沪科版数学九年级上册第21章二次函数章节过关检测卷
一、选择题
1．（2023九下·婺城月考）已知是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．0或4
2．（2022九上·桐乡市期中）抛物线的开口方向、对称轴分别是（ ）.
A．开口向上，对称轴为直线 B．开口向下，对称轴为直线
C．开口向上，对称轴为直线 D．开口向下，对称轴为直线
3．（2023九上·滨江期末）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023九上·南宁期末）已知抛物线与x交于点，，则关于x的方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2022九上·将乐期中）由下表估算一元二次方程x2+12x＝15的一个根的范围，正确的是（ ）
x 1.0 1.1 1.2 1.3
x2+12x 13 14.41 15.84 17.29
A．1.0＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2
C．1.2＜x＜1.3 D．14.41＜x＜15.84
6．（2021九上·余杭月考）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出后，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2．下列叙述正确的是( （ ）
A．小球的飞行高度不能达到15m B．小球的飞行高度可以达到25m
C．小球从飞出到落地要用时4s D．小球飞出1s时的飞行高度为10m
7．（2021九上·北京月考）商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝10（200﹣10x） B．y＝200（10+x）
C．y＝10（200﹣10x）2 D．y＝（10+x）（200﹣10x）
8．（2023九上·桂平期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023九上·江北期末）已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022九上·台州月考）如图，和都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2022九上·嘉兴期中）有下列函数：
①y＝5x-4；②y＝；③y＝2x3-8x2+3；④y＝x2-1；⑤y＝；
其中属于二次函数的是 （填序号）．
12．（2023·奉贤模拟）如果一个二次函数的图象顶点是原点，且它经过平移后能与的图像重合，那么这个二次函数的解析式是 ．
13．（2016九上·莒县期中）如图，点A、B是双曲线y= 上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影=1，则S1+S2=
14．（2023·安徽模拟）已知二次函数（a是常数，且）．
（1）该二次函数图象的对称轴是 ；
（2）该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为 ．
三、解答题
15．（2023九上·亳州期末）已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．
四、作图题
16．（2021九上·温州月考）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点为D.
（1）求此二次函数的解析式.
（2）求点D的坐标及△ABD的面积.
17．（2020九上·北京月考）已知二次函数 ．
（1）将 化成 的形式为 ；
（2）此函数与 轴的交点坐标为 ；
（3）在平面直角坐标系 中画出这个二次函数的图象(不用列表)；
（4）直接写出当 时， 的取值范围．
五、综合题
18．（2023·即墨模拟）已知二次函数
（1）求证：二次函数的图像与x轴总有两个交点
（2）若二次函数的图像与x轴交点的横坐标一个大于2，一个小于1，求m的取值范围．
19．（2023·滨州）如图，直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点．
（1）求直线的解析式；
（2）在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于的不等式的解集．
20．（2023·宁波模拟）如图，已知二次函数的图象经过点．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
（3）点在该二次函数的图象上，若，试根据图象直接写出m的取值范围．
21．（2023·盘龙模拟）云南某旅游景区购进一批文创产品，40天销售完毕．根据记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．
（1）第15天的日销售量为 件；
（2）当时，求日销售额的最大值．
22．（2023八下·滨江期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知某种药物在燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间成正比例；一次性燃烧完以后，y与x成反比例（如图所示）．在药物燃烧阶段，实验测得在燃烧5分钟后，此时教室内每立方米空气含药量为．
（1）若一次性燃烧完药物需10分钟．
①分别求出药物燃烧时及一次性燃烧完以后y关于x的函数表达式．
②当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时间段学生不能停留在教室里？
（2）已知室内每立方米空气中的含药量不低于时，才能有效消毒，如果有效消毒时间要持续120分钟，问要一次性燃烧完这种药物需多长时间？
23．（2023九上·崇左期末）已知抛物线交轴于和，交轴于.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若为抛物线上第二象限内一点，求使面积最大时点的坐标；
（3）若是对称轴上一动点，是抛物线上一动点，是否存在、，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得：，且，
解得：.
