辽宁省锦州市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·岳阳）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是-2023，
故答案为：B.
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，根据相反数的定义计算求解即可。
2．（2023·锦州）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看共有两层，由上往下第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形.
故答案为：B.
【分析】俯视图，就是从上向下看得到的平面图形，弄清楚行数与列数，及各行各列小正方形的个数即可.
3．（2023·锦州）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故此选项错误，不符合题意；
B、a2×a3=a5，故此选项计算正确，符合题意；
C、(a2)3=a6，故此选项计算错误，不符合题意；
D、（-2a2）3=-8a6，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项，就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序及系数都没有关系，合并同类项的时候，只需要将同类项的系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的一定不能合并，据此可判断A选项；同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，据此可判断B选项；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此可判断C选项；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此可判断D选项.
4．（2023·锦州）如图，将一个含角的直角三角板按如图所示的位置摆放在直尺上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=28°，
∴∠3=180°-∠1-45°=107°，
∵a∥b，
∴∠3=∠2=107°.
故答案为：C.
【分析】由平角的定义先算出∠3的度数，进而根据二直线平行，同位角相等求出∠3=∠2=107°.
5．（2023·锦州）在一次跳绳测试中，参与测试的10名学生一分钟跳绳成绩如下表所示：
成绩/次 129 130 132 135 137
人数/人 1 3 2 2 2
这10名学生跳绳成绩的中位数和众数分别为（ ）
A．132，130 B．132，132 C．130，130 D．130，132
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这10名同学的成绩从低到高排列后排第5与6位的成绩都是132次，
所以这10名学生跳绳成绩的中位数为（132+132）÷2=132；
这10名学生跳绳成绩中出现次数最多的是130次，出现了3次，
所以这这10名学生跳绳成绩的众数为130.
故答案为：A.
【分析】将一组数据按从小到大排列后，若数据的个数是奇数个，则排在这组数据的最中间的数据就是这组数据的中位数，若数据的个数是偶数个，则排在这组数据的最中间的两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数，据此并结合统计表提供的信息可得答案.
6．（2023·锦州）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有两个实数根，
∴，
解得：且k≠0.
故答案为：D.
【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0），当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出关于字母k的不等式组，求解即可.
7．（2023·锦州）如图，点A，B，C在上，，连接，．若的半径为3，则扇形（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°，
∴S扇形AOC=.
故答案为：D.
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求出∠AOC的度数，进而根据扇形的面积公式“”计算即可.
8．（2023·锦州）如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥EF于点H，
∵DE=DF=5，EF=8，
∴EH=FH=EF=4，
∴；
①当0≤t＜4时，如图，重叠部分为△EPQ，此时EQ=t，PQ∥DH，
∴△EPQ∽△EDH，
∴，即，
∴，
∴；
②当4≤t＜8时，如图，重叠部分为四边形POC'B'，此时CC'=t，PB'∥DE，
∴B'F=BC+CF-BB'=12-t，CF=8-t，
∵PB'∥DE，
∴△PB'F∽△DCF，
∴，
又∵S△DCF=×8×3=12，
∴，
∵DH⊥BC，∠AB'C'=90°，
∴AC'∥DH，
∴△C'QF∽△HFD，
∴，即，
∴，
∴；
③当8＜t≤12时，如图，重叠部分为△PFB'，此时BB'=CC'=t，PB'∥DE，
∴B'F=BC+CF-BB'=12-t，
∵PB'∥DE，
∴△PB'F∽△DCF，
∴，即，
∴，
综上
∴函数分为三段，第一段是开口向上的抛物线，第二段是开口向下的抛物线，第三段又是开口向上的抛物线，
∴符合题意得函数图象是A选项.
故答案为：A.
【分析】首先根据等腰三角形的三线合一得出EH=FH=EF=4，然后根据勾股定理算出DH的长；然后分类讨论：①当0≤t＜4时，如图，重叠部分为△EPQ，此时EQ=t，PQ∥DH，判断出△EPQ∽△EDH，根据相似三角形对应边成比例用含t的式子表示出PQ，进而根据三角形面积计算公式表示出S；②当4≤t＜8时，如图，重叠部分为四边形POC'B'，此时CC'=t，PB'∥DE，判断出△PB'F∽△DCF，△C'QF∽△HFD，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方表示出△PB'F及△C'FQ的面积，进而根据S=S△PB'F-S△C'QF表示出S；③当8＜t≤12时，如图，重叠部分为△PFB'，此时BB'=CC'=t，PB'∥DE， 判断出△PB'F∽△DCF，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方表示出三角形PB'F的面积，从而根据各段函数图象的开口方向判断得出答案.
