22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
22.1.3二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
人教版九年级上册
知识回顾
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值
y＝2x2 向上
y＝－x2＋2 向下
y＝3x2－5 向上
y＝0.5(x－6)2 向上
y＝－8(x＋4)2 向下
y轴或x＝0
y轴或x＝0
y轴或x＝0
x＝6
x＝－4
(0，0)
(-4，0)
(0，-5)
(6，0)
(0，2)
最大值2
最小值-5
最小值0
最小值0
最大值0
教学目标
1.会用描点法画出 y=a(x-h)2+k (a ≠0) 的图象.
2.理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)图象之
间的位置关系.
3.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质.
4.能解决与二次函数相关的实际问题
新知导入
把y= 2x2的图象
向上平移3个单位
y= 2x2+3
向左平移2个单位
y= 2(x+2)2
二次函数y= 2(x+2)2+3的图象是否可以由y= 2x2平移得到？你认为该如何平移呢？
新知探究
向右平移
1个单位
向左平移
1个单位
向下平移
向上平移
向上平移
？
向右平移
1个单位
左加右减，上加下减
3
个
单
位
3
个
单
位
3
个
单
位
新知探究
画出函数 的图象.
…
…
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
解:
再描点、连线
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x=－1
开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-1)
探究
新知探究
函数 图象的性质.
开口方向：
顶点：
对称轴：
最值：
增减性：
向下
（1，3）
直线
（1，3）
（0,0）
新知小结

开口方向
顶点 对称轴 最值
增减性
直线
对称轴左边递减
右边递增
对称轴左边递增
右边递减
向上
向下
（顶点式）
平移
对于抛物线 y＝ (x＋1)2＋3，下列结论：
①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；
③顶点坐标为(－1，3)；④当x＞1时，y随x的增大而减小．
其中正确的结论有(　　)
A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个
新知典例
例1
分析：①抛物线a＜0，开口向下
②抛物线h=-1，所以对称轴为直线x=-1，
③h=-1，k=3，所以顶点坐标为（-1,3）
④抛物线在对称轴右侧，y随x的增大而减小．
C
新知练习
2.二次函数 的图象开口方向是 ，
顶点坐标是 ，当 时， 随 的增大而 .
3.二次函数 的图象开口方向是 ，顶点坐
标是 ，当 时， 有最 值 ，当 时,
随 的增大而 .
向上
（3,1）
增大
向下
(-2,3)
-2
大
3
减小
新知探究
在同一坐标系中画出函数 ，
的图象.
… -2 -1 0 1 2 3 4 …
… …
… …
-2
1
0
3
-2
1
解：
新知探究
向上平移
向右平移
1个单位
3
个
单
位
当a相同时，函数解析式的变化，对应的
函数图象的变化可以通过平移来实现.
向上平移
3
个
单
位
向右平移
1个单位
新知小结
二次函数 y=ax2 与 y=a(x-h)2+k 图象间的关系
可以互相平移得到：
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
函数平移有规律，左加右减自变量，上加下减常数项.
新知典例
把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y＝ (x＋1)2－1的图象．
(1)试确定a，h，k的值；
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴和顶点坐标．
例2
解：（1）由题意，得
y=a（x-h+2）2+k+4与y= （x+1）2-1是同一函数，
所以
2-h=1，
k+4=-1，
解得 h=1，k=-5．
(2)它的开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1，－5)．
新知练习
3.如图，将抛物线 先向左平移3个单位，
再向上平移2个单位，得到新的抛物线的解析
式是 .
(0,0)
(-3,2)

左移3个单位
上移2个单位
左加右减，上加下减。
方法一
方法二
由题可知y=a(x+3)2+2(a≠0）
新知探究
例3 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心3 m，水管应多长？
A
B
C
D
E
新知探究
由题可知抛物线顶点为(1,3)，所以可设抛物线解析式为
由抛物线经过点C(3,0)，可得
解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线
为 轴，水管所在直线为 轴，建立直角坐标系.
解得
当 时， ,也就是说，水管长2.25m.
A
B
C
D
E
新知探究
例题拓展
新知典例
例4 已知点A(1，y1)，B(－ ，y2)，C(－2，y3)在函数y＝a(x＋1)2＋k(a＞0)的图象上，y1，y2，y3的大小关系是什么？
解：y＝a(x＋1)2＋k(a＞0)的图象是关于直线x=-1对称的抛物线，A(1，y1)关于直线x=-1的对称点是(-3，y1)，
由于抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，
所以则y1＞y3＞y2.
新知练习
4．已知点A(4，y1)，B( ，y2)，C(－2，y3)都在函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
y3＞y1＞y2
对接中考
1.若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围是(　 )
A．m＞1 　 B．m＞0　 C．m＞－1　　D．－1＜m＜0
B　
对接中考
-2
1
4
O
m
x
y
2.当 -2≤x≤1 时，二次函数 y=-(x-m)2+m2+1 有最大值 4，则实数 m 的值为( )
A.- B.3或- C.2或- D. 2或或-
-2
1
4
O
m
x
y
-2
1
4
O
m
x
y
对接中考
C
2.当 -2≤x≤1 时，二次函数 y=-(x-m)2+m2+1 有最大值 4，则实数 m 的值为( )
A.- B.3或- C.2或- D. 2或或-
解：二次函数的图象对称轴为直线 x=m，
①若 m＜-2，则x=-2时取得最大值，-(-2-m)2+m2+1=4，
解得m=-，与m＜-2矛盾，舍去；
②若 -2≤m≤1，则x=m时取得最大值，m2+1=4，
解得 m=±，因为 m=不满足-2≤m≤1的范围，所以 m=-；
③若m＞1，则x=1时取得最大值，-(1-m)2+m2+1=4，解得 m=2．
综上所述，m=2或-时，二次函数有最大值4．
课堂总结
1.二次函数 与 的关系；
2.二次函数 的图象性质；
3.利用二次函数的性质解决实际问题；
位置不同，可以通过平移得到。
形状和大小相同（ 相等），
主要研究：开口方向，顶点，对称轴，增减性，最值；
研究方法：关注顶点，结合函数图象来理解；
实际问题
数学问题
建立适当的坐标系
求解析式
（简洁，计算简单）
求实际问题解
（待定系数法）
课堂练习
1.对于抛物线 y=(x+2)2+3，给出下列结论：①抛物线y=(x+2)2+3 可由抛物线y=x2先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到；②对称轴为直线 x=2；③顶点坐标为(-2，3)；④当 x>-2 时，y 随 x 的增大而增大.其中正确结论的个数为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
课堂练习
2.把抛物线 y=-3x2 先向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，那么所得抛物线是___________________.
3.将抛物线 y＝x2＋1先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是 .
y＝(x＋2)2－2
课堂练习
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上
( 1, －2 )
向下
向下
( 3 , 7)
( 2 , －6 )
向上
直线 x=－3
直线 x=1
直线 x=3
直线 x=2
(－3, 5 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
4.完成下列表格:
谢谢
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