故答案为：C.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此列出混合组，求解即可.
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：中，，，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
故答案为：C.
【分析】根据二次项系数a=1＞0可得抛物线开口向上，进而再由对称轴直线公式“”算出抛物线的对称轴直线，从而即可一一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为.
故答案为：C.
【分析】 将抛物线y=ax2向右平移m个单位，再向上平移n个单位，则所得的抛物线的函数表达式为y=a(x-m)2+n，据此解答.
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵与交于点，两点，
∴方程个根为，，
故答案为：C.
【分析】 关于x的方程的解即是抛物线与x轴交点的横坐标.
5．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：，
一元二次方程的一个根的范围为.
故答案为：B.
【分析】由表格中的数据可得当x=1.1时，x2+12x=14.41；当x=1.2时，x2+12x=15.84，据此不难得到方程x2+12x=15的一个解的范围.
6．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：AB、h＝20t－5t2 =-5（t-2）2+20，∵15C、 小球从飞出到落地要用时，即h= 20t－5t2=0 ，解得t=4或0（舍去），正确；
D、 小球飞出1s时的飞行高度为：20×1－5×1=15m，错误.
故答案为：C.
【分析】先配方求出最大高度，即可判断AB；根据对称轴方程即可求出飞行时间，则可判断C；把t=1代入函数式求出飞行高度即可判断D.
7．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件商品的售价上涨x元（x正整数），
则每件商品的利润为（60-50+x）元，总销量为（200-10x）件，
商品利润为y＝（10+x）（200﹣10x）．
故答案为：D．
【分析】根据题意中的等量关系，列出方程即可。
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：观察二次函数图象得∶抛物线开口向下，对称轴在y轴右边，抛物线交y轴与正半轴，
∴， a、b异号，，
∴， ，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数经过第一、二、四象限，
故答案为：B
【分析】由抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴的位置可得b＞0，由抛物线交y轴与正半轴可得，从而得出反比例函数图象位于二、四象限，由-c＜0，b＞0，可知一次函数经过第一、二、四象限，据此逐一判断即可.
9．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数对称轴为，
由题意得，二次函数经过点，，，
结合图象可知：①当时，最小值为时y的值，最大值为5；
②当时，最小值为，最大值为5；
③当时，最小值为，最大值为时y的值；
∴m的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=2，二次函数经过点（0，5）、（2，-4a+5）、（4，5），然后分010．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥EC于点H，
∴∠EHG=90°，
∵△ABC和△DEF是等边三角形，
∴∠GCE=∠GEC=60°
∴∠EGC=180°-60°-60°=60°，
∴△GEC是等边三角形，
∵点C移动的距离为x，
∴EG=EC=x，
∴EH=EC=x，
在Rt△EGH中
∴；
函数图象是抛物线的一部分顶点在原点，开口向上；
当2＜x≤4时，过点M作MN⊥BF于点N，
BF=4-x，
同理可证△BMF是等边三角形，
BF=BM，EN=BF=（4-x），
∴
∴，
函数图象为抛物线的一部分，且开口向上
符合题意的图象为A.
故答案为：A
【分析】分情况讨论：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥EC于点H，利用等边三角形的性质可知∠GCE=∠GEC=60°，易证△GEC是等边三角形，结合已知可得到EG=EC=x，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可表示出EH的长，利用勾股定理可表示出GH的长；然后利用三角形的面积公式可得到y与x之间的函数解析式，可得到函数图象是抛物线的一部分顶点在原点，开口向上；当2＜x≤4时，过点M作MN⊥BF于点N，可表示出BF的长，同理可知△BMF是等边三角形，可表示出BN的长，利用勾股定理表示出MN的长，然后三角形的面积公式表示出y与x之间的函数解析式，利用函数解析式可知函数图象为抛物线的一部分，且开口向上，由此可得到符合题意的选项.