二、填空题
9．（2023·锦州）近年来，跑步成为越来越多人的一种生活方式．据官方数据显示，2023年上海半程马拉松报名人数达到78922人．将数据78922用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 78922用科学记数法表示为：7.8922×104.
故答案为：7.8922×104.
【分析】科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1，据此可得答案.
10．（2020七下·玄武期中）因式分解： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】直接提取公因式即可.
11．（2023·锦州）甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是，，，则三名运动员中这5次训练成绩最稳定的是 ．（填“甲”或“乙”或“丙”）
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，而0.20＜0.78＜1.28，
∴三名运动员中这5次训练成绩最稳定的是乙.
故答案为：乙.
【分析】方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定，据此判断得出答案.
12．（2023·锦州）一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为 ．
【答案】15
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解： ∵一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右 ，
∴摸到黑色的概率为0.25；
设盒子中有红色的小球x个，
由题意得，
解得x=15，
经检验x=15是原方程的根，
∴盒子中红色的个数为15个.
故答案为：15.
【分析】设盒子中有红色的小球x个，用盒子中黑色小球的个数除以盒子中小球的总个数可得从盒子中摸到黑色小球的概率，列出方程，求解即可.
13．（2023·锦州）如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠B=x，
∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠B=x，
∴∠AEC=∠B+∠ECB=2x，
∵AC=CE，
∴∠A=∠AEC=2x，
∵∠ACE=40°，∠A+∠AEC+∠ACE=180°，
∴2x+2x+40°=180°，
∴x=35°，即∠B=35°.
故答案为：35°.
【分析】设∠B=x，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BE=CE，由等边对等角得∠ECB=∠B=x，根据三角形外角相等得∠AEC=∠B+∠ECB=2x，再由等边对等角得∠A=∠AEC=2x，最后根据三角形的内角和定理建立方程，求解可得答案.
14．（2023·锦州）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；解直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意可得射线AM是为∠CAB的角平分线，
在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠CAF=∠BAF=∠BAC=30°，
过点C作CE⊥AB于点N，交AF于点P，如图，
在Rt△APN中，∠BAF=30°，
∴PN=AP，
∴CP+AP=CP+PN=CN，
根据点到直线的距离，垂线段最短，此时CP+PN最短，
在Rt△ACN中，∵∠CAN=60°，
∴，
∴，
∴CP+AP=CP+PN=CN=.
故答案为：.
【分析】过点C作CE⊥AB于点N，交AF于点P，由尺规作图的过程可得AF为∠BAC的角平分线，易得∠CAF=∠BAF=∠BAC=30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半得PN=AP，则CP+AP=CP+PN=CN，根据点到直线的距离，垂线段最短，此时CP+PN最短，进而根据∠CAN的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出CN的长，从而此题得解.
15．（2023·锦州）如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为 ．
【答案】4
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥OA于点D，
设点C（a，b），点A的坐标为（0，c），
∴CD=a，OA=c，
∵△AOC的面积为6，
∴S△AOC=，
∴ac=12，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴ab=k，
∵点B是线段AC的中点，
∴，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴4k=ab+ac，
将ab=ky与ac=12代入得k=4.
故答案为：4.
【分析】过点C作CD⊥OA于点D，设点C（a，b），点A的坐标为（0，c），根据三角形的面积公式可得ac=12，根据中点坐标公式可得，根据反比例函数图象上的点的坐标特点得ab=k，4k=ab+ac，进而整体代入可求出k的值.
16．（2023·锦州）如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，，…都是平行四边形，顶点，，，，，…都在轴上，顶点，，，，…都在正比例函数（）的图象上，且，，，…，连接，，，，…，分别交射线于点，，，，…，连接，，，…，得到，，，…．若，，，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵B2（3，0），A1（3，1），
∴O1，A1B2⊥x轴，
同理A2B3⊥x轴，A3B4⊥x轴，
∴△A1B1B2∽△A2B2B3，
∴，
∵A1B1=B2C1，
∴，
∴B2B3=，
∴，
可得△O2A3B3∽△O1A2B2，
∴，
∴，……，
∴.
故答案为：.
【分析】根据B2与A1的坐标可得点O1的坐标及A1B2⊥x轴，从而判断出△A1B1B2∽△A2B2B3，由相似三角形对应边成比例可求出B2B3=，进而根据三角形面积计算公式算出△OA2B2的面积，再判断出△O2A3B3∽△O1A2B2，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可算出△O2A3B3的面积，从而找到规律，进而根据规律即可得出答案.
三、解答题
17．（2023·锦州）化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的加法，同时将除式的分子、分母分别分解因式，并将除法转变为乘法，进而约分化简，最后将a的值代入化简的结果计算可得答案.
