2022-2023学年山东省威海市九年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省威海市九年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式是最简二次根式的为( )
A. B. C. D.
2. 下列说法正确的是( )
A. 对角线相等的平行四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 有一对邻角相等的平行四边形是正方形
3. 下列运算中错误的是( )
A. B. C. D.
4. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D. 且
5. 如图，菱形的对角线交于点，交的延长线于，，，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
6. 如果，，那么下列各式正确的是( )
；；．
A. B. C. D.
7. 平行四边形各内角的平分线围成一个四边形，则这个四边形一定是( )
A. 正方形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 菱形
8. 设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
9. 如图，将矩形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，，折叠后，点落在边上的处，点落在边上的处则( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，为正方形的对角线上任一点，过点作于点，于点，连接给出以下个结论：
是等腰直角三角形；
；
；
．
其中，所有正确的结论是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算： ______ ．
12. 如图，直线经过正方形的顶点，点，到直线的距离分别是，，则对角线的长为______ ．
13. 若，化简 ______ ．
14. 如图，四边形为菱形，有三条直线经过对角线的交点若菱形两条对角线的长分别为和，则阴影部分的面积为______ ．
15. 若，则 ______ ．
16. 如图，是等腰直角三角形，是斜边上的动点，于点，于点，，则长度的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
如图，以正方形的边为边，在外作等边，连接，交于点，求的度数．
19. 本小题分
对于代数式．
上式存在最______ 值填“大”或“小”，此时与的关系是______ ；
求出上式你认为的最大小值．
20. 本小题分
如图，在中，，，的垂直平分线交，于点，，点在的延长线上，求证：．
21. 本小题分
如图，在四边形中，，分别是，的中点，，求证：．
22. 本小题分
如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．
求证：四边形是矩形；
若，，求菱形的面积．
23. 本小题分
【信息阅读】
在进行二次根式运算时，会遇到形如、的式子，可以按如下方法化简：
；
．
对于，还可以这样化简：
．
【问题解决】
利用上述方法解决下列问题：
______ ；
化简：
；
．
24. 本小题分
如图，在菱形中，，点是边的中点，点是边上一动点不与点重合，连接并延长交的延长线于点，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
：
当点运动到何处时，四边形是矩形？写出理由；
当点运动到何处时，四边形是菱形？写出理由；
点在运动过程中，是否会存在某个位置，使得四边形是正方形？______ 填“存在”或“不存在”
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、无法化简，故此选项正确．
故选：．
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，不符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意；
D、有一对邻角相等的平行四边形是矩形，故错误，不符合题意，
故选：．
利用正方形的判定方法判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定方法，难度不大．
3.【答案】
【解析】解：原式，与，所以选项的计算正确；
B、原式，所以选项的计算正确；
C、与不能合并，所以选项的计算错误错误；
D、原式，所以选项的计算正确．
故选C．
根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断；根据二次根式的加减法对进行判断；根据二次根式的性质对进行判断．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
4.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得．
故选A．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
5.【答案】
【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
在中，，即可得，
又，
是直角三角形，
，
，
．
故选：．
先判断出四边形是平行四边形，从而得出的长度，根据菱形的性质求出的长度，利用勾股定理的逆定理可得出是直角三角形，计算出的面积，再根据等底同高的两三角形面积相等可得答案．
此题考查了菱形的性质、勾股定理的逆定理及三角形的面积，属于基础题，求出的长度，判断是直角三角形，是解答本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，
，，
则，本小题计算错误；
，本小题计算正确；
，本小题计算正确；
故选：．
根据实数的加减、乘除法则判断、的符号，再根据二次根式乘除法法则、二次根式的性质计算，判断即可
本题考查的是二次根式乘除法、二次根式的性质，根据实数的加减、乘除法则判断、的符号是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，分别是，的角平分线，
，，
，
，
，
同理，，
四边形是矩形．
故选B．
根据平行四边形性质得出，推出，求出，求出，，同理，，根据此可判断围成的四边形的形状．
本题考查平行四边形的性质定理和矩形的判定定理．
8.【答案】
【解析】解：，，
又，
，
故选：．
先将各数化简，再比较大小即可．
本题考查实数的大小比较、二次根式的性质，熟练掌握实数的大小比较方法是解答的关键．
9.【答案】
【解析】解：和对折，
≌，
，，
，
，
又，即，
负值舍去，，
，
，
又，
，
又，，
≌，
，
又，
是等边三角形，
，
，
．
故选：．
和对折，两三角形全等，和对折，两三角形也全等，根据含角的直角三角形的性质，勾股定理可证明是等边三角形，即可求出．
本题考查图形的翻折变换，矩形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
10.【答案】
【解析】解：如图，
为正方形的对角线上任一点，
，，
过点作于点，，
，
四边形是矩形，
，
，故正确，
是正方形的对角线，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，故正确，
在和中，
，
≌，
，
在矩形中，，
故正确，
点是正方形对角线上任意一点，
不一定等于，
只有时，，故错误，
故选：．
