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专题22.1.4 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线y＝x2+2x+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线y＝﹣1 D．直线y＝1
2．二次函数的最小值是（ ）
A． B．3 C．4 D．5
3．若抛物线经过点，则k的值为（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
4．若A（，），B（，），C（，）为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．函数y＝ax+b和y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a≠0）在同一直角坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为( )
A． B．
C． D．
7．若抛物线的顶点是，且经过点，则抛物线的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
8．对于抛物线，当x＝1时，y＜0，该抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．若抛物线y＝x2+mx+n的顶点在x轴上，且过点A（a，b），B（a+6，b），则b的值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．0
10．已知点，在二次函数的图象上，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题
11．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以是________．（只需写一个）．
12．若二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，则m＝ ．
13．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．
14．抛物线经过点A（2，0），该抛物线顶点在直线上，则该抛物线解析式为______．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
若点P（m2﹣2，y1）、Q（m2+4，y2）在抛物线上，则y1 y2．（选填“＞”、“＜”或“＝”）
16．若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________．
17．如图，一次足球训练中，一球员从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米，当足球下落到离地面米时，足球飞行的水平距离为__________米．
18．已知二次函数的图象与x轴交于和，其中，与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①；②；③若点，，均在二次函数图像上，则；④．其中一定正确的结论的序号是______．
三、解答题
19．已知二次函数＝﹣x2+6x﹣8．
(1)求该二次函数的图像与x轴的两个交点坐标；
(2)求出这个二次函数的顶点坐标．
20．根据下列条件分别求二次函数的表达式．
(1)已知二次函数的图象经过点(﹣2，﹣1)，且当时，函数有最大值2．
(2)已知二次函数图象的对称轴是直线x＝1，与坐标轴交于点(0，﹣1)，(﹣1，0)．
21．已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
（1）与x轴的交点坐标是 ，顶点坐标是 ；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x … …
y … …
（3）结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是 ．
22．如图所示，二次函数的图像与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求点B、点C的坐标；
(3)若抛物线的顶点是M，求△ACM的面积．
23．已知二次函数．
(1)二次函数图象的对称轴是______；
(2)当时，的最大值与最小值的差为，求该二次函数的表达式；
(3)对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，请结合函数图象，直接写出的取值范围．
24．如图，已知二次函数 图像的顶点为 ，与 轴的交点为 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)已知点，点 ．若原二次函数图像向下平移 个单位，与线段 有公共点，结合函数图像，直接写出的取值范围．
25．如果两个二次函数图象的顶点相同、开口方向相反，则将这两个二次函数称为“共顶反向二次函数”．
(1)判断二次函数y＝x2﹣4x+3与y＝﹣2x2+8x﹣9是否为“共顶反向二次函数”．请说明理由．
(2)请写出两个为“共顶反向二次函数”的函数．
(3)y1、y2是两个关于x的二次函数，其中y1＝x2﹣2mx+m2+1、y2＝ax2+bx﹣2，且y1的图象经过点（1，1）．若y1+y2与y1为“共顶反向二次函数”，求y2的表达式．
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专题22.1.4 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线y＝x2+2x+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线y＝﹣1 D．直线y＝1
【答案】B
【解析】y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x，代入数值求得对称轴是直线x＝﹣1；
故选B．
2．二次函数的最小值是（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】∵＝（x-2）2+1，
∴其图象开口向上，顶点为（2，1）．
∴函数的最小值为1．
故选A．
3．若抛物线经过点，则k的值为（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
【答案】D
【解析】将点（-1，3）代入得：
故选D
4．若A（，），B（，），C（，）为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴对称轴是直线x＝﹣2，开口向上，
距离对称轴越近，函数值越小，
比较可知，B（，）离对称轴最近，C（，）离对称轴最远，
即．
故选B．