18．（2023·锦州）2023年，教育部等八部门联合印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，某校为落实该方案，成立了四个主题阅读社团：A．民俗文化，B．节日文化，C．古曲诗词，D．红色经典．学校规定：每名学生必须参加且只能参加一个社团．学校随机对部分学生选择社团的情况进了调查．下面是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次随机调查的学生有 名，在扇形统计图中“A”部分圆心角的度数为 ；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若该校共有1800名学生，请根据以上调查结果，估计全校参加“D”社团的人数．
【答案】（1）60；36°
（2）解：（人）；
补全条形统计图如答案图所示．
（3）解：（名）．
答：全校1800名学生中，参加“D”活动小组的学生约有540名．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）本次调查的总人数（名），
扇形统计图中，A所对应的扇形的圆心角度数是；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用参加“C古典诗词”的人数除以起所占的百分比可求出本次随机调查的学生人数，进而用360°乘以参加“A民俗文化”的人数所占的百分比可算出扇形统计图中“A”部分圆心角的度数；
（2）用本次调查的学生总人数分别减去参加A、C、D三个社团的人数可求出参加B社团的人数，据此可补全条形统计图；
（3）用该校学生的总人数乘以样本中参加“D社团”的人数所占的百分比可估计出该校学生参加“D”社团的人数.
19．（2023·锦州）垃圾分类工作是今年全国住房和城乡建设工作会议部署的重点工作之一．为营造人人参与垃圾分类的良好氛围，某市环保部门开展了“让垃圾分类成为低碳生活新时尚”宣传活动，决定从A，B，C三名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者到社区进行垃圾分类知识宣讲，抽签规则：将三名志愿者的名字分别写在三张完全相同且不透明卡片的正面，把三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的两张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字．
（1）从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是；
（2）按照抽签规则，请你用列表法或画树状图法表示出两次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者同时被抽中的概率．
【答案】（1）解：从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是；
（2）解：根据题意可画树状图如下：
由树状图可知共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中A，B两名志愿者同时被选中的有2种，
∴P（A，B两名志愿者同时被选中）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）根据题意列出树状图，由树状图可知共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中A，B两名志愿者同时被选中的有2种，从而根据概率公式计算即可得出答案.
20．（2023·锦州）2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少元？
【答案】解：设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为元，
根据题意，得．
解这个方程，得．
经检验，是所列方程的根．
（元）．
所以，A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为（2x-48）元，根据总价除以单价等于数量并结合“ 采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元 ”列出方程，求解并检验即可.
21．（2023·锦州）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，）
【答案】解：如图，过点A作于点G，与直线QE交于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D作于点N，
∴四边形DHMN，四边形EFGH均为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：展板最高点A到地面PF的距离为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点A作于点G，与直线QE交于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D作于点N，易得四边形DHMN，四边形EFGH均为矩形，根据矩形的性质得MH=ND，EF=HG=5，BM∥DH，由平行线的性质可得∠NBD=∠BDQ=60°，由角的和差算出∠ABM=45°，在Rt△ABM中，利用∠ABM的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出AM的长，在Rt△BDN中，利用∠NBD的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出ND的长，最后根据线段的和差由AG=AM+MH+GH计算可得答案.
22．（2023·锦州）如图，为的直径，点C在上，与相切于点A，与延长线交于点B，过点B作，交的延长线于点D．
（1）求证：；
（2）点F为上一点，连接，，与交于点G．若，，，求的半径及的长．
【答案】（1）证明：如图，
∵为的直径，与相切于点A，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：连接OF，过点D作DM⊥AB，交AB延长线于点M，如图，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴设，，
在中，，
∵，，
∴，解得，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】圆的综合题；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由切线的性质得∠OAB=90°，由等边对等角得∠OAC=∠OCA，由对顶角相等得∠BCD=∠OCA，则∠OAC=∠BCD，由等角得余角相等的∠BAD=∠C，再根据等角对等边得AB=AD；
（2）连接OF，过点D作DM⊥AB，交AB延长线于点M，在Rt△ABG中，由∠ABG的正切函数可求出AG=，由圆周角定理得∠AOF=90°，再由内错角相等，两直线平行得OF∥AB，由二直线平行，内错角相等得∠OFG=∠ABG，再等角的同名三角函数值相等并结合正切函数的定义可求出该圆的半径；由同角的余角相等得∠BDM=∠OBA，由等角的同名三角函数值相等得，，在Rt△DBM中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，从而求出BM、DM的长，最后再根据勾股定理可算出AD的长.
23．（2023·锦州）端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量y（袋）与售价x（元/袋）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
【答案】（1）解：设一次函数的解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
∴求y与x之间的函数关系式为；
（2）解：设日销售利润为w，
由题意得：
，
∴当时，w有最大值，最大值为810，
∴当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是810元．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据函数图象提供的信息，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式；
（2）设日销售利润为w，根据每袋粽子的利润乘以销售数量等于总利润建立出w关于x的函数关系式，进而根据二次函数性质可解决此题.