11．【答案】②④
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：②y＝ -6xy＝；④y＝ x2-1符合二次函数的定义，属于二次函数；
①y＝5x-4是一次函数，不属于二次函数；
③y＝2x3-8x2+3自变量的最高次数是3，不属于二次函数；
⑤y＝ - -2的左边不是整式，不属于二次函数．
综上所述，其中属于二次函数的是②④．
故答案为：②④．
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，从而即可一一判断得出答案.
12．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】∵这个二次函数的图象顶点是原点，且它经过平移后能与的图像重合，
又∵二次函数的图象顶点是原点时其解析式为形式，且二次函数的图象平移其表达式中二次项系数a不变，
∴这个二次函数的解析式是。
故结果是： 。
【分析】此题是二次函数图形平移的基础题型，熟练掌握二次函数顶点式、一般式、两根式三类函数图形的性质特点及变换方法是解题的关键。
13．【答案】4
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵点A、B是双曲线y= 上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=3，
∴S阴影+S1=3，S阴影+S2=3，
∴S1+S2=3+3﹣1×2=4．
故答案为：4．
【分析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y= 的系数k，由此即可求出S1+S2．
14．【答案】（1）直线x=1
（2）-7
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：（1）该二次函数图象的对称轴是直线；
故答案为：直线x=1；
（2）当时，，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值-7，即该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为-7．
故答案为：-7．
【分析】（1）结合二次函数的解析式，利用对称轴公式计算求解即可；
（2）先求出，再求出抛物线开口向下，最后判断求解即可。
15．【答案】解：∵抛物线过点和，∴
解方程组，得
∴抛物线的解析式是．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】将点和代入，再求出b、c的值即可。
16．【答案】（1）解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴ ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为 ；
（2）解：由（1），得： ，
∴点 ，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴ ，
∴ .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入y=x2+bx+c中可得b、c，据此可得二次函数的解析式；
（2）根据二次函数的解析式可得点D的坐标，由A、B的坐标可得AB的值，然后根据三角形的面积公式进行计算.
17．【答案】（1）
（2）(-1，0)，(3，0)
（3）列表：
x … -1 0 1 2 3 …
y=x2-2x-3 … 0 -3 -4 -3 0 …
描点、连线．
（4）根据图象可得：
当x=-2时，y=5；顶点坐标为（1，-4）
即函数的最小值为-4，
∴当 时，-4＜y＜5
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】（1）
故答案为： ；（2）当y=0时，
解得：
∴与x轴的交点坐标为：(-1，0)，(3，0)
故答案为：(-1，0)，(3，0)
【分析】（1）直接配方即可化为顶点式；（2）把y=0代入，解方程即可；（3）通过列表、描点、连线，作图即可；（4）根据函数的图象求解即可．
18．【答案】（1）解：∵二次函数，
当时，得到，
且，
∴二次函数的图像与x轴总有两个交点．
（2）解：∵二次函数，
当时，得到，
且，
∴的根为，
∵二次函数的图像与x轴交点的横坐标一个大于2，一个小于1，
∴方程的一个根大于2，一个根小于1，
∵，
∴
解得．
故m的取值范围是．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将二次函数与x轴的交点个数问题转换为根的判别式求解即可；
（2）先求出 的根为， 再根据“ 二次函数的图像与x轴交点的横坐标一个大于2，一个小于1”，列出不等式组，再求出即可。
19．【答案】（1）解：将点代入反比例函数，
∴，
∴
将点代入
∴，
将，代入，得
解得：，
∴
（2）解：∵，，
∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
∴当或时，，
当时，根据图象可得，
综上所述，当或时，；当时，，
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（3）∵直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点，
∴关于的不等式的解集为或
【分析】（1）运用待定系数法求一次函数和反比例函数即可求解；
（2）先根据反比例函数的性质结合题意即可求解；
（3）直接观察图像运用交点坐标即可求解。
20．【答案】（1）解：二次函数的图象经过点，
，
解得：，
（2）解：由（1）可知，
函数对称轴即顶点横坐标为：，
当时，
故顶点坐标为：
（3）解：或时
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（3）令y=6，可得x2-x-=6，
解得x=-3或5，
∴当n≥6时，m≤-3或m≥5.
