第八章函数的应用 复习课（含解析）

编号：056 课题: 函数应用复习课
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解并掌握解答函数应用题的操作步骤；
2.掌握应用问题中的变量关系；
3.会利用函数模型解决实际问题；
4.理解并掌握实际问题中函数模型的选择问题（数学建模）．
本节重点难点
重点：利用函数模型解决实际问题；
难点：实际问题中函数模型的选择问题（数学建模）．
学科素养目标
通过函数的应用，了解函数与方程之间的关系，体会二分法求一些简单方程的近似解的方法，尽管这个解也许不准确，但可以通过有效的方法控制精确度；通过数据拟合，体会到现代信息技术是数学课程的一个重要部分；会利用函数知识分析问题、解决问题，能准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具，逐步形成利用运动、变化的观点观察事物的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力，以及数学表达、交流的能力，进一步培养学生的创新意识与探究能力、数学建模能力和实践能力．
知识结构简图
教学过程赏析
基础知识积累
1.函数的零点
(1)概念:使函数y=f(x)的值为0的___________.
零点、图象与x轴的交点、方程实数解的关系:
(2)本质:方程f(x)=0的根、函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.
(3)应用:利用零点、图象与x轴的交点、方程实数解的关系,实现三种问题的相互转化.
2.函数零点范围的判定
(1)条件:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,
且有_________________;
(2)结论:函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.
(3)本质:利用函数的性质判断零点的存在性.
(4)应用:判断零点的存在性、求参数的范围等.
3.解决函数应用问题的一般程序是：
审题，设未知量；
寻找等量关系；
列出方程；
解方程；
验根或证明；
结论或作答.
【课堂检测达标】
题1. 一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x的函数，它的解析式为( )
A．y＝20－2x(x≤10)
B．y＝20－2x(x＜10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10)
D．y＝20－2x(5＜x＜10)
题2．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，3)内，则实数a的取值范围是( )
A．(7，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－∞，－1)∪(7，＋∞)
D．(－1，7)
题3．对于实数a和b，定义运算“ ”：a b＝设函数f(x)＝(x2－2) (x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )
A．(－∞，－2]∪
B．(－∞，－2]∪
C．
D．
题4．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a(元/个)的取值范围应是( )
A．90＜a＜100 B．90＜a＜110
C．100＜a＜110 D．80＜a＜100
题5．已知函数f(x)＝ 的定义域为R，若关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋＝0有5个不同的根x1，x2，x3，x4，x5，则的值为( )
A． B．16 C．5 D．15
题6．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝已知某家庭今年前四个月的煤气费如表：
月份 一月份 二月份 三月份 四月份
用气量/m3 4 5 25 35
煤气费/元 4 4 14 19
若五月份该家庭使用了22 m3的煤气，则其煤气费为( )
A．12.5元 B．12元
C．11.5元 D．11元
题7．在直角坐标平面内的两个不同点M，N满足条件：①M，N都在函数y＝f(x)的图象上；②M，N关于原点对称．则称点对[M，N]为函数y＝f(x)的一对“友好点对”(注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”).已知函数f(x)＝则此函数“友好点对”有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
题8．统计学家对人体的眼睛详细研究后发现：我们的眼睛看到图形面积的大小与此图形实际面积的0.7次方成正比．例如：大图形是小图形的3倍，眼睛感觉到的只有30.7(约2.16)倍．观察某个国家地图，感觉全国面积约为某县面积的10倍，那么这个国家的实际面积大约是该县面积的(lg 2≈0.301 0，lg 3＝0.477 1，lg 7≈0.845 1)( )
A．18倍 B．21倍
C．24倍 D．27倍
题9(多选题)．下面说法正确的有( )
A．f(x)＝log2(x－1)的零点是(2，0)
B．f(x)＝－log2x与f(x)＝()x互为反函数
C．已知p： x∈R，＞0，则﹁p： x∈R，≤0
D．f(x)＝不是偶函数
题10(多选题)．给定函数f(x)＝，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的值域是[－1，1]
C．f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数
D．f(x)有三个零点
题11(多选题)．设函数f(x)＝ 若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c).则下列结论恒成立的是( )
A．ab＝1 B．c－a＝
C．b2－4ac＜0 D．a＋c＜2b
题12(多选题)．下列几个说法，其中正确的有( )
A．已知函数f(x)的定义域是，则f(2x)的定义域是(－1，3]
B．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则实数m的取值范围为m＜－5
C．已知关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a＝0的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取值范围是a＜－1或a＞0
D．若函数f(x)＝4＋x2ln在区间[－，]上的最大值与最小值分别为M和m，则M＋m＝8
题13．某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，根据药学原理，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为y＝ 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习．那么从药物释放开始，至少需要经过____________小时后，学生才能回到教室．
题14．已知函数y＝x2－4x＋m，若该函数的两个零点都在区间[1，＋∞)内，则实数m的取值范围是____________；若该函数仅有一个零点在区间[1，＋∞)内则实数m的取值范围是____________．
题15．某水果超市从12月15日至1月5日(共计22天，12月15日为第1天，12月16日为第2天，…，1月5日为第22天)，某种苹果的销售量y千克随时间第x天变化的函数图象如图所示，则该超市在12月20日大约卖出了这种苹果____________千克．
题16．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．
(1)求实数k的值；
(2)设g(x)＝m，若f(x)＝g(x)最多有一个实数解，求实数m的取值范围．
题17．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1).