24．（2023·锦州）【问题情境】如图，在中，，．点D在边上将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．
（1）【尝试探究】
如图1，当时，易知；
如图2，当时，则与的数量关系为；
（2）如图3，写出与的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由；
（3）【拓展应用】
如图4，当，且点B，E，F三点共线时．若，，请直接写出的长．
【答案】（1）解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵，，
∴，
∴．
∵是以为底边的等腰三角形，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，H为的中点，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴．
又，
∴；
（2）解：；
如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵，，
∴，
∴．
∵是以为底边的等腰三角形，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，H为的中点，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴．
（3）解：．
如图，过点D作DM⊥BF于点M，过点C作CH⊥BF，交BF延长线于点H，
∴．
∵线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE，
∴．
∴．
∵是以CE为底边的等腰三角形，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
在中，，，
∴．
∴，解得．
∴．
∵，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可找出∠BAC=∠EFC，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△FEC，由相似三角形对应边成比例得，则，由∠ACB=∠FCE推出∠BCE∽△ACF，由两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△BCE∽△ACF，由相似三角形对应边成比例得，由等腰三角形的三线合一得BC=2CH，在Rt△AHC中，由∠ACH的余弦函数可得，最后根据特殊锐角三角函数值可得；
（2），过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可找出∠BAC=∠EFC，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△FEC，由相似三角形对应边成比例得，则，由∠ACB=∠FCE推出∠BCE∽△ACF，由两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△BCE∽△ACF，由相似三角形对应边成比例得，由等腰三角形的三线合一得BC=2CH，在Rt△AHC中，由∠ACH的余弦函数可得；
（3）过点D作DM⊥BF于点M，过点C作CH⊥BF，交BF延长线于点H，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得DM∥CH，由旋转的性质得DB=DE，由等腰三角形的三线合一得BM=EM，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质得∠HFC=∠FEC+∠FCE=60°，由含30°角直角三角形的性质可得FC=2FH，设BM=x，则BE=2x，由平行线分线段成比例定理得，从而可得BH=5x，EH=3x，FE=FC=2x，FH=x，则，在Rt△BHC中，由勾股定理建立方程可求出x的值，从而得到BE=4，从而可得答案.
25．（2023·锦州）如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，解得．
∴抛物线的表达式为：．
（2）解：如下图，连接DB，过点E作EP∥y轴交BD于点P，
∵
，
∴．
令中，则，
解得或，
∴，
设直线为，
∵过点，，
∴，
解得，
∴直线的表达式为：．
设，，
∴
．
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴；
（3）解：存在，点G的坐标为或．
如下图，连接CG，DG，
∵四边形EFGH是菱形，，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
∴，
∵，，，
∴，，点C与点E关于对称轴对称，
∴，DF⊥CE，
∴是等边三角形，，
∴，
∴即，，
∴．
∴．
∴直线CG的表达式为：．
与抛物线表达式联立得．
∴点G坐标为．
如下图，连接CG，DG，CF，
同理可证：△EFG是等边三角形，△DCE是等边三角形，△DGE≌△CFE．
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴直线的表达式为：．
与抛物线表达式联立得．
∴点坐标为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线可得关于字母b、c的方程组，求解得到b、c的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）连接DB，过点E作EP∥y轴交BD于点P，将抛物线的解析式配成顶点式可得点D的坐标，令抛物线解析式中的y=0算出对应的函数值可求出点B的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，进而点的坐标与图形的性质用含x的式子标出点E与点P的坐标，然后根据两点间的距离公式表示出PE的长，进而根据建立方程求出x的值，从而求出点E的坐标；
（3）存在，点G的坐标为或；连接CG，DG，由据菱形性质结合∠EFG=60°可得△EFG是等边三角形，由等边三角形的性质得∠FEG=60°，EF=FG，由两点间的距离公式算出CE=CD=DE=2，则△DCE是等边三角形，由轴对称的性质及等腰三角形的三线合一的∠EDF=∠CDE=30°，利用SAS判断出△CEG≌△DEF，得∠ECG=∠EDF=30°，利用待定系数法求出直线CG的解析式，联立直线CG的解析式与抛物线的解析式组成的方程组可求出点G的坐标；连接CG，DG，CF，同理可证：△EFG是等边三角形，△DCE是等边三角形，△DGE≌△CFE．得DG=CF，利用SSS判断出△CDG≌△CEG，得∠DCG=∠ECG=30°，利用利用待定系数法求出直线CG的解析式，联立直线CG的解析式与抛物线的解析式组成的方程组可求出点G的坐标，综上即可得出答案.