【分析】（1）将P（-3，6）代入进行计算可得c的值，据此可得二次函数的表达式；
（2）根据函数解析式可得对称轴为直线x=1，将x=2代入求出y的值，据此可得顶点坐标；
（3）令y=6，求出x的值，结合图象可得m的范围.
21．【答案】（1）30
（2）解：由图象得，
①当时，
日销售额为，
，
日销售额随x的增大而增大，当时，日销售额最大，为（元）；
②当时，
日销售额为，
当时，日销售额随x的增大而增大，
当时，日销售额最大，为（元），
综上所述，当时，日销售额的最大值为2100元．
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的最值
【解析】【解答】解：（1）当x=15时，y=30，
∴第15天的日销售量为30件，
故答案为：30.
【分析】（1）直接将x=15代入函数解析式即可求解；
（2）根据函数进行分类讨论，进而根据一次函数的性质和二次函数的性质求最值即可求解。
22．【答案】（1）解：①设药物燃烧时的函数解析式为，药物燃烧后的解析式为，
把代入中得：，
∴，
∴药物燃烧时的函数解析式为，
∴药物刚好燃烧完时教室内每立方米空气含药量为，
把代入中得：，
∴，
∴药物燃烧后的解析式为；
②在中，当时，，
∵，
∴当时，y随x增大而增大，
∴当时，学生不能在教室停留；
在中，当时，，
∵，
∴当时，y随x增大而减小，
∴当时，学生不能在教室停留；
综上所述，当时，学生不能在教室停留；
（2）解：设要一次性燃烧完这种药物需t分钟，
同理可得当时，，
当药物刚好燃烧完时教室内每立方米空气含药量为，
同理可得时，，
在中，当时，，
∴当时为有效消毒时间；
在中，当时，，
∴当时为有效消毒时间；
综上所述，当时为有效消毒时间，
∵有效消毒时间为120分钟，
∴，
解得（负值舍去），
∴要一次性燃烧完这种药物需11分钟．
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1） ① 先利用待定系数法求出药物燃烧时的函数解析式为，进而求出药物刚好燃烧完时教室内每立方米空气含药量为7mg，从而即可利用待定系数法求出药物燃烧后的解析式；② 分别求出药物燃烧时和药物燃烧后，时x的值即可得到答案；
（2）设要一次性燃烧完这种药物需t分钟，仿照(1)①求出对应时间段的函数解析式，进而求出当y=0.7时x的值，再根据有效消毒时间为120分钟建立方程求解即可.
23．【答案】（1）解：把和代入，得：，
解得，
∴抛物线解析式为
（2）解：∵为抛物线上第二象限内一点，如图，过点作轴交于点，
∵抛物线解析式为，
∴，
∴，，
设直线解析式为，则
，
∴，
∴设直线解析式为，
设，，
∴，
∴当时，有最大值，∴当时，的面积最大，
∴的面积，
此时点的坐标为；
（3）解：存在，点的坐标为，，
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】（3）解：存在.假设存在、，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形.
设，，
①当为平行四边形的边时，
若四边形是平行四边形.如图，
∵，，
∴，
∴ ，
∴
∴点Q的坐标为，
若四边形是平行四边形.如图，
∵，，
∴，
∴ ，
∴
∴点Q的坐标为，
②当为平行四边形的对角线时，如图，
∵，，
∴，
∴ ，
∴
∴点Q的坐标为，
综上所述，点的坐标为，，.
【分析】（1）将A（1，0）、B（-3，0）代入y=ax2+bx+3中可求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）过点M作MN⊥x轴交BC于点N，易得OC=3，OB=3，利用待定系数法求出直线BC的解析式，设M（m，-m2-2m+3），N（m，m+3），表示出MN，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（3）设Q（a，-a2-2a+3），F（-1，b），然后分①BC为平行四边形的边，四边形BQFC或BFQC是平行四边形；②BC为平行四边形的对角线时，结合平行四边形的性质就可求出点Q的坐标.
