吉林长春市八年级上册集体备课：核心素养背景下“图形与几何”教学的新探索 课件（141张PPT）
文档属性
| 名称 | 吉林长春市八年级上册集体备课：核心素养背景下“图形与几何”教学的新探索 课件（141张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 20.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-21 17:49:37 | ||
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文档简介
(共141张PPT)
核心素养背景下“图形与几何”教学的新探索
长春市2023——2024上学期八年级数学集体备课
第13章全等三角形
第14章 勾股定理
第13章全等三角形
第14章 勾股定理
初中数学四大领域之一“图形与几何”中的“图形的性质”
数学是研究数量关系和空间形式的科学。——恩格斯
数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量的关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系。
04
强调“四基”：
基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。
发展“四能”：
发现、提出、分析和解决问题的能力。
提升“核心素养”：
简称“三会”。
2011年版课标将“空间与图形”改成“图形与几何”
作为初中数学四大领域之一。
2022年课标将“图形的认识”“图形与证明”两个主
题整合为“图形的性质”,旨在培养能力，提升素养。
研读课标 理解教材
“链”化问题 提升素养
落实课标 教学建议
第13章全等三角形
第14章 勾股定理
初中数学四大领域之一“图形与几何”中的“图形的性质”
课时安排
地位作用
第13章全等三角形
在七年级上学期“图形的初步认识”与“相交线与平行线”，以及七年级下学期“多边形”与“轴对称、平移与旋转”的基础上，本章对两个三角形全等的条件进行了探索，并对等腰三角形、线段垂直平分线、角平分线的属性以及尺规作图作了进一步探索，同时也为四边形、相似形、圆的探究做了充分的准备。
地位作用
第13章全等三角形
“全等三角形”是在七年级对图形与图形变换的认识及数学说理与推理的基础上展开的数学内容。
在原有数学说理的基础上，用动态变换的方法研究静态几何图形的属性，实现合情推理和演绎推理的有机结合，掌握一些主要推理论证的方法，使学生进一步养成言必有据的思维习惯。
这样的学习过程有助于学生进一步建立几何直观，提升抽象能力和推理能力。
地位作用
第13章全等三角形
04
本章的教学时间共19课时，建议分配如下：
13.1 命题、定理与证明 2课时
13.2 三角形的全等判定 6课时
13.3 等腰三角形 2课时
13.4 尺规作图 4课时
13.5 逆命题与逆定理 3课时
复习 2课时
课时安排
第13章全等三角形
04
这一部分内容，是学生们在前面对几何结论已经有了一定直观认识的基础上所编排的。本章中所涉及的很多命题在七年级中已由学生通过一些直观的方法进行了探索，学生了解这些结论。那么从这一节课开始我们要引导学生依据严格的步骤给出它们的证明，而几何证明是培养学生逻辑推理能力的最好载体。
13.1 命题、定理与证明
地位作用
04
13.1命题、定理与证明共2课时
13.1.1命题 1课时
13.1.2定理与证明 1课时
13.1 命题、定理与证明
课时安排
04
定义、命题、定理
①通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。
②结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
③知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式。
④了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。
新课标要求
13.1 命题、定理与证明
研读课标 理解教材
04
文字语言
命题的结构
13.1 命题、定理与证明
研读课标 理解教材
命题是由条件和结论两部分组成的
13.1 命题、定理与证明
研读课标 理解教材
练习 下列语句，哪些属于命题？
（1）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；（命题）
（2）画一个角等于已知角；（祈使句，不是命题）
（3）a、b 两条直线平行吗？（疑问句，不是命题）
（7）健康的你；（偏正短语，不是命题）
（4）在同一平面内，不相交的两条直线互相平行；（命题）
（5）含有未知数的等式是方程.（命题）
13.1 命题、定理与证明
解读教材 教学建议
高中 初中
定义 形式 在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。 若…，则…” 表示判断的语句。
“如果…，那么…”
方法 例子 是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。 ①4+3=6； ②若整数a能被2整除，则a为偶数. 表示判断的语句。
①对顶角相等;
②如果=那么 a=b
13.1 命题、定理与证明
解读教材 教学建议
04
13.1 命题、定理与证明
研读课标 理解教材
13.1 命题、定理与证明
研读课标 理解教材
教材通过三个不同的案例,
由特殊事例得到的结论可能正确，
也可能不正确，
让学生体会证明的必要性，
提升推理意识，进一步培养推理能力。
提升推理意识
进一步培养推理能力
命题是由条件和结论两部分组成的
13.1 命题、定理与证明
研读课标 理解教材
目录
04
13.1
符号语言
文字语言
图形语言
论证的格式
13.1 命题、定理与证明
研读课标 理解教材
“言必有据”：每步推理都要有依据，它们可以是——
已知 定义 基本事实
定理 等式的性质 等量代换
13.1 命题、定理与证明
研读课标 理解教材
提升推理意识
进一步培养推理能力
提升模型观念，进一步培养几何直观
数学语言相互转化
13.1 命题、定理与证明
研读课标 理解教材
04
小学阶段，核心素养主要表现为：数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识、创新意识。
初中阶段，核心素养主要表现为：抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识。
在学段之间的内容相互关联，螺旋上升，逐段递进。
归纳和类比推理 演绎推理
推理是数学学习中的一种基本活动，是理解数学和解决问题的主要方式。
能够用恰当的方式表述自己的推理过程，对自己的推理过程有信心。
能够提出有意义的数学问题或猜想；能够形成初步的认知结构。
小学与初中阶段的主要表现
研读课标 理解教材
判断哪些是真命题.