5．函数y＝ax+b和y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a≠0）在同一直角坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当a＞0时，二次函数的图象开口向上，
一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，
故A、D不正确；
由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x0，且a＞0，则b＜0，
但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．
故选C．
6．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】y=x2 6x+5=(x 3)2 4，即抛物线的顶点坐标为(3， 4)，
把点(3， 4)向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
得到点的坐标为(4， 2)，
所以平移后得到的抛物线解析式为y=(x 4)2 2．
故选D．
7．若抛物线的顶点是，且经过点，则抛物线的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵抛物线顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），
∴设抛物线的函数关系式是y=a（x-2）2+1，
把B点的坐标代入得：0=a（1-2）2+1，
解得：a=-1，
即抛物线的函数关系式是y=-（x-2）2+1，即y=-x2+4x-3．
故选B．
8．对于抛物线，当x＝1时，y＜0，该抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】当x=1时，＜0，
解得：，
∴顶点的横坐标＜0，
顶点的纵坐标＜0，
∴该抛物线的顶点一定在第三象限，
故选C．
9．若抛物线y＝x2+mx+n的顶点在x轴上，且过点A（a，b），B（a+6，b），则b的值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．0
【答案】A
【解析】∵抛物线y＝x2+mx+n顶点在x轴上，
∴△＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n＝0，
∴nm2，
∵抛物线y＝x2+mx+n过点A（a，b），B（a+6，b），
∴b＝a2+ma+n，b＝（a+6）2+m（a+6）+n，
∴a2+ma+n＝（a+6）2+m（a+6）+n，
化简，得
a，
∴b＝a2+ma+n＝（）2+mm2＝9，
故选A．
10．已知点，在二次函数的图象上，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】二次函数，开口向上，对称轴为直线，
A．当，则，如下图：
由图可知，不符合题意；
若，则，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离，
，故不正确，不符合题意；
B．当，则，如下图：
由图可知，符合题意；
C．当，如下图：满足，
由图象可知，，不符合题意；
D．当，如下图：满足，
由图象可知，，不符合题意；
故选B．
二、填空题
11．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以是________．（只需写一个）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵二次函数的图象开口向上，
∴二次函数中，
∵顶点坐标为，
∴这个二次函数的解析式可以是
故答案为：（答案不唯一）
12．若二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，则m＝ ．
【答案】﹣2或
【解析】∵二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，
∴0，
解得m＝﹣2或．
故答案为：﹣2或．
13．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】∵二次函数的对称轴是，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴﹣≤1，
∴m≥1．
故答案为：．
14．抛物线经过点A（2，0），该抛物线顶点在直线上，则该抛物线解析式为______．
【答案】
【解析】∵抛物线经过点 ，A（2，0），
∴顶点横坐标为1，
∵顶点在直线y=-x+2上，
∴y=-1+2=1，
∴顶点坐标（1，1），
∵y=ax2+bx过点A（2，0），（1，1），
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
若点P（m2﹣2，y1）、Q（m2+4，y2）在抛物线上，则y1 y2．（选填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】＞
【解析】∵x＝0时，y＝6；x＝1时，y＝6，
∴抛物线的对称轴为直线x，且抛物线开口向下，
∵点P（m2﹣2，y1）、Q（m2+4，y2）在抛物线上，且|m2﹣2|＜|m2+4|，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
16．若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】点到轴的距离小于2，
，
点在二次函数的图象上，
，
当时，有最小值为1．
当时，，
的取值范围为.
故答案为：
17．如图，一次足球训练中，一球员从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米，当足球下落到离地面米时，足球飞行的水平距离为__________米．
【答案】10
【解析】设抛物线的解析式为，代入原点，得：
，
解得a=，
∴抛物线的解析式为，
当y=米时，
，
解得x=10，x=2（舍去），
足球飞行的水平距离为10米，
故答案为：10．
18．已知二次函数的图象与x轴交于和，其中，与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①；②；③若点，，均在二次函数图像上，则；④．其中一定正确的结论的序号是______．
【答案】①②④
【解析】∵抛物线与x轴的交点为（ 2,0）和（m,0），且，
∴抛物线图象与x轴的两个交点分别在y轴两侧，
又∵抛物线图象交于y轴正半轴，
∴a＜0，故①正确；
∵抛物线图象与x轴交于两点，
∴一元二次方程有两个不相等的根，
∴，
∵a＜0，
∴，故②正确；
∵图象与x轴交于A（ 2,0）和B（m,0），其中2＜m＜4，
令当m=2时，即有B（2,0），此时对称轴为：，
当m=4时，即有B（4,0），此时对称轴为：，
∴抛物线的对称轴的范围为：，
当对称轴接近x=0时，即对称轴离点A更近，有，
当对称轴接近x=1时，即对称轴离点B更近，有，
