第三章 函数的概念与性质 单元练习（含答案）

第三章　函数的概念与性质 单元练习
一、单项选择题
1．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[，＋∞) B．(－∞，2)∪(2，＋∞)
C．[，2)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)
2． x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，十八世纪，函数y＝[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则[4.8]－[－3.5]＝(　　)
A．0 B．1
C．7 D．8
3．已知幂函数f(x)的图象过点(2，8)，则f(x)(　　)
A．是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数
B．是偶函数，在(0，＋∞)上是减函数
C．是奇函数，在(－∞，0)上是增函数
D．是偶函数，在(－∞，0)上是减函数
4．函数y＝的图象大致为(　　)
5．函数y＝x2－2|x|＋1的单调递增区间是(　　)
A．(－1，0) B．(－1，0)和(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)和(0，1)
6．已知定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，则(　　)
A．f(2)B．f(－3)C．f(2)D．f(－4)7．某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率如下表所示：
可享受折扣优惠的金额 折扣率
不超过400元部分 5%
超过400元部分 15%
若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为(　　)
A．935元 B．1 000元
C．1 035元 D．1 100元
8．若偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(1)＝0，则不等式f(x2－3x＋3)≥0的解集是(　　)
A．[1，2]
B．[－1，4]
C．R
D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
二、多项选择题
9．下列函数既是偶函数，在(0，＋∞)上又单调递增的是(　　)
A．y＝2x B．y＝x2＋1
C．y＝|x| D．y＝|－x|
10．下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x2＋2x－3与g(s)＝s2＋2s－3
B．f(x)＝与g(x)＝x
C．f(x)＝与g(x)＝
D．f(x)＝和g(x)＝
11．对于定义在R上的函数f(x)，下列说法正确的是(　　)
A．若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点(1，0)对称
B．若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称
C．若函数f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(x)为偶函数
D．若f(x＋1)＋f(x－1)＝2，则f(x)的图象关于点(1，1)对称
12．已知函数f(x)的定义域为A，若对任意x∈A，存在正数M，使得|f(x)|≤M成立，则称函数f(x)是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝|x|＋
三、填空题
13．f(＋1)＝x－1，则f(x)＝________．
14．已知奇函数f(x)在区间[2，8]上单调递减，且在区间[2，8]上的最大值为3，最小值为－3，则2f(－8)＋f(－2)＝________．
15．某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10 000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入P与店面经营天数x的关系是P(x)＝，则总利润最大时店面经营天数是________．
16．已知函数f(x)＝
(1)当m＝1时，不等式f(x)－3>0的解集为________；
(2)若f(x)是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围为________．
四、解答题
17．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求函数f(x)(x∈R)的解析式；
(2)作出函数f(x)(x∈R)的图象，并根据图象写出函数f(x)的单调区间．
18．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6].
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)若f(x)在区间[－4，6]上是单调函数，求实数a的取值范围．
19．已知函数f(x)＝.
(1)证明f(x)在区间(0，2]上单调递减；
(2)已知a>0，f(x)在[a，1]上的值域是[b，]，求a，b的值．
20．已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f()＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在(－1，1)上的单调性，并用定义证明．
21．已知某电子公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元，设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且
R(x)＝
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；
(2)当年产量为多少万部时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
22．已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2.当x>0时，f(x)<－2，f(1)＝－6.
(1)求f(0)，f(－1)的值；
(2)判断函数f(x)的单调性并加以证明；
(3)解不等式f(x2)－f(x＋)>4.
参考答案
1．C 2．D 3．C 4．A 5．B 6．D 7．C 8．A
9．BC 10．ACD 11．AC 12．BCD
13．x2－2x(x≥1)
14．3
15．200
16．(1)(2，＋∞)　(2)[，1]
17．解：(1)设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝x2＋2x，∴f(x)＝－x2－2x，
∴f(x)＝.
(2)图象如图所示：
由图可知f(x)的单调区间有(－∞，－1)，(－1，1)，(1，＋∞)，
单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1).
18．解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴f(x)在[－4，2]上单凋递减，在[2，6]上单调递增，
∴f(x)min＝f(2)＝－1，f(x)max＝f(－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35.
(2)f(x)＝x2＋2ax＋3＝(x＋a)2＋3－a2，
∴要使f(x)在[－4，6]上为单调函数，只需－a≤－4或－a≥6，解得a≥4或a≤－6.
∴实数a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞).
19．解：(1)证明： x1，x2∈(0，2]，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1－x2)＋(－)＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)(1－)＝(x1－x2).
因为00，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在区间(0，2]上单调递减．
(2)由(1)可知，f(x)在[a，1]上单调递减且0所以f(1)＝5＝b，f(a)＝＝，
解得a＝或a＝12(舍去)，
所以a＝，b＝5.
20．解：(1)因为函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
即＝－，可得b＝0，则f(x)＝，
所以f()＝＝a＝，则a＝1，因此，f(x)＝.
(2)证明：函数f(x)在(－1，1)上是增函数，证明如下：
任取x1、x2∈(－1，1)且x1＝＝，
因为－1因此，函数f(x)在(－1，1)上是增函数．
21．解：(1)当0当x>40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360，
∴W＝.
(2)①当0∴当x＝32时，Wmax＝W(32)＝6 104，
②当x>40时，
W＝－－16x＋7 360＝－(＋16x)＋7 360≤－2＋7 360＝5 760，
当且仅当＝16x，即x＝50时，等号成立，
即当x＝50时，Wmax＝5 760<6 104，
综上所述，当x＝32时，W取得最大值为6 104万美元，
即当年产量为32万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大，最大利润为6 104万美元．
22．解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝2f(0)＋2，即f(0)＝－2.
令x＝1，y＝－1，得f(0)＝f(1)＋f(－1)＋2，即f(－1)＝f(0)－f(1)－2＝2.
(2)函数f(x)是减函数，证明如下：
x1，x2∈R，当x10，则f(x2－x1)<－2，
f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)＋2f(x2)，
所以函数f(x)是减函数．
(3)f(－1)＝2，所以f(x2)>f(x＋)＋f(－1)＋2，即f(x2)>f(x＋)，
因为函数f(x)是减函数，不等式可化为x2所以x2－x－<0，解得－