1 / 1沪科版数学九年级上册第21章二次函数章节过关检测卷
一、选择题
1．（2023九下·婺城月考）已知是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．0或4
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得：，且，
解得：.
故答案为：C.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此列出混合组，求解即可.
2．（2022九上·桐乡市期中）抛物线的开口方向、对称轴分别是（ ）.
A．开口向上，对称轴为直线 B．开口向下，对称轴为直线
C．开口向上，对称轴为直线 D．开口向下，对称轴为直线
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：中，，，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
故答案为：C.
【分析】根据二次项系数a=1＞0可得抛物线开口向上，进而再由对称轴直线公式“”算出抛物线的对称轴直线，从而即可一一判断得出答案.
3．（2023九上·滨江期末）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为.
故答案为：C.
【分析】 将抛物线y=ax2向右平移m个单位，再向上平移n个单位，则所得的抛物线的函数表达式为y=a(x-m)2+n，据此解答.
4．（2023九上·南宁期末）已知抛物线与x交于点，，则关于x的方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵与交于点，两点，
∴方程个根为，，
故答案为：C.
【分析】 关于x的方程的解即是抛物线与x轴交点的横坐标.
5．（2022九上·将乐期中）由下表估算一元二次方程x2+12x＝15的一个根的范围，正确的是（ ）
x 1.0 1.1 1.2 1.3
x2+12x 13 14.41 15.84 17.29
A．1.0＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2
C．1.2＜x＜1.3 D．14.41＜x＜15.84
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：，
一元二次方程的一个根的范围为.
故答案为：B.
【分析】由表格中的数据可得当x=1.1时，x2+12x=14.41；当x=1.2时，x2+12x=15.84，据此不难得到方程x2+12x=15的一个解的范围.
6．（2021九上·余杭月考）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出后，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2．下列叙述正确的是( （ ）
A．小球的飞行高度不能达到15m B．小球的飞行高度可以达到25m
C．小球从飞出到落地要用时4s D．小球飞出1s时的飞行高度为10m
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：AB、h＝20t－5t2 =-5（t-2）2+20，∵15C、 小球从飞出到落地要用时，即h= 20t－5t2=0 ，解得t=4或0（舍去），正确；
D、 小球飞出1s时的飞行高度为：20×1－5×1=15m，错误.
故答案为：C.
【分析】先配方求出最大高度，即可判断AB；根据对称轴方程即可求出飞行时间，则可判断C；把t=1代入函数式求出飞行高度即可判断D.
7．（2021九上·北京月考）商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝10（200﹣10x） B．y＝200（10+x）
C．y＝10（200﹣10x）2 D．y＝（10+x）（200﹣10x）
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件商品的售价上涨x元（x正整数），
则每件商品的利润为（60-50+x）元，总销量为（200-10x）件，
商品利润为y＝（10+x）（200﹣10x）．
故答案为：D．
【分析】根据题意中的等量关系，列出方程即可。
8．（2023九上·桂平期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：观察二次函数图象得∶抛物线开口向下，对称轴在y轴右边，抛物线交y轴与正半轴，
∴， a、b异号，，
∴， ，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数经过第一、二、四象限，
故答案为：B
【分析】由抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴的位置可得b＞0，由抛物线交y轴与正半轴可得，从而得出反比例函数图象位于二、四象限，由-c＜0，b＞0，可知一次函数经过第一、二、四象限，据此逐一判断即可.
9．（2023九上·江北期末）已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数对称轴为，
由题意得，二次函数经过点，，，
结合图象可知：①当时，最小值为时y的值，最大值为5；
②当时，最小值为，最大值为5；
③当时，最小值为，最大值为时y的值；
∴m的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=2，二次函数经过点（0，5）、（2，-4a+5）、（4，5），然后分010．（2022九上·台州月考）如图，和都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥EC于点H，
∴∠EHG=90°，
∵△ABC和△DEF是等边三角形，
∴∠GCE=∠GEC=60°
∴∠EGC=180°-60°-60°=60°，
∴△GEC是等边三角形，
∵点C移动的距离为x，
∴EG=EC=x，
∴EH=EC=x，
在Rt△EGH中
∴；
函数图象是抛物线的一部分顶点在原点，开口向上；
当2＜x≤4时，过点M作MN⊥BF于点N，
BF=4-x，
同理可证△BMF是等边三角形，
BF=BM，EN=BF=（4-x），
∴
∴，
函数图象为抛物线的一部分，且开口向上
符合题意的图象为A.