(1)如果a=b，那么a2 =b2 ；
(2)如果a2 =b2 ，那么a=b；
(3)如果a2 ≠ b2 ，那么a≠b；
(4)如果a≠b ，那么a2 ≠ b2.
13.1
关键词：不设限
“链”化问题 提升素养
04
“三角形全等的判定”是在学生学习了全等三角形的概念及性质后展开的，进一步研究三角形全等的条件，是证明两个三角形全等的重要方法，也是证明线段相等、角相等的重要依据。
三角形全等的证明是几何推理证明的起始部分，也是后面等腰三角形、特殊四边形和相似三角形的学习基础，培养提高学生逻辑思维能力和演绎推理能力。
13.2 三角形全等的判定
地位作用
04
13.2 三角形全等的判定
地位作用
04
13.2 三角形全等的判定共6课时
13.2.1全等三角形的判定条件 1课时
13.2.2边角边 1课时
13.2.3角边角及角角边 2课时
13.2.4边边边 1课时
13.2.5斜边直角边 1课时
13.2 三角形全等的判定
课时安排
①掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
②掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
③掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。
④证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
补充：采取先先确认后补证的方法。
探索并掌握直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。
新课标要求
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
基本图形的积累（书中例题、习题）
动态：全等变换 静态:全等判定
承上：学生们已经掌握了图形全等变换的的特性，在原有数学说理的基础上，用动态变换的方法研究静态几何图形的属性，实现合情推理和演绎推理的有机结合，掌握推理论证的方法，提升推理能力。
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
数量关系 位置关系
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
基本图形的积累（书中例题、习题）
动态：全等变换 静态:全等判定
数量关系 位置关系
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
基本图形的积累（书中例题、习题）
动态：全等变换 静态:全等判定
两个三角形的对应关系
数量关系 位置关系
由特殊到一般
由全等到相似
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
基本图形的积累（书中例题、习题）
换个角度看问题
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
两个三角形的边、角关系
一个三角形的边、角关系
启下：开启了两个图形之间的关系，由位置关系（平行、垂直、旋转），到数量关系（相等、和差问题），再到全等关系、相似关系，再到一个图形之间的数量关系（等腰三角形、等边三角形）、位置关系（夹角、三角函数、解直角三角形）。
两个三角形的边、角关系
一个三角形的边、角关系
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
04
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
1.全等三角形的定义： 动态定义 静态定义
2.全等三角形的判定条件：
能否减少一个条件呢？
能否再减少一些条件呢？
3.探索一组对应相等的元素，会出现几种情况？这两个三角形会全等吗？
两组条件呢？
三个条件呢？
研究一种分类讨论的路径
培养学生逆向思维
04
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
“2”+1 ①两边：SAS SSS HL(隐身90)
②一边一角：SAS ASA AAS
③两角：ASA AAS
研究一种分类讨论的路径
培养学生逆向思维
1.全等三角形的定义： 动态定义 静态定义
2.全等三角形的判定条件：
能否减少一个条件呢？
能否再减少一些条件呢？
3.探索一组对应相等的元素，会出现几种情况？这两个三角形会全等吗？