(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在[1，3]上有零点，求实数a的取值范围．
题18．5G技术的价值和意义是在自动驾驶、物联网等领域．其数学原理之一是香农公式：C＝W·log2(1＋)，其中：C(单位：bit/s)是信道容量或者叫信道支持的最大速度，W(单位：Hz)是信道的带宽，P(单位：dB)是平均信号率，N(单位：dB)是平均噪声功率，叫做信噪比．
(1)根据香农公式，如果不改变带宽W，那么将信噪比从1 023提升到多少时，信道容量C能提升10%
(2)已知信号功率P＝P1＋P2，证明：W＝log2(1＋)＝Wlog2(1＋)＋Wlog2(1＋)；
(3)现有3个并行的信道X1，X2，X3，它们的信号功率分别为P1，P2，P3(P1＜P2＜P3)，这3个信道上已经有一些噪声或者信号功率．根据(2)中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？(只需写出结论)
题19．已知定义域为R的函数f(x)＝ 是奇函数，h(x)为指数函数且h(x)的图象过点(2，4).
(1)求f(x)的表达式；
(2)若方程f(|x2＋3x|)＋f(－a|x－1|)＝0恰有2个互异的实数根，求实数a的取值集合．
编号：056 课题: 函数应用复习课
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解并掌握解答函数应用题的操作步骤；
2.掌握应用问题中的变量关系；
3.会利用函数模型解决实际问题；
4.理解并掌握实际问题中函数模型的选择问题（数学建模）．
本节重点难点
重点：利用函数模型解决实际问题；
难点：实际问题中函数模型的选择问题（数学建模）．
学科素养目标
通过函数的应用，了解函数与方程之间的关系，体会二分法求一些简单方程的近似解的方法，尽管这个解也许不准确，但可以通过有效的方法控制精确度；通过数据拟合，体会到现代信息技术是数学课程的一个重要部分；会利用函数知识分析问题、解决问题，能准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具，逐步形成利用运动、变化的观点观察事物的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力，以及数学表达、交流的能力，进一步培养学生的创新意识与探究能力、数学建模能力和实践能力．
知识结构简图
教学过程赏析
基础知识积累
1.函数的零点
(1)概念:使函数y=f(x)的值为0的___实数x ___.
零点、图象与x轴的交点、方程实数解的关系:
(2)本质:方程f(x)=0的根、函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.
(3)应用:利用零点、图象与x轴的交点、方程实数解的关系,实现三种问题的相互转化.
2.函数零点范围的判定
(1)条件:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,
且有_____ f(a)f(b)<0________;
(2)结论:函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.
(3)本质:利用函数的性质判断零点的存在性.
(4)应用:判断零点的存在性、求参数的范围等.
3.解决函数应用问题的一般程序是：
审题，设未知量；
寻找等量关系；
列出方程；
解方程；
验根或证明；
结论或作答.
【课堂检测达标】
题1. 一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x的函数，它的解析式为( )
A．y＝20－2x(x≤10)
B．y＝20－2x(x＜10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10)
D．y＝20－2x(5＜x＜10)
【解析】选D.依题意得2x＋y＝20，所以y＝20－2x，
由三角形三边关系可得即0＜20－2x＜2x解得5＜x＜10.
因此函数解析式为y＝20－2x(5＜x＜10).
题2．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，3)内，则实数a的取值范围是( )
A．(7，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－∞，－1)∪(7，＋∞)
D．(－1，7)
【解析】选D.因为y＝2x和y＝－在(0，＋∞)上是增函数，
所以f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上是增函数，所以只需f(1)·f(3)＜0即可，即(－1－a)·(7－a)＜0，解得－1＜a＜7.