故答案为：A
【分析】分情况讨论：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥EC于点H，利用等边三角形的性质可知∠GCE=∠GEC=60°，易证△GEC是等边三角形，结合已知可得到EG=EC=x，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可表示出EH的长，利用勾股定理可表示出GH的长；然后利用三角形的面积公式可得到y与x之间的函数解析式，可得到函数图象是抛物线的一部分顶点在原点，开口向上；当2＜x≤4时，过点M作MN⊥BF于点N，可表示出BF的长，同理可知△BMF是等边三角形，可表示出BN的长，利用勾股定理表示出MN的长，然后三角形的面积公式表示出y与x之间的函数解析式，利用函数解析式可知函数图象为抛物线的一部分，且开口向上，由此可得到符合题意的选项.
二、填空题
11．（2022九上·嘉兴期中）有下列函数：
①y＝5x-4；②y＝；③y＝2x3-8x2+3；④y＝x2-1；⑤y＝；
其中属于二次函数的是 （填序号）．
【答案】②④
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：②y＝ -6xy＝；④y＝ x2-1符合二次函数的定义，属于二次函数；
①y＝5x-4是一次函数，不属于二次函数；
③y＝2x3-8x2+3自变量的最高次数是3，不属于二次函数；
⑤y＝ - -2的左边不是整式，不属于二次函数．
综上所述，其中属于二次函数的是②④．
故答案为：②④．
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，从而即可一一判断得出答案.
12．（2023·奉贤模拟）如果一个二次函数的图象顶点是原点，且它经过平移后能与的图像重合，那么这个二次函数的解析式是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】∵这个二次函数的图象顶点是原点，且它经过平移后能与的图像重合，
又∵二次函数的图象顶点是原点时其解析式为形式，且二次函数的图象平移其表达式中二次项系数a不变，
∴这个二次函数的解析式是。
故结果是： 。
【分析】此题是二次函数图形平移的基础题型，熟练掌握二次函数顶点式、一般式、两根式三类函数图形的性质特点及变换方法是解题的关键。
13．（2016九上·莒县期中）如图，点A、B是双曲线y= 上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影=1，则S1+S2=
【答案】4
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵点A、B是双曲线y= 上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=3，
∴S阴影+S1=3，S阴影+S2=3，
∴S1+S2=3+3﹣1×2=4．
故答案为：4．
【分析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y= 的系数k，由此即可求出S1+S2．
14．（2023·安徽模拟）已知二次函数（a是常数，且）．
（1）该二次函数图象的对称轴是 ；
（2）该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为 ．
【答案】（1）直线x=1
（2）-7
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：（1）该二次函数图象的对称轴是直线；
故答案为：直线x=1；
（2）当时，，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值-7，即该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为-7．
故答案为：-7．
【分析】（1）结合二次函数的解析式，利用对称轴公式计算求解即可；
（2）先求出，再求出抛物线开口向下，最后判断求解即可。
三、解答题
15．（2023九上·亳州期末）已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．
【答案】解：∵抛物线过点和，∴
解方程组，得
∴抛物线的解析式是．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】将点和代入，再求出b、c的值即可。
四、作图题
16．（2021九上·温州月考）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点为D.
（1）求此二次函数的解析式.
（2）求点D的坐标及△ABD的面积.
【答案】（1）解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴ ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为 ；
（2）解：由（1），得： ，
∴点 ，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴ ，
∴ .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入y=x2+bx+c中可得b、c，据此可得二次函数的解析式；
（2）根据二次函数的解析式可得点D的坐标，由A、B的坐标可得AB的值，然后根据三角形的面积公式进行计算.