两组条件呢？
三个条件呢？
04
给出画图步骤，熟悉几何作图语言。
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
04
“角和两边的位置关系”
两边夹一角
两边一对角
说明一个命题是假命题，只需举出一个反例。
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
发现：“边边角”不一定全等：
假命题，举出反例即可
适当给出提示或示范
13.2 三角形全等的判定
了解它的问题“链”：
内涵（反例模型）
外延（尺规作图、动点问题和一题多解）
解读教材 教学建议
04
“角和两边的位置关系”
两边“夹”一角
两边“邻”一角
说明一个命题是假命题，只需举出一个反例。
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
将分类进行到底
13.2 三角形全等的判定
发现：“边边角”
∠A＜90°
∠A＜90°
∠A=90°
∠A＞90°
解读教材 教学建议
举反例
（1）条件中的边、角一定是三角形中的边角；
（2）条件中只有对应相等的边、对应相等的角；
（3）判定条件要“由表及里”、“由内而外”，即：
①图中边、角的位置；
②条件的书写顺序；
③判定条件的书写顺序，“三合一”。
（4）如所需条件不是题中直接给出，需要先“伸头”，再按判定条件书写；
（5）证明全等后，还需做什么，有什么用，即要考虑“伸脚”。
13.2 三角形全等的判定
解读教材 教学建议
90°+角等+全等AAS
高线
高线+面积桥：底等高等
类比归纳
角平分线
中线
化未知，为已知
确定已知条件
分析需要什么
正确地书写证明格式
解读教材 教学建议
13.2 三角形全等的判定
教材母题——华师版八上第69页 例4
1.作平行线：构造“角” 等
换个角度看问题
同图不同法
解读教材 教学建议
13.2 三角形全等的判定
辅助线的功效从描述辅助线开始
2.倍长中线：构造“边”等
3.中心对称：旋转180°
教材母题——华师版八上第69页 例4
在△ABC中，点D是边BC的中点，过点C画直线CE是CE∥A交AD的延长线于点E.
求证：AD=ED ．
解读教材 教学建议
小台阶
大提升
13.2 三角形全等的判定
证明线段或角的相等的基本方法：
可以转化成为证明两个三角形全等
①确定已知条件；
②确定需要什么；
③正确书写证明格式。
化归知识点
基本图形
基于教材
八字形、三角形内角和
全等三角形
几何直观
回归教材
提升素养
13.2 三角形全等的判定
解读教材 教学建议
基本图形
基于教材
八字形、三角形内角和
全等三角形
回归教材
提升素养
立足学生发展
培养学生的抽象能力、模型观念
研究问题的角度
设计问题的梯度
着眼于学生的思维能力
进一步培养推理能力
13.2 三角形全等的判定
化归知识点
几何直观
解读教材 教学建议
教材母题——华师版八上
第65页 练习1
第73页 练习1（2）
第70页 练习1
第75页 练习2
第76页 练习2
关键词：翻折（轴对称）
承上：角是轴对称图形，翻折变换是全等变换；
启下：判断两个三角形全等是判断其他等量关系的一种工具。
解读教材 教学建议
13.2 三角形全等的判定
教材母题——华师版八上第70页 例1
翻折+全等三角形 +三边关系
(变式1)AC平分∠BAD，AB＞AD，
求证：BC-DC＜AB-AD.
截长
补短
翻折
一题多法
触类旁通
解读教材 教学建议
13.2 三角形全等的判定
教材母题——变式2 翻折+全等三角形 +三边关系
已知：AC平分∠BAD， AB>AD， CE⊥AB，∠B+∠D=180°，
求证：AE=AD+BE.
角平分线——翻折
解读教材 教学建议
在AM上取一点M，使得AM=AD，连结CM
截长
补短？？？？
角平分线——翻折
13.2 三角形全等的判定
（？）延长AD至点N，使得AN=AE ，连结CN
（？）延长AD至点N，连结CN，使得CN=CE( SSA)
（？）延长AD至点N，使得DN=BE，连结CN（ 缺边或角）
（？）过点C作CN⊥AN，交AD的延长线于点N.
殊途同归
∴∠N=90°
补短？？？？
学会用数学语言表达思想
∴AN=AE
解读教材 教学建议
角平分线+双垂直——特殊的翻折——既截长又补短
13.2 三角形全等的判定
教材母题——变式2 翻折+全等三角形 +三边关系
已知：AC平分∠BAD， AB>AD， CE⊥AB，∠B+∠D=180°，
求证：AE=AD+BE.
