2022-2023学年山东省烟台市招远市八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市招远市八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若式子有意义，则的取值可以是( )
A. B. C. D.
2. 将一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3. 已知四边形是平行四边形，，相交于点，下列结论错误的是( )
A. ，
B. 当时，四边形是菱形
C. 当时，四边形是矩形
D. 当且时，四边形是正方形
4. 若二次根式与是同类二次根式，则的值有可能是( )
A. B. C. D.
5. 下列结论：
若，则；
方程的解为；
若分式的值为，则或．
正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6. 已知矩形的对角线、相交于点，，，则的长是( )
A. B. C. D.
7. 已知、是实数，且满足，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 已知，为任意实数，则、的大小关系为( )
A. B. C. D. 不能确定
9. 如图，在矩形中，，，以为圆心，的长为半径画弧，交边于点，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，在菱形中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上若将菱形平移，使得平移后点的对应点与点重合，则此时点的对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 化简的结果是______ ．
12. 若方程是关于的一元二次方程，则等于______．
13. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为______．
14. 方程的解为______．
15. 已知，，求代数式 ______ ．
16. 如图，在矩形中，，，点、点分别在边、上，且，连接和，则的最小值是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 解下列方程：
；
．
四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
计算：
；
．
19. 本小题分
如图，在平行四边形中．
请用尺规作出的角平分线交于点；不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，在上截取，连接，请说明：四边形是菱形．
20. 本小题分
阅读材料，并回答问题：小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：
解：
解决问题：
上述过程中，从第______ 步开始出现了错误填序号；
发生错误的原因是：______ ；
用你喜欢的方法写出正确的解答过程．
21. 本小题分
已知，如图，在四边形中，，，，垂足为点．
求证：；
若，，求四边形的面积．
22. 本小题分
小明在做作业的过程中发现一个计算题目“”处印刷不清楚，“计算：”
他把“”处的数字猜成，请你帮他计算出结果；
他妈妈说：“你可能猜错了，我看到该题目的标准答案是”请通过计算说明“”处的数字到底是多少？
23. 本小题分
已知：在中，，点、分别是、的中点，连接并延长交外角的平分线与点．
求证：；
连接，，当满足什么条件时，四边形为正方形？请证明你的结论．
24. 本小题分
课本原题：已知，求的值．
请用两种方法解决课本原题；
变式探究：若，则代数式的值为______ ；
A.；；；
变式探究：已知，求的值．
拓展延伸：若的小数部分是，整数部分是，则代数式的值为多少？
25. 本小题分
问题背景：如图，在正方形中，边长为点，是边，上两点，且，连接，，与相交于点．
探索发现：探索线段与的关系，并说明理由；
探索发现：若点，分别是与的中点，计算的长；
拓展提高：延长至，连接，若，请直接写出线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：式子有意义，
，
解得：，
，，都不符合题意；符合题意；
故选：．
由式子有意义，可得，从而可得答案．
本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练的建立不等式组解题是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：化为一般形式为：，
故二次项的系数和一次项系数分别是：，；
故选：．
将一元二次方程化成一般形式后即可求得二次项的系数和一次项系数．
本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且，在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中、、分别叫二次项系数、一次项系数、常数项；解题的关键是能熟记一元二次方程的一般形式．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的判定，矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．
根据正方形的判定，矩形的判定、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：、根据平行四边形的性质得到，，该结论正确，此选项不符合题意；
B、当时，四边形还是平行四边形，原来的结论错误，此选项符合题意；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断原来的结论正确，此选项不符合题意；
D、当且时，根据对角线相等可判断四边形是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形是菱形，故四边形是正方形，该结论正确，此选项不符合题意；
故选B．
4.【答案】
【解析】解：、当时，，与不是同类二次根式，所以本选项不符合题意；
B、当时，，与不是同类二次根式，所以本选项不符合题意；
C、当时，，与是同类二次根式，所以本选项符合题意；
D、当时，，与不是同类二次根式，所以本选项不符合题意．
故选：．
把各选项的值依次代入计算即可得出答案．
本题考查了同类二次根式的定义，难度不大，属于基础题型，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：若，则，所以错误；
方程的解为，，所以错误；
若分式的值为，则且，所以，所以错误．
故选：．
利用平方根的定义对进行判断；利用因式分解法解方程可对进行判断；根据分式的值为的条件得到且，则可对进行判断．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了分式的值为的条件．
6.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
故选：．
由矩形的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，得出即可．
此题考查了矩形的性质、含角的直角三角形的性质．关键是掌握矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，得：，且，即，
解得，，
则，
所以．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件得出，的值，进而代入求出答案．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，可知，