17．（2020九上·北京月考）已知二次函数 ．
（1）将 化成 的形式为 ；
（2）此函数与 轴的交点坐标为 ；
（3）在平面直角坐标系 中画出这个二次函数的图象(不用列表)；
（4）直接写出当 时， 的取值范围．
【答案】（1）
（2）(-1，0)，(3，0)
（3）列表：
x … -1 0 1 2 3 …
y=x2-2x-3 … 0 -3 -4 -3 0 …
描点、连线．
（4）根据图象可得：
当x=-2时，y=5；顶点坐标为（1，-4）
即函数的最小值为-4，
∴当 时，-4＜y＜5
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】（1）
故答案为： ；（2）当y=0时，
解得：
∴与x轴的交点坐标为：(-1，0)，(3，0)
故答案为：(-1，0)，(3，0)
【分析】（1）直接配方即可化为顶点式；（2）把y=0代入，解方程即可；（3）通过列表、描点、连线，作图即可；（4）根据函数的图象求解即可．
五、综合题
18．（2023·即墨模拟）已知二次函数
（1）求证：二次函数的图像与x轴总有两个交点
（2）若二次函数的图像与x轴交点的横坐标一个大于2，一个小于1，求m的取值范围．
【答案】（1）解：∵二次函数，
当时，得到，
且，
∴二次函数的图像与x轴总有两个交点．
（2）解：∵二次函数，
当时，得到，
且，
∴的根为，
∵二次函数的图像与x轴交点的横坐标一个大于2，一个小于1，
∴方程的一个根大于2，一个根小于1，
∵，
∴
解得．
故m的取值范围是．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将二次函数与x轴的交点个数问题转换为根的判别式求解即可；
（2）先求出 的根为， 再根据“ 二次函数的图像与x轴交点的横坐标一个大于2，一个小于1”，列出不等式组，再求出即可。
19．（2023·滨州）如图，直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点．
（1）求直线的解析式；
（2）在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）解：将点代入反比例函数，
∴，
∴
将点代入
∴，
将，代入，得
解得：，
∴
（2）解：∵，，
∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
∴当或时，，
当时，根据图象可得，
综上所述，当或时，；当时，，
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（3）∵直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点，
∴关于的不等式的解集为或
【分析】（1）运用待定系数法求一次函数和反比例函数即可求解；
（2）先根据反比例函数的性质结合题意即可求解；
（3）直接观察图像运用交点坐标即可求解。
20．（2023·宁波模拟）如图，已知二次函数的图象经过点．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
（3）点在该二次函数的图象上，若，试根据图象直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：二次函数的图象经过点，
，
解得：，
（2）解：由（1）可知，
函数对称轴即顶点横坐标为：，
当时，
故顶点坐标为：
（3）解：或时
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（3）令y=6，可得x2-x-=6，
解得x=-3或5，
∴当n≥6时，m≤-3或m≥5.
【分析】（1）将P（-3，6）代入进行计算可得c的值，据此可得二次函数的表达式；
（2）根据函数解析式可得对称轴为直线x=1，将x=2代入求出y的值，据此可得顶点坐标；
（3）令y=6，求出x的值，结合图象可得m的范围.
21．（2023·盘龙模拟）云南某旅游景区购进一批文创产品，40天销售完毕．根据记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．
（1）第15天的日销售量为 件；
（2）当时，求日销售额的最大值．
【答案】（1）30
（2）解：由图象得，
①当时，
日销售额为，
，
日销售额随x的增大而增大，当时，日销售额最大，为（元）；
②当时，
日销售额为，
当时，日销售额随x的增大而增大，
当时，日销售额最大，为（元），
综上所述，当时，日销售额的最大值为2100元．
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的最值
【解析】【解答】解：（1）当x=15时，y=30，
∴第15天的日销售量为30件，
故答案为：30.