继续补短，抛出问题
通、透
集思广益
大路小路都是“路”
也可半命题，给出辅助线。
问：你能补充辅助线的做法，并完成此题吗？
解读教材 教学建议
13.2 三角形全等的判定
教材母题——变式2 翻折+全等三角形 +三边关系
已知：AC平分∠BAD， AB>AD， CE⊥AB，∠B+∠D=180°，
求证：AE=AD+BE.
化归知识点
基本图形
源于教材
回归教材
提升素养
解读教材 教学建议
13.2 三角形全等的判定
由特殊到一般
中心对称到旋转
教材母题——华师版
八上第72页 例6
教材母题——华师版
八上第69页 例4
“链”化问题 提升素养
13.2 三角形全等的判定
教材母题——华师版
八上第72页 例6
教材母题——华师版
八上第69页 例4
“链”化问题 提升素养
13.2 三角形全等的判定
由特殊到一般
中心对称到旋转
教材母题——华师版
八上第72页 例6
教材母题——华师版
八上第69页 例4
“链”化问题 提升素养
13.2 三角形全等的判定
由特殊到一般
中心对称到旋转
教材母题——华师版
八上第72页 例6
教材母题——华师版
八上第69页 例4
“链”化问题 提升素养
13.2 三角形全等的判定
由特殊到一般
中心对称到旋转
构造“手拉手全等”
核心是为了左手拉左手
右手拉右手构造全等
不能左手拉右手
关键词：旋转
“手拉手” 模型
“链”化问题 提升素养
13.2 三角形全等的判定
关键词：旋转
“链”化问题 提升素养
由一般到特殊
由特殊到一般
由全等到相似
CF=BD，CF⊥BD
“手拉手” 模型
“手拉手” 模型
角平分线的判定定理
（圆的对称性）
圆周角定理
一题多法
层层递进
如图，将△ABD绕点A按逆时针方
向旋转90° 至△ACF ，
（1） 判断△ABC和△ADF的形状？
（2）连接AM，求证：MA平分∠EMF．
“链”化问题 提升素养
“手拉手” 模型
13.2 三角形全等的判定
一题多变
举一反三
“链”化问题 提升素养
“手拉手” 模型
关键词：旋转
13.2 三角形全等的判定
一题多变
多题一法
回归本质
提升素养
“链”化问题 提升素养
“手拉手” 模型
如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．
（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N．证明DM=DN；
（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？ （请写出结论，不用证明．）
“链”化问题 提升素养
“手拉手” 模型
教材母题——华师版八上第70页 练习2
变式问题：
连结AD，求证：AD =CF．
如图，点B，E，C，F在同一条直线上，
且AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，
试找出图中其他的相等关系.
教材母题——华师版八上第72页 例6
如图，在四边形ABCD 中，AD=CB， AD∥CB.
求证：∠B=∠D．（一题多变）
类比探究
提升素养
关键词：平移
“链”化问题 提升素养
13.2 三角形全等的判定
在△ABC中，D、E为BC边上的两点，且BD=EC，求证：AB+AC＞AD+AE.