1 / 1辽宁省锦州市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·岳阳）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·锦州）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·锦州）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·锦州）如图，将一个含角的直角三角板按如图所示的位置摆放在直尺上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·锦州）在一次跳绳测试中，参与测试的10名学生一分钟跳绳成绩如下表所示：
成绩/次 129 130 132 135 137
人数/人 1 3 2 2 2
这10名学生跳绳成绩的中位数和众数分别为（ ）
A．132，130 B．132，132 C．130，130 D．130，132
6．（2023·锦州）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
7．（2023·锦州）如图，点A，B，C在上，，连接，．若的半径为3，则扇形（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·锦州）如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023·锦州）近年来，跑步成为越来越多人的一种生活方式．据官方数据显示，2023年上海半程马拉松报名人数达到78922人．将数据78922用科学记数法表示为 ．
10．（2020七下·玄武期中）因式分解： .
11．（2023·锦州）甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是，，，则三名运动员中这5次训练成绩最稳定的是 ．（填“甲”或“乙”或“丙”）
12．（2023·锦州）一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为 ．
13．（2023·锦州）如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ．
14．（2023·锦州）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
15．（2023·锦州）如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为 ．
16．（2023·锦州）如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，，…都是平行四边形，顶点，，，，，…都在轴上，顶点，，，，…都在正比例函数（）的图象上，且，，，…，连接，，，，…，分别交射线于点，，，，…，连接，，，…，得到，，，…．若，，，则的面积为 ．
三、解答题
17．（2023·锦州）化简，再求值：，其中．
18．（2023·锦州）2023年，教育部等八部门联合印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，某校为落实该方案，成立了四个主题阅读社团：A．民俗文化，B．节日文化，C．古曲诗词，D．红色经典．学校规定：每名学生必须参加且只能参加一个社团．学校随机对部分学生选择社团的情况进了调查．下面是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次随机调查的学生有 名，在扇形统计图中“A”部分圆心角的度数为 ；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若该校共有1800名学生，请根据以上调查结果，估计全校参加“D”社团的人数．
19．（2023·锦州）垃圾分类工作是今年全国住房和城乡建设工作会议部署的重点工作之一．为营造人人参与垃圾分类的良好氛围，某市环保部门开展了“让垃圾分类成为低碳生活新时尚”宣传活动，决定从A，B，C三名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者到社区进行垃圾分类知识宣讲，抽签规则：将三名志愿者的名字分别写在三张完全相同且不透明卡片的正面，把三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的两张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字．
（1）从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是；
（2）按照抽签规则，请你用列表法或画树状图法表示出两次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者同时被抽中的概率．
20．（2023·锦州）2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少元？
21．（2023·锦州）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，）
22．（2023·锦州）如图，为的直径，点C在上，与相切于点A，与延长线交于点B，过点B作，交的延长线于点D．
（1）求证：；
（2）点F为上一点，连接，，与交于点G．若，，，求的半径及的长．
23．（2023·锦州）端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量y（袋）与售价x（元/袋）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
24．（2023·锦州）【问题情境】如图，在中，，．点D在边上将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．
（1）【尝试探究】
如图1，当时，易知；
如图2，当时，则与的数量关系为；
（2）如图3，写出与的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由；
（3）【拓展应用】
如图4，当，且点B，E，F三点共线时．若，，请直接写出的长．
25．（2023·锦州）如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是-2023，
故答案为：B.
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，根据相反数的定义计算求解即可。
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看共有两层，由上往下第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形.
故答案为：B.
【分析】俯视图，就是从上向下看得到的平面图形，弄清楚行数与列数，及各行各列小正方形的个数即可.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故此选项错误，不符合题意；
B、a2×a3=a5，故此选项计算正确，符合题意；
C、(a2)3=a6，故此选项计算错误，不符合题意；
D、（-2a2）3=-8a6，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项，就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序及系数都没有关系，合并同类项的时候，只需要将同类项的系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的一定不能合并，据此可判断A选项；同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，据此可判断B选项；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此可判断C选项；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此可判断D选项.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=28°，
∴∠3=180°-∠1-45°=107°，
∵a∥b，
∴∠3=∠2=107°.
故答案为：C.
【分析】由平角的定义先算出∠3的度数，进而根据二直线平行，同位角相等求出∠3=∠2=107°.
5．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这10名同学的成绩从低到高排列后排第5与6位的成绩都是132次，
所以这10名学生跳绳成绩的中位数为（132+132）÷2=132；
这10名学生跳绳成绩中出现次数最多的是130次，出现了3次，
所以这这10名学生跳绳成绩的众数为130.
故答案为：A.
【分析】将一组数据按从小到大排列后，若数据的个数是奇数个，则排在这组数据的最中间的数据就是这组数据的中位数，若数据的个数是偶数个，则排在这组数据的最中间的两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数，据此并结合统计表提供的信息可得答案.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有两个实数根，
∴，
解得：且k≠0.