∴与的大小不能判断，故③错误；
∵抛物线与x轴的交点有一个为（ 2,0），
∴4a 2b＋c＝0，
∴4b＝8a＋2c，
∵抛物线与x轴的交点为（ 2,0）和（m,0），且，
又∵上述两个交点分别在y轴两侧，且开口向下，
∴当x＜ 2或者x＞m时，函数值y＜0，
∴当x＝4时，y＜0，
∴16a+4b+c＜0，
∴，
∴c+8a＜0，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题
19．已知二次函数＝﹣x2+6x﹣8．
(1)求该二次函数的图像与x轴的两个交点坐标；
(2)求出这个二次函数的顶点坐标．
【解析】 (1)当y=0时，-x2+6x-8=0，
解得：x1=2，x2=4，
∴二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为（2，0），（4，0）．
(2)y=-x2+6x-8=-（x2-6x）-8=-（x-3）2+1，
∴二次函数的顶点坐标为（3，1）．
20．根据下列条件分别求二次函数的表达式．
(1)已知二次函数的图象经过点(﹣2，﹣1)，且当时，函数有最大值2．
(2)已知二次函数图象的对称轴是直线x＝1，与坐标轴交于点(0，﹣1)，(﹣1，0)．
【解析】（1）由二次函数当时，有最大值是2，得到顶点坐标为（），
设二次函数解析式为（a≠0），
将点（）代入得：，
解得：，
则二次函数解析式为．
（2）设函数的解析式是，根据题意得：
，
解得：．
则函数的解析式是．
21．已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
（1）与x轴的交点坐标是 ，顶点坐标是 ；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x … …
y … …
（3）结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是 ．
【解析】（1）令y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3．
解得x1＝﹣1，x2＝3．
抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点的坐标为（﹣1，0），（3，0）．
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）x2﹣4，
所以它的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）列表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
图象如图所示：
；
（3）当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；
当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3．
22．如图所示，二次函数的图像与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求点B、点C的坐标；
(3)若抛物线的顶点是M，求△ACM的面积．
【解析】(1)解：把代入二次函数得：
，
，
二次函数的解析式为：；
(2)解：当时，，
，
当时， ，
，
，
或，
；
(3)解：由题可知，，
顶点，
过点作交于点，
，，，，
．
23．已知二次函数．
(1)二次函数图象的对称轴是______；
(2)当时，的最大值与最小值的差为，求该二次函数的表达式；
(3)对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，请结合函数图象，直接写出的取值范围．
【解析】（1）∵x1，
∴二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1；
（2）y＝ax2+2ax﹣2＝a（x+1）2﹣a﹣2，
∵a＞0，
∴当x＝﹣1时，二次函数有最小值为﹣a﹣2，
当﹣2≤x≤1时，x＝1时函数有最大值3a﹣2，
∵当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差为3，
∴3a﹣2﹣（﹣a﹣2）＝3，
∴a．
∴该二次函数的表达式为yx﹣2；
（3）当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥2时，均满足y1≤y2，t的取值范围是：﹣3≤t≤1．理由：
∵二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＝2与x＝﹣4时的函数值相等，
∵a＞0，
∴抛物线的开口方向向上，
∵当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥2时，均满足y1≤y2，
∴，
解得：﹣3≤t≤1．
24．如图，已知二次函数 图像的顶点为 ，与 轴的交点为 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)已知点，点 ．若原二次函数图像向下平移 个单位，与线段 有公共点，结合函数图像，直接写出的取值范围．
【解析】（1）解：二次函数 ，顶点坐标是（1，2），即横坐标是 ，顶点坐标的纵坐标是 ，且当 ， ，
∴ ，解方程得，
∴二次函数的表达式是： ，
故答案是：．
（2）解：二次函数的表达式是，且顶点坐标是 ，直线 的表示为 ，
∴当二次函数图像向下平移 个单位，与线段 有一个公共点时， ；
当二次函数图像向下平移 个单位，与线段 有两个公共点时，且恰好为点 ，点 ，
∴二次函数解析式为 ，将点 ，点 代入得， ，即 平移到 ，
∴二次函数向下平移 个单位，
∴．
故答案是：．
25．如果两个二次函数图象的顶点相同、开口方向相反，则将这两个二次函数称为“共顶反向二次函数”．
(1)判断二次函数y＝x2﹣4x+3与y＝﹣2x2+8x﹣9是否为“共顶反向二次函数”．请说明理由．
(2)请写出两个为“共顶反向二次函数”的函数．
(3)y1、y2是两个关于x的二次函数，其中y1＝x2﹣2mx+m2+1、y2＝ax2+bx﹣2，且y1的图象经过点（1，1）．若y1+y2与y1为“共顶反向二次函数”，求y2的表达式．
【解析】(1)解：
抛物线的开口向上，顶点坐标为：
y＝﹣2x2+8x﹣9
抛物线的开口向下，顶点坐标为：
所以根据“共顶反向二次函数”的定义可得：以上两个函数为“共顶反向二次函数”．
(2)解：举例如下：
与是“共顶反向二次函数”．
(3)解： y1＝x2﹣2mx+m2+1 且y1的图象经过点（1，1）
解得：
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为
，且y1+y2与y1为“共顶反向二次函数”，
顶点的横坐标为： 顶点的纵坐标为：
解得：
当时，不符合题意，舍去，
当时，则解得：
经检验，符合题意，
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