所以．
故选：．
求出的结果，再判断即可．
本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：连接，过点作于点，如图，
则四边形是矩形，且，
，
在中，
，
，
在中，，
，
故选：．
连接，过点作于点，由勾股定理得，得到，再运用勾股定理即可求出．
本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
四边形是菱形，
，，
，，
平移后点的对应点与点重合，
，
，，
菱形向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，
点的对应点的坐标为，即，
故选：．
根据平移的性质和菱形的性质解得即可．
本题主要考查了菱形的性质和平移的性质，解题的关键是根据平移的性质得出菱形平移的方向和距离．
11.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
先把化简为，约分后再进行分母有理化运算即可得到结果．
本题主要考查了二次根式的除法，正确进行分母有理化运算是解答本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：方程是关于的一元二次方程，
，
解得．
故答案为：．
根据一元二次方程的一般形式，即可得到，并且，即可求得的值．
本题主要考查了一元二次方程的一般形式，要特别注意二次项系数这一条件，当时，上面的方程就不是一元二次方程了．
13.【答案】
【解析】解：是菱形，
，，，
，
，，
．
根据菱形面积对角线积的一半可求，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题．
14.【答案】，
【解析】解：，
，
或，
所以，．
故答案为：，．
先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
15.【答案】
【解析】解：，，
，
故答案为：．
先将代数式因式分解，再代入求值．
本题考查因式分解、二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练进行二次根式的计算．
16.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
作点关于的对称点，
则，，
当、、在同一直线上时，取得最小值，
此时，，
的最小值是，
故答案为：．
证明四边形是平行四边形，得到，作点关于的对称点，当、、在同一直线上时，取得最小值，利用勾股定理即可求解．
本题考查的是最短线路问题及矩形的性质，勾股定理，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
17.【答案】解：，
，
则或，
解得或；
，
，
，
则或，
解得或．
【解析】本题主要考查解一元二次方程因式分解法．
利用因式分解法求解可得；
利用因式分解法求解可得．
18.【答案】解：
；
．
【解析】根据二次根式混合运算法则进行计算即可；
根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
19.【答案】解：线段就是所求作的线段；
证明：由作图可知：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形．
【解析】根据角平分线的作法作图即可；
根据角平分线的性质及平行四边形的性质得出，再由等角对等边及菱形的判定证明即可．
本题主要考查角平分线的作法，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等，理解题意，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键．
20.【答案】 的平方根有两个，是；
【解析】解：上述过程中，从第步开始出现了错误，
故答案为：；
发生错误的原因是平方根有两个，是，
故答案为：的平方根有两个，是；
．
根据平方根的定义得出答案即可；
根据平方根的定义得出答案即可；
移项，二次项系数化成，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了用配方法解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
21.【答案】证明：过点作，交的延长线于点，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
≌，
，
；
解：由得：，
矩形是正方形
≌，
，，
，
，
，
四边形的面积为．
【解析】过点作，交的延长线于点，由题意易得四边形是矩形，则有，然后可得≌，进而问题可求证；
由可得，，然后可得，进而问题可求解．
本题主要考查正方形的性质与判定、矩形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质与判定、矩形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
22.【答案】解：由题意得：
他计算出的结果为；
设“”处的数字是，则
，
，
解得：，
“”处的数字是．
【解析】把代入列式，再计算即可；
设“”处的数字是，再建立方程求解即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，方程思想的应用，熟记二次根式的混合运算的运算顺序是解本题的关键．
23.【答案】证明：，
，
，
，
平分，
，
，
是的中点，
，
在与中，
，
≌，
；
解：当，四边形是正方形，
理由：，，
是等腰直角三角形，
，
平分，
，
，
，
由知，
四边形是平行四边形，
点是的中点，
，
，
，
矩形是正方形．
【解析】根据等腰三角形的性质得到，根据外角的性质定理得到，由角平分线的定义得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
由已知条件得到是等腰直角三角形，求得，推出，由知，得到四边形是平行四边形，根据直角三角形的性质得到，求得，根据正方形的判定定理得到结论．
本题考差了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：方法一：
；
方法二：
，
，，
．
，
故答案为：；
，
，
；
由题意得：，，
．
一种方法是将，的值直接代入；另一种方法是将变形为，再将，的值代入求解；
将变形为，再将，的值代入求解；
将变形为，再将的值代入求解；
根据可知：小数部分，整数部分，代入求解即可．
本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，求无理数的整数、小数部分等，解题的关键是掌握二次根式的运算法则以及完全平方公式的变形．
25.【答案】解：，且，
理由：四边形是正方形，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
，
线段和的关系为：，且；
连接并延长交于，连接，
四边形是正方形，
，，，
，
，，
≌，
，，
又，
，
正方形的边长为，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
；
如图，过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】证≌，得出，，再证即可；
连并延长交于，求出长，再根据中位线的性质求出即可；
过点作于点，根据勾股定理求出，，即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质和勾股定理，解题关键是构造三角形从而使用中位线定理、作构造直角三角形．
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