故答案为：D.
【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0），当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出关于字母k的不等式组，求解即可.
7．【答案】D
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°，
∴S扇形AOC=.
故答案为：D.
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求出∠AOC的度数，进而根据扇形的面积公式“”计算即可.
8．【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥EF于点H，
∵DE=DF=5，EF=8，
∴EH=FH=EF=4，
∴；
①当0≤t＜4时，如图，重叠部分为△EPQ，此时EQ=t，PQ∥DH，
∴△EPQ∽△EDH，
∴，即，
∴，
∴；
②当4≤t＜8时，如图，重叠部分为四边形POC'B'，此时CC'=t，PB'∥DE，
∴B'F=BC+CF-BB'=12-t，CF=8-t，
∵PB'∥DE，
∴△PB'F∽△DCF，
∴，
又∵S△DCF=×8×3=12，
∴，
∵DH⊥BC，∠AB'C'=90°，
∴AC'∥DH，
∴△C'QF∽△HFD，
∴，即，
∴，
∴；
③当8＜t≤12时，如图，重叠部分为△PFB'，此时BB'=CC'=t，PB'∥DE，
∴B'F=BC+CF-BB'=12-t，
∵PB'∥DE，
∴△PB'F∽△DCF，
∴，即，
∴，
综上
∴函数分为三段，第一段是开口向上的抛物线，第二段是开口向下的抛物线，第三段又是开口向上的抛物线，
∴符合题意得函数图象是A选项.
故答案为：A.
【分析】首先根据等腰三角形的三线合一得出EH=FH=EF=4，然后根据勾股定理算出DH的长；然后分类讨论：①当0≤t＜4时，如图，重叠部分为△EPQ，此时EQ=t，PQ∥DH，判断出△EPQ∽△EDH，根据相似三角形对应边成比例用含t的式子表示出PQ，进而根据三角形面积计算公式表示出S；②当4≤t＜8时，如图，重叠部分为四边形POC'B'，此时CC'=t，PB'∥DE，判断出△PB'F∽△DCF，△C'QF∽△HFD，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方表示出△PB'F及△C'FQ的面积，进而根据S=S△PB'F-S△C'QF表示出S；③当8＜t≤12时，如图，重叠部分为△PFB'，此时BB'=CC'=t，PB'∥DE， 判断出△PB'F∽△DCF，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方表示出三角形PB'F的面积，从而根据各段函数图象的开口方向判断得出答案.
9．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 78922用科学记数法表示为：7.8922×104.
故答案为：7.8922×104.
【分析】科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1，据此可得答案.
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】直接提取公因式即可.
11．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，而0.20＜0.78＜1.28，
∴三名运动员中这5次训练成绩最稳定的是乙.
故答案为：乙.
【分析】方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定，据此判断得出答案.
12．【答案】15
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解： ∵一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右 ，
∴摸到黑色的概率为0.25；
设盒子中有红色的小球x个，
由题意得，
解得x=15，
经检验x=15是原方程的根，
∴盒子中红色的个数为15个.
故答案为：15.
【分析】设盒子中有红色的小球x个，用盒子中黑色小球的个数除以盒子中小球的总个数可得从盒子中摸到黑色小球的概率，列出方程，求解即可.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠B=x，
∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠B=x，
∴∠AEC=∠B+∠ECB=2x，
∵AC=CE，
∴∠A=∠AEC=2x，
∵∠ACE=40°，∠A+∠AEC+∠ACE=180°，
∴2x+2x+40°=180°，
∴x=35°，即∠B=35°.
故答案为：35°.
【分析】设∠B=x，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BE=CE，由等边对等角得∠ECB=∠B=x，根据三角形外角相等得∠AEC=∠B+∠ECB=2x，再由等边对等角得∠A=∠AEC=2x，最后根据三角形的内角和定理建立方程，求解可得答案.
14．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；解直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意可得射线AM是为∠CAB的角平分线，
在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠CAF=∠BAF=∠BAC=30°，
过点C作CE⊥AB于点N，交AF于点P，如图，
在Rt△APN中，∠BAF=30°，
∴PN=AP，
∴CP+AP=CP+PN=CN，
根据点到直线的距离，垂线段最短，此时CP+PN最短，
在Rt△ACN中，∵∠CAN=60°，
∴，
∴，
∴CP+AP=CP+PN=CN=.
故答案为：.
【分析】过点C作CE⊥AB于点N，交AF于点P，由尺规作图的过程可得AF为∠BAC的角平分线，易得∠CAF=∠BAF=∠BAC=30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半得PN=AP，则CP+AP=CP+PN=CN，根据点到直线的距离，垂线段最短，此时CP+PN最短，进而根据∠CAN的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出CN的长，从而此题得解.
