2.1等式性质与不等式性质 第1课时 不等关系与比较大小（含解析）

第二章　2.1等式性质与不等式性质
第1课时不等关系与比较大小
A　组·素养自测
一、选择题
1．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系(　　)
A．T<40　　　 B．T>40
C．T≤40　　 D．T≥40
2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．M>N　　 B．M＝N
C．M3．已知a，b分别对应数轴上的A，B两点，且A在原点右侧，B在原点左侧，则下列不等式成立的是(　　)
A．a－b≤0　　 B．a＋b<0
C．|a|>|b|　　 D．a>b
4．若某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，则用不等式表示为(　　)
A．v≤120 km/h或d≥10 m
B．
C．v≤120 km/h
D．d≥10 m
5．若x∈R，y∈R，则(　　)
A．x2＋y2>2xy－1　　 B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1　　 D．x2＋y2≤2xy－1
6．完成一项装修工程，请木工需付工资每人400元，请瓦工需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20 000元．设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是(　　)
A．4x＋5y≤200　　 B．4x＋5y<200
C．5x＋4y≤200　　 D．5x＋4y<200
二、填空题
7．已知两实数a＝－2x2＋2x－10，b＝－x2＋3x－9，a，b分别对应数轴上两点A，B，则点A在点B的____(填“左边”或“右边”)．
8．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写成不等式为____；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为____.
9．打算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，若购买桌子和椅子的数目分别为x，y，用不等式组表示上述不等关系为____.
三、解答题
10．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式(组)将题中的不等关系表示出来．
11．(1)已知a>b>c>0，试比较与的大小；
(2)比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
B　组·素养提升
一、选择题
1．已知三角形的任意两边之和大于第三边，设△ABC的三边长为a，b，c，将上述文字语言用不等式(组)可表示为(　　)
A．a＋b>c　　 B．
C．　　 D．
2．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是(　　)
A．h2>h1>h4　　 B．h1>h2>h3
C．h3>h2>h4　　 D．h2>h4>h1
3．(多选题)若xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
4．(多选题)下列不等式恒成立的是(　　)
A．a2＋2>2a　　 B．a2＋1>2a
C．a2＋b2≥2(a－b－1)　　 D．a2＋b2>ab
二、填空题
5．已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式，当b>a>0且m>0时，____.
6．已知|a|<1，则与1－a的大小关系为____.
7．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c三、解答题
8．已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
9．两个人两次到商店买糖果，两次糖果的价格不一样，甲是每次买相同钱数的糖果，乙是每次买相同数量的糖果，问哪个的平均价格低？
解析版答案
第二章　2.1等式性质与不等式性质
第1课时不等关系与比较大小
A　组·素养自测
一、选择题
1．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系(　C　)
A．T<40　　　 B．T>40
C．T≤40　　 D．T≥40
2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　A　)
A．M>N　　 B．M＝N
C．M[解析]　M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，故M>N.
3．已知a，b分别对应数轴上的A，B两点，且A在原点右侧，B在原点左侧，则下列不等式成立的是(　D　)
A．a－b≤0　　 B．a＋b<0
C．|a|>|b|　　 D．a>b
[解析]　a>0，b<0，∴a>b.
4．若某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，则用不等式表示为(　B　)
A．v≤120 km/h或d≥10 m
B．
C．v≤120 km/h
D．d≥10 m
[解析]　考虑实际意义，知v≤120 km/h，且d≥10 m.
5．若x∈R，y∈R，则(　A　)
A．x2＋y2>2xy－1　　 B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1　　 D．x2＋y2≤2xy－1
[解析]　x2＋y2－(2xy－1)
＝x2－2xy＋y2＋1
＝(x－y)2＋1>0，
∴x2＋y2>2xy－1，故选A．
6．完成一项装修工程，请木工需付工资每人400元，请瓦工需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20 000元．设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是(　A　)
A．4x＋5y≤200　　 B．4x＋5y<200
C．5x＋4y≤200　　 D．5x＋4y<200
[解析]　由题意，可得400x＋500y≤20 000，化简得4x＋5y≤200，故选A．
二、填空题
7．已知两实数a＝－2x2＋2x－10，b＝－x2＋3x－9，a，b分别对应数轴上两点A，B，则点A在点B的__左边__(填“左边”或“右边”)．
[解析]　∵a－b＝－2x2＋2x－10－(－x2＋3x－9)
＝－2x2＋2x－10＋x2－3x＋9
＝－x2－x－1＝－2－<0，
∴a8．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写成不等式为__8(x＋19)>2_200__；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为__9<<10__.
9．打算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，若购买桌子和椅子的数目分别为x，y，用不等式组表示上述不等关系为____.
三、解答题
10．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式(组)将题中的不等关系表示出来．
[解析]　据题意可得(x，y，z∈N)．
11．(1)已知a>b>c>0，试比较与的大小；
(2)比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
[解析]　(1)－＝
＝＝
＝.
因为a>b>c>0，所以a－b>0，ab>0，a＋b－c>0.所以>0，即>.
(2)(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝2＋.因为2≥0，所以2＋≥>0，所以(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，所以2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.
B　组·素养提升
一、选择题
1．已知三角形的任意两边之和大于第三边，设△ABC的三边长为a，b，c，将上述文字语言用不等式(组)可表示为(　D　)
A．a＋b>c　　 B．
C．　　 D．
[解析]　由三角形三边关系及题意易知选D．
2．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是(　A　)
A．h2>h1>h4　　 B．h1>h2>h3
C．h3>h2>h4　　 D．h2>h4>h1
[解析]　观察图形可知体积减少一半后剩余酒的高度最高为h2，最低为h4.故选A．
3．(多选题)若xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
[解析]　∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.
又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2，
∴x2>ax>a2，故选项B一定成立，
故选ACD．
4．(多选题)下列不等式恒成立的是(　AC　)
A．a2＋2>2a　　 B．a2＋1>2a
C．a2＋b2≥2(a－b－1)　　 D．a2＋b2>ab
[解析]　对于A，a2＋2－2a＝(a－1)2＋1>0，故A成立；
对于B，因a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，故B不成立；对于C，a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，故C成立；对于D，a2＋b2－ab＝2＋b2≥0，故D不成立，故选AC．
二、填空题
5．已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式，当b>a>0且m>0时，__>__.
[解析]　变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了，所以当b>a>0且m>0时，>.
6．已知|a|<1，则与1－a的大小关系为__≥1－a__.
[解析]　由|a|<1，得－1∴1＋a>0，1－a>0.∴＝.
∵0<1－a2≤1，∴≥1，∴≥1－a.
7．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋cb>a>c__.
[解析]　∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.∴bb>a>c.
三、解答题
8．已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
[解析]　x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1).
∵x<1，∴x－1<0.又2＋>0，
∴(x－1)<0，
∴x3－1<2x2－2x.
9．两个人两次到商店买糖果，两次糖果的价格不一样，甲是每次买相同钱数的糖果，乙是每次买相同数量的糖果，问哪个的平均价格低？
[解析]　设两次价格为a，b(a>0，b>0，a≠b)，
设甲每次买m钱数，则平均价格为＝，
设乙每次买n数量的糖果，则平均价格为＝.
又－＝＝－且a>0，b>0，a≠b，
所以－<0，所以甲的平均价格低．