人教版高中数学必修第二册7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 同步练习（含解析）

人教版高中数学必修第二册7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 同步练习
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.若复数z=cos+isin,则z2= (　　)
A.-2i B.1+i
C.1-i D.2i
2.若复数z=2cos+isin,则|z3|= (　　)
A.16 B.8
C.2 D.
3.若复数z=cos+isin,则arg(z2)= (　　)
A. B.
C. D.
4.若复数z=-cos-isin,则= (　　)
A.+i B.-+i
C.--i D.-i
5.若θ∈-,0,则复数z=cos θ+isin θ(i为虚数单位)在复平面内对应的点在 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.若z=cos θ+isin θ(θ∈R,i是虚数单位),则|z-2-2i|的最小值是 (　　)
A.2 B.
C.2+1 D.2-1
7.若复数z1=cos 2θ-isin 2θ,z2=cos θ-isin θ,则z1z2= (　　)
A.-cos 3θ-isin 3θ B.-cos 3θ+isin 3θ
C.cos 3θ-isin 3θ D.cos 3θ+isin 3θ
8.在复平面内,复数z=a+bi(a∈R,b∈R)对应的向量为(O为坐标原点),设||=r,以射线Ox为始边,OZ为终边逆时针旋转的角为θ,则z=r(cos θ+isin θ),法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].由棣莫弗定理导出了复数的乘方公式:zn=[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),则(-1+i)10= (　　)
A.1024-1024i
B.-1024+1024i
C.512-512i
D.-512+512i
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.若复数z=2cos+isin,则z2=　　　　.
10.若复数z1=2cos+isin,z2=cos+i·sin,则z1z2的辐角的主值为　　　　.
11.8i÷2(cos 45°+isin 45°)=　　　　　　.
12.设z1=-2+2i在复平面内对应的向量为,将绕点O按顺时针方向旋转150°,并将其模变为原来的,所得向量对应的复数z2=　　　　(用代数形式表示).
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)把复数z1与z2在复平面内对应的向量,分别按逆时针方向旋转和后,重合于向量且模相等,已知z2=-1-i,求复数z1的代数式和它的辐角的主值.
14.(10分)已知复数z的实部大于零,且满足z=(cos θ+isin θ)(θ∈R),z2的虚部为2.
(1)求复数z;
(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求·的值.
15.(5分)化简:=　　　　　　　　　　.
16.(15分)如图L7-3-1所示,复平面内的△ABC是等边三角形,它的两个顶点A,B的坐标分别是(2,0),(4,2).
(1)求向量对应的复数;
(2)求点C的坐标.
图L7-3-1
参考答案与解析
1.D　[解析] z2=()2cos+isin=2i,故选D.
2.A　[解析] z3=(2)3cos+isin=16i,则|z3|=16,故选A.
3.A　[解析] z2=3cos+isin=3cos+isin,则arg(z2)=,故选A.
4.B　[解析] ==×=
-cos+isin=-+i,故选B.
5.D　[解析] ∵θ∈-,0,∴cos θ>0,sin θ<0,∴复数z=cos θ+isin θ对应的点在第四象限.
6.D　[解析] 由复数的几何意义可知z=cos θ+isin θ在复平面内对应的点在单位圆上,而|z-2-2i|表示该单位圆上的点到复数2+2i对应的点Z的距离,如图,由图可知,|z-2-2i|的最小值应为点A到Z的距离,因为|OZ|==2,圆的半径为1,故|z-2-2i|的最小值为2-1,故选D.
7.C　[解析] z1z2=(cos 2θ-isin 2θ)(cos θ-isin θ)=[cos(-2θ)+isin(-2θ)][cos(-θ)+isin(-θ)]=cos(-2θ-θ)+isin(-2θ-θ)=cos 3θ-isin 3θ,故选C.
8.D　[解析] (-1+i)10=2cos+sini10=210cos+isin=210-+i=-512+512i.
9.-4　[解析] z2=4(cos π+isin π)=-4.
10.　[解析] 因为z1z2=2cos+isin×cos+isin=cos++isin+=cos+isin,所以z1z2的辐角的主值为.
11.2+2i　[解析] 8i÷2(cos 45°+isin 45°)=8(cos 90°+isin 90°)÷2(cos 45°+isin 45°)=4[cos(90°-45°)+isin(90°-45°)]=4(cos 45°+isin 45°)=2+2i.
12.-i　[解析] z1=-2+2i=4-+i=4(cos 120°+isin 120°),根据题设条件得z2=4(cos 120°+isin 120°)×[cos(-150°)+isin(-150°)]=2[cos(120°-150°)+isin(120°-150°)]=2[cos(-30°)+isin(-30°)]=-i.
13.解:由复数乘法的几何意义得
z1cos+isin=z2cos+isin.
∵z2=-1-i =2cos+isin,
∴z1==2cos3π-+isin3π-=-+i,z1的辐角的主值为.
14.解:(1)由题知z2=2(cos 2θ+isin 2θ),则sin 2θ=1,解得θ=kπ+(k∈Z),
∴z=coskπ++isinkπ+,
又复数z的实部大于零,∴z=1+i.
(2)由(1)知z=1+i,z2=2i,则z-z2=1-i,∴A(1,1),B(0,2),C(1,-1),
∴=(-1,1),=(0,-2),∴·=-1×0+1×(-2)=-2.
15.cos θ-isin θ　[解析] 原式==cos(9θ-2θ-6θ-2θ)+isin(9θ-2θ-6θ-2θ)=cos(-θ)+isin(-θ)=cos θ-isin θ.
16.解:(1)因为点A,B的坐标分别是(2,0),(4,2),所以=(2,0),=(4,2),
所以=-=(4,2)-(2,0)=(2,2),故向量对应的复数为2+2i.
(2)由题可知向量对应的复数为(2+2i)[cos(-60°)+isin(-60°)]=(2+2i)-i=(1+)+(1-)i,故=(1+,1-),
所以=+=(3+,1-),
所以点C的坐标是(3+,1-).