2022-2023学年四川省德阳重点中学高二（下）期末数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年四川省德阳重点中学高二（下）期末数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 函数图象的对称轴可以是( )
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
4. 从，，，，中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不小于的概率为( )
A. B. C. D.
5. 如图所示，已知两个线性相关变量，的统计数据如下：
其线性回归方程为，则( )
A. B. C. D.
6. 若实数，满足约束条件则的最小值为( )
A. B. C. D.
7. 执行如图所示的程序框图后，输出的值为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知命题：，，则“”是“是真命题”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是( )
A. B. C. D.
10. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为( )
参考数据：，
A. B. C. D.
11. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
12. 已知直线与圆相切于点，直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点，且为的中点，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知为单位向量，且满足，则 ______ ．
14. 若抛物线：上的点到焦点的距离为，到轴的距离为，则抛物线的方程是______．
15. 若三角形的内角，，所对的边分别为，，，且，，其面积，则边 ______ ．
16. 关于函数，有以下四个结论：
函数恒有两个零点，且两个零点之积为；
函数的极值点不可能是；
函数必有最小值．
对于，在上是增函数．
其中正确结论的序号是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知等比数列的各项均为正数，且，．
求的通项公式；
数列满足，求的前项和．
18. 本小题分
考取驾照是一个非常严格的过程，有的人并不能够一次性通过，需要补考现在有一张某驾校学员第一次考试结果汇总表，由于保管不善，只残留了如下数据见下表：
成绩
性别 合格 不合格 合计
男性
女性
合计
完成此表；
根据此表判断：能否有的把握认为性别与考试是否合格有关？
参考公式：其中．
19. 本小题分
如图，四棱柱的侧棱底面，四边形为菱形，，分别为，的中点．
证明：，，，四点共面；
若，求点到平面的距离．
20. 本小题分
已知点，，动点满足直线与的斜率之积为记动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程，并说明是什么曲线；
设，为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且求证：直线恒过一定点．
21. 本小题分
若函数有两个零点，，且．
求的取值范围；
若在和处的切线交于点，求证：．
22. 本小题分
在直角坐标系中，曲线的方程为为曲线上一动点，且，点的轨迹为曲线以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
Ⅰ求曲线，的极坐标方程；
Ⅱ曲线的极坐标方程为，点为曲线上一动点，求最大值．
23. 本小题分
设不等式的解集为，且，．
求的值；
若、、为正实数，且，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
则．
故选：．
直接解出集合，，再求交集即可．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
，
的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
令，解得，
所以的对称轴为直线，当时，．
故选：．
利用诱导公式及公式将函数化简，再根据正弦函数的性质求出函数的对称轴．
本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：从，，，，中随机选取三个不同的数可得基本事件为，，，，，，，，，，种情况，
若这三个数之积为偶数有，，，，，，，，，种情况，
它们之和不小于共有 ，，，，，种情况，
从，，，，中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于的概率为．
故选：．
根据题意，由列举法分别得到三个数之积为偶数的情况数与三个数之和不小于的情况，即可得到结果．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由表格中数据可得：，，
则样本点的中心坐标为，
代入，得，可得．
故选：．
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解值．
本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：如图所示作出可行域，
当过直线和的交点即时，此时．
故选：．
作出可行域，结合图形即可得出结果．
本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
，
满足条件，，
满足条件，，
满足条件，，
由题意可得，此时，不满足条件，退出循环，输出的值为，
既有：．
故选：．
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的，的值，当时由题意此时不满足条件，退出循环，输出的值为，从而可解得的取值范围．
本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由，可得，，
所以“是真命题”对应的的范围是，
所以“”是“是真命题”的充分不必要条件．
故选：．
由，求出的范围，然后可得“是真命题”对应的的范围，然后可判断出答案．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出命题的等价条件是解决本题的关键，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：对求导得，
由得，则，即，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：．
根据导数的几何意义结合已知方程求出，的关系，再根据不等式中“”的整体代换即可得出答案．