D∥AC
∥AE
△ BD≌△AEC（ASA）
借助平移变换或构造平行
“链”化问题 提升素养
关键词：平移
13.2 三角形全等的判定
04
将“动态”直观化
将“变化”模型化
相互关联，层层递进
发展学生的核心素养
“链”化问题 提升素养
04
地位作用
等腰三角形是“图形与几何”的主要内容之一，是重要的“基本”图形。是探究角、边关系的一个载体，更是研究多边形、圆的基础。不仅要掌握等腰三角形的判定和性质，而且能灵活地运用它来说明线段或角之间的数量关系，进一步强化在不同的几何元素间相互转化的思维模式。
13.3等腰三角形
04
课时安排
13.3等腰三角形
13.3 等腰三角形 共2课时
13.3.1等腰三角形的性质 1课时
13.3.1等腰三角形的判定 1课时
04
1.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。
2.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
3.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。
4.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形。
新课标要求
13.3等腰三角形
研读课标 理解教材
13.3等腰三角形
研读课标 理解教材
从关注结果的学习，逐渐到关注过程的学习。
分类是认识图形的重要方式。
分类讨论引发思考
13.3等腰三角形
研读课标 理解教材
从关注结果的学习，逐渐到关注过程的学习。
分类是认识图形的重要方式。
分类讨论引发思考
全等方法将两个角放置在两个三角形中，寻求对应关系。
实践操作产生直观判断
等腰三角形的性质定理
等边对等角
华师版教材第85页第8题
如图所示的三角测平架中，AB＝AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，整架身，使点A恰好在重锤线上，试问：此时BC是否正好处于水平位置？为什么？
13.3等腰三角形
研读课标 理解教材
13.3等腰三角形
研读课标 理解教材
从关注结果的学习，逐渐到关注过程的学习。
分类是认识图形的重要方式。
分类讨论引发思考
实践操作产生直观判断
体会运用动态的变换方法研究静态的几何图形的过程，推理论证，指导实践，提升核心素养。
13.3等腰三角形
全等方法将两个角放置在两个三角形中，寻求对应关系。
互逆定理
研读课标 理解教材
13.3等腰三角形
还有其他方法吗？
底边的中线+SSS
底边上的高+HL？？？
顶角的平分线+SAS
华师版教材
不允许出现循环论证
此法不行
解读教材 教学建议
13.3等腰三角形
还有其他方法吗？
底边的中线+SSS
底边上的高+HL
顶角的平分线+SAS
不会出现循环论证
此法可行
人教版教材
解读教材 教学建议
13.3等腰三角形
研读课标 理解教材
从关注结果的学习，逐渐到关注过程的学习。
分类是认识图形的重要方式。
分类讨论引发思考
实践操作产生直观判断
是否会出现循环论证
明确数学知识以及体系是客观存在的。
体会运用动态的变换方法研究静态的几何图形的过程，推理论证，指导实践，提升核心素养。
13.3等腰三角形
还有其他方法吗？
底边的中线+SSS
底边上的高+HL
顶角的平分线+SAS
不添加辅助线
巧证等腰三角形的性质定理
解读教材 教学建议
教材母题——华师版八上第81页第3题
【问题解决】如图①，△ABC中．AB＝AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．求证：PE+PF＝CH．
【发现规律】如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
【应用拓展】填空：若∠A＝30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF＝3时，则AB边上的高CH＝ ．点P到AB边的距离PE＝ ．
变式问题
13.3等腰三角形
P为CB延长线上的点时
点P为直线BC上的点时
解读教材 教学建议
教材母题——华师版八上第81页第3题
13.3等腰三角形
P为底边BC上的点，PE+PF=PH
P为BC延长线上的点时，PE+PF=PH
P为CB延长线上的点时，PE+PF=PH
面积桥
在变中求不变
多题共法
变式问题
面积桥
（连结AP）
解读教材 教学建议
教材母题——华师版八上第81页第3题
13.3等腰三角形
P为底边BC上的点，PE+PF=PH
P为BC延长线上的点时，PE+PF=PH
P为CB延长线上的点时，PE+PF=PH
全等
在变中求不变
多题共法
全等
（过点P作PQ⊥CH于Q）
变式问题
解读教材 教学建议
教材母题——华师版八上第81页第3题
13.3等腰三角形
一题多法
全等
全等
（过点C作CM⊥PE于M ）
在变中求不变
多题一法
P为底边BC上的点，PE+PF=PH
P为BC延长线上的点时，PE+PF=PH
P为CB延长线上的点时，PE+PF=PH
一题多变
解读教材 教学建议
从关注结果的学习，逐渐到关注过程的学习。
分类是认识图形的重要方式。
13.3等腰三角形