题3．对于实数a和b，定义运算“ ”：a b＝设函数f(x)＝(x2－2) (x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )
A．(－∞，－2]∪
B．(－∞，－2]∪
C．
D．
【解析】选B.若x2－2－(x－x2)≤1，f(x)＝x2－2，则2x2－x－3≤0，解得
－1≤x≤ ；
若x2－2－(x－x2)＞1，f(x)＝x－x2，则2x2－x－3＞0，则x＜－1或x＞ ，
所以f(x)＝ 作出f(x)的函数图象如图所示：
作出直线y＝c，
因为函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，
所以y＝f(x)与y＝c有两个交点，只需c∈(－∞，－2]∪.
题4．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a(元/个)的取值范围应是( )
A．90＜a＜100 B．90＜a＜110
C．100＜a＜110 D．80＜a＜100
【解析】选A.设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，
则a＝x＋90，y＝(10＋x)·(400－20x)－10×400＝－20x2＋200x.
要使商家利润有所增加，则必须使y＞0即x2－10x＜0得0＜x＜10，
所以90＜x＋90＜100，所以a的取值为90＜a＜100.
题5．已知函数f(x)＝ 的定义域为R，若关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋＝0有5个不同的根x1，x2，x3，x4，x5，则的值为( )
A． B．16 C．5 D．15
【解析】选D.由函数f(x)解析式作出函数图象如下：
由方程f2(x)＋bf(x)＋＝0有5个不同的根知，f(x)必有一个解为1，
即1＋b＋＝0 b＝－，则f2(x)－f(x)＋＝0 (2f(x)－1)(f(x)－1)＝0，
则方程另一个解为，设x1＜x2＜x3＜x4＜x5，
则f(x)＝1 x＝0，1，2，f(x)＝ x＝－1，3，
故＝(－1)2＋02＋12＋22＋32＝15.
题6．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝已知某家庭今年前四个月的煤气费如表：
月份 一月份 二月份 三月份 四月份
用气量/m3 4 5 25 35
煤气费/元 4 4 14 19
若五月份该家庭使用了22 m3的煤气，则其煤气费为( )
A．12.5元 B．12元
C．11.5元 D．11元
【解析】选A.根据表格可得C＝4，根据三月和四月的数据可得
解得A＝5，B＝0.5，
所以f(x)＝ f(22)＝12.5.
题7．在直角坐标平面内的两个不同点M，N满足条件：①M，N都在函数y＝f(x)的图象上；②M，N关于原点对称．则称点对[M，N]为函数y＝f(x)的一对“友好点对”(注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”).已知函数f(x)＝则此函数“友好点对”有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【解析】选A.由函数f(x)＝
当x＞0时，可得－x＜0，则f(－x)＝－(－x)2－4(－x)＝－x2＋4x，
则函数y＝－x2－4x(x≤0)的图象关于原点对称的函数为y＝x2－4x(x≥0)，
由题意知，作出函数y＝x2－4x(x≥0)的图象及函数y＝2x(x＞0)的图象，如图所示，
由图象及指数函数、幂函数的变化速度可得两个函数图象没有交点，即函数f(x)的“友好点对”有0个．
题8．统计学家对人体的眼睛详细研究后发现：我们的眼睛看到图形面积的大小与此图形实际面积的0.7次方成正比．例如：大图形是小图形的3倍，眼睛感觉到的只有30.7(约2.16)倍．观察某个国家地图，感觉全国面积约为某县面积的10倍，那么这个国家的实际面积大约是该县面积的(lg 2≈0.301 0，lg 3＝0.477 1，lg 7≈0.845 1)( )
A．18倍 B．21倍
C．24倍 D．27倍
【解析】选D.由题意可知，看到图形面积大小y与图形实际面积x之间满足y＝x0.7，所以若看到全国面积约为某县面积的10倍，则10＝x0.7，解得lg x＝≈1.43，因为lg 27＝3lg 3≈1.43，所以x≈27.