本题考查了导数的几何意义和不等式中“”的整体代换，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：设该污染物排放前过滤的次数为，
由题意，即，
两边取以为底的对数可得，
即，
所以，
因为，，
所以，
所以，
又，
所以，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为次．
故选：．
设该污染物排放前过滤的次数为，由题意，两边取以为底的对数可得，根据参考数据即可求解．
本题考查了指数、对数的运算，求出关系式是解答本题的关键，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：设，求导，
所以当时，，单调递增，
故，即，
所以；
设，求导，
所以当时，，单调递增，
则，
所以，
故．
故选：．
设，当时，单调递增，得到，设，当时，单调递增，得到，得到答案．
本题考查导数的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：双曲线的两条渐近线为，
联立，解得，
联立，解得．
的中点坐标，
，
又，，即点在第一象限，得，
又直线与圆相切，得，解得负值舍去，
则直线，
联立，解得，
得，即，解得．
双曲线的离心率．
故选：．
联立直线与双曲线的渐近线求出，两点的坐标，即可用、、表示出中点的坐标，由直线与圆相切可得，再联立直线与圆，即可用表示出的坐标，消即可得出的值，再利用求出答案．
本题考查直线与双曲线位置关系的应用，解答的关键是联立直线与渐近线、直线与圆分别求出点、、的坐标，得出、的关系式，属难题．
13.【答案】
【解析】解：为单位向量，且满足，
所以，，
解得，所以．
故答案为：．
将已知等式和所求等式都平方处理即可．
本题考查数量积公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据抛物线定义，准线方程为，由题意可得，解得：，
故抛物线的方程是．
故答案为：．
由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，求出抛物线的方程．
考查抛物线的性质，属于基础题．
15.【答案】或
【解析】解：的面积，即，解得，
，故或，
若，，即；
若，，即；
综上所述：或．
故答案为：或．
根据题意结合余弦定理、面积公式运算求解．
本题主要考查正弦定理、余弦定理，考查转化能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：令，即，
因为恒成立，恒有两个不相等实数根记为，，
则，，正确；
，，即函数的极值点不可能是，正确；
令，即，
恒成立，即恒有两个根，记为，且，
则在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
结合，恒有两个不相等实数根，则函数的草图为：
即在处取得最小值，正确，错误．
故答案为：．
令，利用恒成立，与韦达定理即可判断正确；求出即可得出恒不为，即可判断正确；结合与都恒有两个零点，即可画出函数的草图，即可判断正确，错误．
本题主要考查命题真假的判断，利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：，
，，解得，
；
由题可知，
，
．
【解析】根据条件建立关于，的方程组，然后解出即可得答案；
利用分组求和法求出答案即可．
本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：列表如下：
成绩
性别 合格 不合格 合计
男性
女性
合计
假设：性别与考试是否合格无关，．
若成立，，
，
有的把握认为性别与考试是否合格有关．
【解析】根据表格信息补充完整即可；
计算出的值，再与比较，即可得出结论．
本题考查了列联表以及独立性检验问题，是基础题．
19.【答案】解：证明：取的中点为，连接，，由，分别为，的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
故AG，
又因为是的中点，
所以，
所以，故B，，，四点共面．
易知四边形为菱形，且，，，，
所以菱形的面积为，
设点到平面的距离为，点到平面距离为，且，
由，得：，
因为，，
所以，
又因为，，、面，
所以面，
所以，
所以．
故点到平面的距离为．
【解析】取的中点为，通过证明、，进而证明即可．
运用等体积法即可求得结果．
本题考查点到平面的距离相关知识，属于中档题．
20.【答案】解：由题意，得，化简得，
所以曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左、右顶点．
如图，
证明：设，
因为若直线的斜率为，则点，关于轴对称，必有，不合题意，
所以直线的斜率必不为．
设直线的方程为．
由得，
所以，且．
因为点是曲线上一点，
所以由题意可知，所以，即．
因为
，
所以，此时，
故直线恒过轴上一定点．
【解析】由，化简即可得出答案；
由题易知直线的斜率必不为，则可设直线的方程为，联立直线与曲线，则可得，又由，可得，即，将与代入，即可求出答案．
本题考查曲线的方程的求法，以及直线与椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：，
当，，在上单调递减，不可能两个零点；
当时，令，得，
，，单调递增，，，单调递减，
，；；，，
有唯一零点且有唯一零点，满足题意，
综上：；
证明：曲线在和处的切线分别是
，
联立两条切线得，
，
由题意得，
要证，即证，即证，即证，
令，即证，
令，
，
在单调递减，
，
得证．
综上：．
【解析】求出函数的导数，利用导数求函数单调性，根据单调性及函数图象的变化趋势结合零点个数求解；
构造函数，利用导数求切线方程得出，左边可转化为，利用导数证明即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于难题．
22.【答案】解：由题意可知：曲线的方程为：，
曲线的极坐标方程为，
设点的极坐标为，
则，
点的极坐标为，由得
所以点轨迹曲线的极坐标方程为；
曲线直角坐标方程为，设点，
曲线的直角坐标方程为，设圆心为，；
，
当时，，
所以．
【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用极径的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
23.【答案】解：因为，，所以，即，
因为，则．
由可知，，
由柯西不等式可得，
当且仅当时，即当，时，等号成立，
所以，，当且仅当时，即当，时，等号成立，
因此，的最小值为．
【解析】根据，可得出实数的取值范围，结合可得出的值；
由可得，利用柯西不等式可求得的最小值．
本题考查不等式的解法及其运用，考查柯西不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
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