.易得当或时函数图象与直线只有一个交点，所以的取值范围是.
（3）由题意知.
假设存在实数满足条件，对任意都有成立，即，故有，由.
当时，在上为增函数，，所以；
当时，，.即，解得，所以.
当时，
即解得.所以.
当时，，即，所以，综上所述，，
所以当时，使得对任意都有成立.
点睛：（1）求二次函数的解析式，一般用待定系数法，有时也需要根据题设的特点合理假设二次函数的形式（如双根式、顶点式、一般式）；
（2）不等式对任意的恒成立可以等价转化为恒成立.
21．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考期中）已知函数，.
(1)若函数的图象经过点，求实数的值；
(2)在（1）条件下，求不等式的解集；
(3)当时，函数的最小值为1，求当时，函数的最大值.
【答案】(1)；
(2)；
(3)当时，的最大值为13，当时，最大值为．
【分析】（1）由题可得，进而即得；
（2）利用二次不等式的解法即得；
（3）对的对称轴与区间的关系进行分情况讨论，判断的单调性，利用单调性解出，再求出最大值．
【详解】（1）由题可得，
∴；
（2）由，
解得，
所以不等式的解集为；
（3）因为是开口向上，对称轴为的二次函数，
①若，则在上是增函数，
∴，
解得，
∴；
②若，则在上是减函数，
∴，解得（舍）；
③若，则在上是减函数，在上是增函数；
∴，解得或（舍）．
∴；
综上，当时，的最大值为13，当时，最大值为．
22．（2022秋·贵州贵阳·高一校联考期中）设函数.
（1）若，解不等式；
（2）若对一切实数，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）
【分析】（1）时，不等式化为，求解即可；
（2）分和两种情况分类讨论，并结合二次函数的性质，可求出答案.
【详解】（1）时，不等式化为，即，解得或，即解集为：或.
（2）当时，，符合题意，
当时，由题意得，解得，
综上所述，实数的取值范围是：.
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查一元二次不等式的解法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
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