题9(多选题)．下面说法正确的有( )
A．f(x)＝log2(x－1)的零点是(2，0)
B．f(x)＝－log2x与f(x)＝()x互为反函数
C．已知p： x∈R，＞0，则﹁p： x∈R，≤0
D．f(x)＝不是偶函数
【解析】选BD.令x－1＝1，则x＝2，所以f(x)＝log2(x－1)的零点是x＝2，不是(2，0)，所以A错误；
f(x)＝－log2x＝与f(x)＝()x互为反函数，所以B正确；
已知p： x∈R，＞0，则﹁p： x∈R，＜0或x＝2，所以C错误；
f(x)＝的定义域是{x|x≠1}，不关于原点对称，所以不是偶函数，所以D正确．
题10(多选题)．给定函数f(x)＝，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的值域是[－1，1]
C．f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数
D．f(x)有三个零点
【解析】选AB.因为函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，
所以f(x)的图象关于原点对称，故A正确；当x＝0时，f(x)＝0，
当x≠0时，f(x)＝，又x＋≥2或x＋≤－2，所以0＜f(x)≤1或－1≤f(x)＜0，
综上得f(x)的值域为[－1，1]，故B正确；因为t＝x＋在[1，＋∞)单调递增，所以由B选项解析得，f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，故C不正确；
令f(x)＝0，即＝0，解得x＝0，故D不正确．
题11(多选题)．设函数f(x)＝ 若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c).则下列结论恒成立的是( )
A．ab＝1 B．c－a＝
C．b2－4ac＜0 D．a＋c＜2b
【解析】选ABC.根据函数表达式作出函数图象；
设f(a)＝f(b)＝f(c)＝k，则0＜k＜1；
因为0＜a＜b＜c，则a＝()k，b＝2k，c＝()k＋；
选项A，ab＝()k·2k＝1，正确；
选项B，c－a＝()k＋－()k＝，正确；
选项C，b2－4ac＝(2k)2－4×()k[()k＋]，设2k＝t∈(1，2)，则b2－4ac＝t2－－；
设h(t)＝t2－－，由y＝t2，y＝－，y＝在(1，2)均为增函数，
则函数h(t)在(1，2)上单调递增，则h(t)＜h(2)＝4－1－3＝0；
所以b2－4ac＜0成立，正确；
选项D，取k＝，有a＋c＝＞2b＝2，错误．
题12(多选题)．下列几个说法，其中正确的有( )
A．已知函数f(x)的定义域是，则f(2x)的定义域是(－1，3]
B．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则实数m的取值范围为m＜－5
C．已知关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a＝0的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取值范围是a＜－1或a＞0
D．若函数f(x)＝4＋x2ln在区间[－，]上的最大值与最小值分别为M和m，则M＋m＝8
【解析】选AD.对于A，因为函数f(x)的定义域是，所以由＜2x≤8，得－1＜x≤3，所以f(2x)的定义域是(－1，3]，所以A正确；
对于B，当x∈(1，2)时，由x2＋mx＋4＜0得m＜－恒成立，因为x∈(1，2)所以－5＜－＜－4，所以m≤－5，所以B错误，
对于C，令f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a，因为关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a＝0的一根比1大且另一根比1小，所以f(1)＜0，即a2＋a＜0，得－1＜a＜0，所以C错误，
对于D，令g(x)＝x2ln，在区间[－，]上，因为g(－x)＝(－x)2ln＝x2ln ()－1＝－x2ln ()＝－g(x)，所以g(x)＝x2ln为奇函数，所以g(x)的最大值与最小值的和为0，所以f(x)最大值与最小值的和为8，所以D正确．
题13．某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，根据药学原理，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为y＝ 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习．那么从药物释放开始，至少需要经过____________小时后，学生才能回到教室．
【解析】当0≤t≤0.1时，y＝10t＝0.25，t＝0.025，但是随着时间的增加，室内的含药量也在增加，所以此时学生不能回到教室，所以有y≤0.25＝，所以，所以t－0.1≥，所以t≥0.6，所以至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．
答案：0.6
题14．已知函数y＝x2－4x＋m，若该函数的两个零点都在区间[1，＋∞)内，则实数m的取值范围是____________；若该函数仅有一个零点在区间[1，＋∞)内则实数m的取值范围是____________．
【解析】(1)由二次函数y＝x2－4x＋m有两个零点都在区间[1，＋∞)内，函数对称轴为x＝2，
结合二次函数的图象与零点存在性定理可知，
解得3≤m≤4，所以实数m的取值范围为[3，4]；
(2)若该函数仅有一个零点在区间[1，＋∞)内，则有
①当函数只有一个零点时， 解得m＝4；
②当函数有两个不同的零点时， 解得m＜3；
综上，实数m的取值范围是(－∞，3)∪{4}．
答案：[3，4] (－∞，3)∪{4}
题15．某水果超市从12月15日至1月5日(共计22天，12月15日为第1天，12月16日为第2天，…，1月5日为第22天)，某种苹果的销售量y千克随时间第x天变化的函数图象如图所示，则该超市在12月20日大约卖出了这种苹果____________千克．
【解析】当1≤x≤10时，设直线方程为y＝kx＋b，
将点(1，10)，(10，30)代入直线方程解得k＝，b＝，
故y＝x＋.当x＝6时，y＝≈21.