用正方形的性质和垂直的定义判断出四边形是矩形，从而判定正确；
直接用正方形的性质和垂直得出正确，
利用全等三角形和矩形的性质得出正确，
由点是正方形对角线上任意一点，说明和不一定相等，得出错误．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，解本题的关键是判断出四边形是矩形．
11.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
根据二次根式的计算方法可以解答本题．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
12.【答案】
【解析】解：在正方形中，，，
，，
，，
，
，
在和中，
≌，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
根据正方形的性质得出，利用证明和全等，再利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可．
此题考查了直角三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，属于中考常考题型．
13.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
利用二次根式的化简的法则进行求解即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14.【答案】
【解析】解：菱形的两条对角线的长分别为和，
菱形的面积，
是菱形两条对角线的交点，
阴影部分的面积．
故答案为：．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．
本题考查了中心对称，菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出的值，代入代数式计算即可．
【解答】
解：由题意得，且，
解得，，
则，
则．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：连接．
，，
；
又，
四边形是矩形，
，
当最小时，也最小，
即当时，最小，
，
，
，
．
线段长的最小值为；
故答案为：．
先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值．
本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．利用“两点之间垂线段最短”找出时，取最小值是解答此题的关键．
17.【答案】解：
．
【解析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再进一步去括号、计算加减即可．
本题主要考查二次根式的运算，掌握二次根式的混合运算顺序、运算法则和完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
18.【答案】解：四边形是正方形，
，，．
是等边三角形，
，．
，．
．
．
【解析】首先根据正方形的性质和等边三角形的性质得到，然后利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质得到，最后利用三角形外角的性质求解即可．
此题考查了正方形的性质和等边三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
19.【答案】大
【解析】解：

，
，
，
有最大值，
此时，，
即．
故答案为：大，
原式．
，
当时，存在最大值．
最大值为．
根据平方差公式化简知代数式为，根据根号内数大于等于一，知代数式有最小值；
将代入代数式，求其最大值．
本题考查了二次根式的运算，平方差公式，完全平方式的非负性质等知识点，熟练运用其性质是解决此题的关键．
20.【答案】证明：，，
，
直线是的垂直平分线，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，直线是的垂直平分线，
，
，
是等边三角形，
，
，
四边形是菱形，
．
【解析】利用直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，判定四边形是菱形即可．
本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质熟练掌握上述性质是解题的关键．
21.【答案】证明：如图，连接，．
，是的中点，
在和中，
，
≌，
．
，是的中点，
，
，
，，
，
即．
四边形内角和为，
．
【解析】连接，根据证明≌，可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，进而可得，根据等边对等角可得，，进而可得，即可证明．
本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，四边形内角和等知识点，解题的关键是作出辅助线，证明．
22.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
是的中点，
是的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：，是的中点，
，
，
在中，，
四边形是菱形，
，，，
是的中位线，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
，
在中，，
，
菱形的面积为．
【解析】根据菱形的性质，证明是的中位线，得到，进而证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论；
利用线段中点和勾股定理，求得的长，然后根据菱形和矩形的性质，得到和的长，再利用勾股定理求出和的长，进而得到对角线和的长，即可求出菱形的面积．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，中位线的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题关键．
23.【答案】
【解析】解：，
故答案为：；
，
原式
．
根据材料的方法即可求解，
根据材料的方法：利用平方差公式进行分母有理化即可求解，
先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律后面的第二项和前面的第一项抵消，得出答案．
本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式．
24.【答案】不存在
【解析】证明：四边形为菱形，
，
，
点是边的中点，
，
≌．
．
四边形是平行四边形．
解：当点运动到的中点时，如图，连接，
点为的中点，
，
点是边的中点，
，
，
，
为等边三角形，
点为的中点，
．
由得四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
当点与点重合时，如图所示：
同可证为等边三角形
．
由得四边形是平行四边形，
四边形是菱形；
由得，不存在点，使得四边形是正方形，
故答案为：不存在．
根据菱形的性质及全等三角形的判定和性质得出，再由平行四边形的判定证明即可；
当点运动到的中点时，利用等边三角形的判定和性质及矩形的判定证明即可；
当点与点重合时，利用等边三角形的判定和性质及菱形的判定证明即可；
由得，不存在点，使得四边形是正方形．
本题主要考查特殊四边形的判定和性子，熟练掌握全等三角形的判定和性质及特殊四边形的判定和性质是解题关键．
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