15．【答案】4
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥OA于点D，
设点C（a，b），点A的坐标为（0，c），
∴CD=a，OA=c，
∵△AOC的面积为6，
∴S△AOC=，
∴ac=12，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴ab=k，
∵点B是线段AC的中点，
∴，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴4k=ab+ac，
将ab=ky与ac=12代入得k=4.
故答案为：4.
【分析】过点C作CD⊥OA于点D，设点C（a，b），点A的坐标为（0，c），根据三角形的面积公式可得ac=12，根据中点坐标公式可得，根据反比例函数图象上的点的坐标特点得ab=k，4k=ab+ac，进而整体代入可求出k的值.
16．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵B2（3，0），A1（3，1），
∴O1，A1B2⊥x轴，
同理A2B3⊥x轴，A3B4⊥x轴，
∴△A1B1B2∽△A2B2B3，
∴，
∵A1B1=B2C1，
∴，
∴B2B3=，
∴，
可得△O2A3B3∽△O1A2B2，
∴，
∴，……，
∴.
故答案为：.
【分析】根据B2与A1的坐标可得点O1的坐标及A1B2⊥x轴，从而判断出△A1B1B2∽△A2B2B3，由相似三角形对应边成比例可求出B2B3=，进而根据三角形面积计算公式算出△OA2B2的面积，再判断出△O2A3B3∽△O1A2B2，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可算出△O2A3B3的面积，从而找到规律，进而根据规律即可得出答案.
17．【答案】解：原式
．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的加法，同时将除式的分子、分母分别分解因式，并将除法转变为乘法，进而约分化简，最后将a的值代入化简的结果计算可得答案.
18．【答案】（1）60；36°
（2）解：（人）；
补全条形统计图如答案图所示．
（3）解：（名）．
答：全校1800名学生中，参加“D”活动小组的学生约有540名．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）本次调查的总人数（名），
扇形统计图中，A所对应的扇形的圆心角度数是；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用参加“C古典诗词”的人数除以起所占的百分比可求出本次随机调查的学生人数，进而用360°乘以参加“A民俗文化”的人数所占的百分比可算出扇形统计图中“A”部分圆心角的度数；
（2）用本次调查的学生总人数分别减去参加A、C、D三个社团的人数可求出参加B社团的人数，据此可补全条形统计图；
（3）用该校学生的总人数乘以样本中参加“D社团”的人数所占的百分比可估计出该校学生参加“D”社团的人数.
19．【答案】（1）解：从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是；
（2）解：根据题意可画树状图如下：
由树状图可知共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中A，B两名志愿者同时被选中的有2种，
∴P（A，B两名志愿者同时被选中）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）根据题意列出树状图，由树状图可知共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中A，B两名志愿者同时被选中的有2种，从而根据概率公式计算即可得出答案.
20．【答案】解：设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为元，
根据题意，得．
解这个方程，得．
经检验，是所列方程的根．
（元）．
所以，A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为（2x-48）元，根据总价除以单价等于数量并结合“ 采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元 ”列出方程，求解并检验即可.
21．【答案】解：如图，过点A作于点G，与直线QE交于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D作于点N，
∴四边形DHMN，四边形EFGH均为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：展板最高点A到地面PF的距离为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点A作于点G，与直线QE交于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D作于点N，易得四边形DHMN，四边形EFGH均为矩形，根据矩形的性质得MH=ND，EF=HG=5，BM∥DH，由平行线的性质可得∠NBD=∠BDQ=60°，由角的和差算出∠ABM=45°，在Rt△ABM中，利用∠ABM的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出AM的长，在Rt△BDN中，利用∠NBD的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出ND的长，最后根据线段的和差由AG=AM+MH+GH计算可得答案.
22．【答案】（1）证明：如图，
∵为的直径，与相切于点A，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：连接OF，过点D作DM⊥AB，交AB延长线于点M，如图，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴设，，
在中，，
∵，，
∴，解得，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】圆的综合题；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由切线的性质得∠OAB=90°，由等边对等角得∠OAC=∠OCA，由对顶角相等得∠BCD=∠OCA，则∠OAC=∠BCD，由等角得余角相等的∠BAD=∠C，再根据等角对等边得AB=AD；
（2）连接OF，过点D作DM⊥AB，交AB延长线于点M，在Rt△ABG中，由∠ABG的正切函数可求出AG=，由圆周角定理得∠AOF=90°，再由内错角相等，两直线平行得OF∥AB，由二直线平行，内错角相等得∠OFG=∠ABG，再等角的同名三角函数值相等并结合正切函数的定义可求出该圆的半径；由同角的余角相等得∠BDM=∠OBA，由等角的同名三角函数值相等得，，在Rt△DBM中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，从而求出BM、DM的长，最后再根据勾股定理可算出AD的长.