答案：21
题16．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．
(1)求实数k的值；
(2)设g(x)＝m，若f(x)＝g(x)最多有一个实数解，求实数m的取值范围．
【解析】(1)因为f(x)是偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，
即log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx恒成立，故log4＝－2kx恒成立，
又log4＝log4＝log44x＝x，所以x＝－2kx在x∈R上恒成立，即k＝－.
(2)由(1)知：f(x)＝log4(4x＋1)－，
令x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝log4(＋1)－－log4(4＋1)＋
＝log4－log4＝log4，
又2＋2－2－2＝(2－1)(2－2)＞0，
所以2＋2＞2＋2，即f(x1)－f(x2)＞0，
所以f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上递增，由偶函数知：在(－∞，0)上递减，
所以f(x)≥f(0)＝，要使f(x)＝g(x)＝m最多有一个实数解，则m≤.
所以实数m的取值范围为.
题17．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1).
(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在[1，3]上有零点，求实数a的取值范围．
【解析】(1)函数f(x)的图象为开口向上，对称轴为直线x＝a的抛物线，所以f(x)在[1，a]上单调递减，
所以 即 解得a＝2.
(2)f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)在[1，3]上有零点，即x2－2ax＋5＝0在[1，3]上有解，
即2a＝x＋在[1，3]上有解．
令h(x)＝x＋，因为h(x)＝x＋在[1，]上是减函数，在[，3]上是增函数，
所以2≤h(x)≤6，所以2≤2a≤6，所以≤a≤3，
即实数a的取值范围为[，3].
题18．5G技术的价值和意义是在自动驾驶、物联网等领域．其数学原理之一是香农公式：C＝W·log2(1＋)，其中：C(单位：bit/s)是信道容量或者叫信道支持的最大速度，W(单位：Hz)是信道的带宽，P(单位：dB)是平均信号率，N(单位：dB)是平均噪声功率，叫做信噪比．
(1)根据香农公式，如果不改变带宽W，那么将信噪比从1 023提升到多少时，信道容量C能提升10%
(2)已知信号功率P＝P1＋P2，证明：W＝log2(1＋)＝Wlog2(1＋)＋Wlog2(1＋)；
(3)现有3个并行的信道X1，X2，X3，它们的信号功率分别为P1，P2，P3(P1＜P2＜P3)，这3个信道上已经有一些噪声或者信号功率．根据(2)中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？(只需写出结论)
【解析】(1)当＝1 023时，C＝Wlog21 024＝10W，
令Wlog2＝10W(1＋10%)得，Wlog2＝11W，解得＝211－1＝2 047，
所以若不改变带宽W，将信噪比从1 023提升到2 047时，信道容量C能提升10%.
(2)右边＝Wlog2(1＋)＋Wlog2(1＋)＝Wlog2(1＋)(1＋)
＝Wlog2(1＋)＝Wlog2(1＋)
＝Wlog2(1＋)＝Wlog2(1＋)＝Wlog2(1＋)＝左边，所以原式成立．
(3)分配到信道X1上能获得最大的信道容量．
题19．已知定义域为R的函数f(x)＝ 是奇函数，h(x)为指数函数且h(x)的图象过点(2，4).
(1)求f(x)的表达式；
(2)若方程f(|x2＋3x|)＋f(－a|x－1|)＝0恰有2个互异的实数根，求实数a的取值集合．
【解析】(1)由题意，设h(x)＝ax，因为h(x)过点(2，4)，可得a2＝4，解得a＝2，
即h(x)＝2x，所以f(x)＝，又因为f(x)为奇函数，可得f(0)＝0，
即f(0)＝＝0，解得n＝－1，经检验，符合f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝.
(2)由于f(x)为奇函数，所以由f(|x2＋3x|)＋f(－a|x－1|)＝0，可得f(|x2＋3x|)
＝f(a|x－1|)，
又因为f(x)在R上递减，即|x2＋3x|＝a|x－1|，
显然x≠1，所以a＝，令t＝x－1，则a＝，
又由当t＞0时，，当且仅当时，即t＝2时等号成立；
当t＜0时，，
当且仅当时，即t＝－2时等号成立，方程有2个互异实数根，画出y＝的图象，如图所示
由图可得，实数a的取值集合为{a|1＜a＜9或a＝0}．