【分析】（1）直接将x=15代入函数解析式即可求解；
（2）根据函数进行分类讨论，进而根据一次函数的性质和二次函数的性质求最值即可求解。
22．（2023八下·滨江期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知某种药物在燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间成正比例；一次性燃烧完以后，y与x成反比例（如图所示）．在药物燃烧阶段，实验测得在燃烧5分钟后，此时教室内每立方米空气含药量为．
（1）若一次性燃烧完药物需10分钟．
①分别求出药物燃烧时及一次性燃烧完以后y关于x的函数表达式．
②当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时间段学生不能停留在教室里？
（2）已知室内每立方米空气中的含药量不低于时，才能有效消毒，如果有效消毒时间要持续120分钟，问要一次性燃烧完这种药物需多长时间？
【答案】（1）解：①设药物燃烧时的函数解析式为，药物燃烧后的解析式为，
把代入中得：，
∴，
∴药物燃烧时的函数解析式为，
∴药物刚好燃烧完时教室内每立方米空气含药量为，
把代入中得：，
∴，
∴药物燃烧后的解析式为；
②在中，当时，，
∵，
∴当时，y随x增大而增大，
∴当时，学生不能在教室停留；
在中，当时，，
∵，
∴当时，y随x增大而减小，
∴当时，学生不能在教室停留；
综上所述，当时，学生不能在教室停留；
（2）解：设要一次性燃烧完这种药物需t分钟，
同理可得当时，，
当药物刚好燃烧完时教室内每立方米空气含药量为，
同理可得时，，
在中，当时，，
∴当时为有效消毒时间；
在中，当时，，
∴当时为有效消毒时间；
综上所述，当时为有效消毒时间，
∵有效消毒时间为120分钟，
∴，
解得（负值舍去），
∴要一次性燃烧完这种药物需11分钟．
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1） ① 先利用待定系数法求出药物燃烧时的函数解析式为，进而求出药物刚好燃烧完时教室内每立方米空气含药量为7mg，从而即可利用待定系数法求出药物燃烧后的解析式；② 分别求出药物燃烧时和药物燃烧后，时x的值即可得到答案；
（2）设要一次性燃烧完这种药物需t分钟，仿照(1)①求出对应时间段的函数解析式，进而求出当y=0.7时x的值，再根据有效消毒时间为120分钟建立方程求解即可.
23．（2023九上·崇左期末）已知抛物线交轴于和，交轴于.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若为抛物线上第二象限内一点，求使面积最大时点的坐标；
（3）若是对称轴上一动点，是抛物线上一动点，是否存在、，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标.
【答案】（1）解：把和代入，得：，
解得，
∴抛物线解析式为
（2）解：∵为抛物线上第二象限内一点，如图，过点作轴交于点，
∵抛物线解析式为，
∴，
∴，，
设直线解析式为，则
，
∴，
∴设直线解析式为，
设，，
∴，
∴当时，有最大值，∴当时，的面积最大，
∴的面积，
此时点的坐标为；
（3）解：存在，点的坐标为，，
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】（3）解：存在.假设存在、，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形.
设，，
①当为平行四边形的边时，
若四边形是平行四边形.如图，
∵，，
∴，
∴ ，
∴
∴点Q的坐标为，
若四边形是平行四边形.如图，
∵，，
∴，
∴ ，
∴
∴点Q的坐标为，
②当为平行四边形的对角线时，如图，
∵，，
∴，
∴ ，
∴
∴点Q的坐标为，
综上所述，点的坐标为，，.
【分析】（1）将A（1，0）、B（-3，0）代入y=ax2+bx+3中可求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）过点M作MN⊥x轴交BC于点N，易得OC=3，OB=3，利用待定系数法求出直线BC的解析式，设M（m，-m2-2m+3），N（m，m+3），表示出MN，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（3）设Q（a，-a2-2a+3），F（-1，b），然后分①BC为平行四边形的边，四边形BQFC或BFQC是平行四边形；②BC为平行四边形的对角线时，结合平行四边形的性质就可求出点Q的坐标.
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