23．【答案】（1）解：设一次函数的解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
∴求y与x之间的函数关系式为；
（2）解：设日销售利润为w，
由题意得：
，
∴当时，w有最大值，最大值为810，
∴当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是810元．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据函数图象提供的信息，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式；
（2）设日销售利润为w，根据每袋粽子的利润乘以销售数量等于总利润建立出w关于x的函数关系式，进而根据二次函数性质可解决此题.
24．【答案】（1）解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵，，
∴，
∴．
∵是以为底边的等腰三角形，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，H为的中点，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴．
又，
∴；
（2）解：；
如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵，，
∴，
∴．
∵是以为底边的等腰三角形，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，H为的中点，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴．
（3）解：．
如图，过点D作DM⊥BF于点M，过点C作CH⊥BF，交BF延长线于点H，
∴．
∵线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE，
∴．
∴．
∵是以CE为底边的等腰三角形，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
在中，，，
∴．
∴，解得．
∴．
∵，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可找出∠BAC=∠EFC，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△FEC，由相似三角形对应边成比例得，则，由∠ACB=∠FCE推出∠BCE∽△ACF，由两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△BCE∽△ACF，由相似三角形对应边成比例得，由等腰三角形的三线合一得BC=2CH，在Rt△AHC中，由∠ACH的余弦函数可得，最后根据特殊锐角三角函数值可得；
（2），过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可找出∠BAC=∠EFC，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△FEC，由相似三角形对应边成比例得，则，由∠ACB=∠FCE推出∠BCE∽△ACF，由两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△BCE∽△ACF，由相似三角形对应边成比例得，由等腰三角形的三线合一得BC=2CH，在Rt△AHC中，由∠ACH的余弦函数可得；
（3）过点D作DM⊥BF于点M，过点C作CH⊥BF，交BF延长线于点H，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得DM∥CH，由旋转的性质得DB=DE，由等腰三角形的三线合一得BM=EM，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质得∠HFC=∠FEC+∠FCE=60°，由含30°角直角三角形的性质可得FC=2FH，设BM=x，则BE=2x，由平行线分线段成比例定理得，从而可得BH=5x，EH=3x，FE=FC=2x，FH=x，则，在Rt△BHC中，由勾股定理建立方程可求出x的值，从而得到BE=4，从而可得答案.
25．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，解得．
∴抛物线的表达式为：．
（2）解：如下图，连接DB，过点E作EP∥y轴交BD于点P，
∵
，
∴．
令中，则，
解得或，
∴，
设直线为，
∵过点，，
∴，
解得，
∴直线的表达式为：．
设，，
∴
．
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴；
（3）解：存在，点G的坐标为或．
如下图，连接CG，DG，
∵四边形EFGH是菱形，，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
∴，
∵，，，
∴，，点C与点E关于对称轴对称，
∴，DF⊥CE，
∴是等边三角形，，
∴，
∴即，，
∴．
∴．
∴直线CG的表达式为：．
与抛物线表达式联立得．
∴点G坐标为．
如下图，连接CG，DG，CF，
同理可证：△EFG是等边三角形，△DCE是等边三角形，△DGE≌△CFE．
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴直线的表达式为：．
与抛物线表达式联立得．
∴点坐标为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线可得关于字母b、c的方程组，求解得到b、c的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）连接DB，过点E作EP∥y轴交BD于点P，将抛物线的解析式配成顶点式可得点D的坐标，令抛物线解析式中的y=0算出对应的函数值可求出点B的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，进而点的坐标与图形的性质用含x的式子标出点E与点P的坐标，然后根据两点间的距离公式表示出PE的长，进而根据建立方程求出x的值，从而求出点E的坐标；
（3）存在，点G的坐标为或；连接CG，DG，由据菱形性质结合∠EFG=60°可得△EFG是等边三角形，由等边三角形的性质得∠FEG=60°，EF=FG，由两点间的距离公式算出CE=CD=DE=2，则△DCE是等边三角形，由轴对称的性质及等腰三角形的三线合一的∠EDF=∠CDE=30°，利用SAS判断出△CEG≌△DEF，得∠ECG=∠EDF=30°，利用待定系数法求出直线CG的解析式，联立直线CG的解析式与抛物线的解析式组成的方程组可求出点G的坐标；连接CG，DG，CF，同理可证：△EFG是等边三角形，△DCE是等边三角形，△DGE≌△CFE．得DG=CF，利用SSS判断出△CDG≌△CEG，得∠DCG=∠ECG=30°，利用利用待定系数法求出直线CG的解析式，联立直线CG的解析式与抛物线的解析式组成的方程组可求出点G的坐标，综上即可得出答案.
1 / 1