分类讨论引发思考
实践操作产生直观判断
是否会出现循环论证
明确数学知识以及体系是客观存在的。
重视数学结果的形成过程；
重视数学内容的直观表述；
重视学生直接经验的形成。
解读教材 教学建议
体会运用动态的变换方法研究静态的几何图形的过程，推理论证，指导实践，提升核心素养。
全等三角形是多个图形间的线段及角之间的关系
创设了一种说明等角或构造等角的全新方法
等腰三角形的特殊之处在于研究单独的一个三角形
“链”化问题 提升素养
13.3等腰三角形
“链”化问题说明1
平 行 线 ： 线的位置关系←→角的数量关系
等腰三角形：线段的数量关系←→角的数量关系
“链”化问题 提升素养
13.3等腰三角形
“链”化问题说明2
同时它也是进一步探究三角形中的边、角关系的起点，比如：对于三角形，①本节课中同一个三角形中的“等边对等角”；②直角三角形中勾股定理；③相似及三角函数；④正余弦定理等，这些都是三角形中重要的边角关系。
①角分平等腰成；
②角分垂得等腰；
⑥圆
⑤正多边形；
④矩形；
③菱形；
数学
模型
“链”化问题 提升素养
13.3等腰三角形
“链”化问题说明3
“链”化问题 提升素养
13.3等腰三角形
“链”化问题说明4
克服构造图形的难点，体会知识点的整体性：
①巧用“三线合一”
情境观察：如图1，△ABC中AB＝AC，∠BAC＝45°
CD⊥AB于D，AE⊥BC于E，CD与AE交于点F．
①写出图1中所有的全等三角形；
②写出线段AF与线段CE的数量关系；
问题探究：如图2，△ABC中AB＝BC，∠BAC＝45°
AD平分∠BAC，AD⊥CD于D，AD与BC交于点E．
求证：AE＝2CD．
拓展延伸：如图3，△ABC中AB＝BC，∠BAC＝45°
点D在AC上，∠EDC＝∠BAC，DE⊥CE于E，
DE与BC交于点F．求证：DF＝2CE．
克服构造图形的难点，体会知识点的整体性：
①巧用“三线合一”
②发现“内核”：
线段和角的数量及位置关系
一个三角形的边角关系
两个三角形的边角关系
“链”化问题 提升素养
13.3等腰三角形
“链”化问题说明4
“轴对称”、“等腰三角形”的再认识……
以点带面，而此点仅仅是起点……
“链”化问题 提升素养
13.3等腰三角形
“链”化问题说明5
“轴对称”的再认识……
“链”化问题 提升素养
13.3等腰三角形
“链”化问题说明5
一般到特殊：
等边三角、正方形、正多边形和圆
不仅是轴对称图形
也是旋转对称图形……
以点带面
而此点仅仅是起点……
“链”化问题 提升素养
13.3等腰三角形
“轴对称”的再认识……
“链”化问题说明5
化归知识点
基本图形
源于教材
回归教材
提升素养
13.3等腰三角形
“链”化问题 提升素养
在全等三角形和等腰三角形后学习尺规作图，几何教学中强调“观察、操作、推理”，尺规作图能够丰富教学情境，培养学生的实践能力，提升学生的参与意识，培养学生的学习兴趣，积累活动的经验，既展现数学美，又能感受到数学的独特魅力，尺规作图是培养综合素质的高效途径之一。
在解决问题中经历尝试、思考、分析、证明等过程中，有助于建立学生的几何直观、培养学生严谨的学习习惯、严密的逻辑思维能力，有利于提高演绎推理能力和解决问题的能力，提升数学学科的核心素养。
地位作用
13.4 尺规作图
13.4尺规作图共4课时
13.4.1 作一条线段等于已知线段
作一个角等于已知角 1课时
13.4.2 作已知角的角平分线
过一点作已知直线的垂线 1课时
13.4.3 作已知线段的垂直平分线 1课时
13.4.4 解决简单的实际问题 1课时
课时安排
13.4 尺规作图
新课标要求
（1）能用尺规作图： ①作一个角等于已知角； ②作一个角的角平分线；
（2）能用尺规作图： ③作一条线段的垂直平分线；④过一点作已知直线的垂线；
（3）能用尺规作图：⑤过直线外一点作这条直线的平行线；
（4）能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形；
（5）能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形；
（6）*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线；
（7）删除了“作一条线段等于已知线段”的尺规作图。
研读课标 理解教材
13.4 尺规作图
第二学段中的 “图形的认识与测量”：
增加了会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段；
（4）华师版七下《9.1.3三角形的三边关系》、八上《13.2.5边边边》教材中“做一做”、 “试一试”做好画图的铺垫，为“三角形的稳定性”， 也为以后探索三角形全等的判定方法，积累一定的数学活动经验，建立几何直观。
第三学段中，增加了会用直尺和圆规作三角形；
第四学段中的华师版七上《4.5.2线段的长短比较》中
（1）作一条线段等于已知线段；
（2）通过操作把一条线段画到另一条线段上，感受叠合法实现线段的长短比较；（3）结合中点的定义，直观感受线段长度的可加性，也可和差倍分。
研读课标 理解教材
13.4 尺规作图
04
给出画图步骤
熟悉几何作图语言
解读教材 教学建议
13.4 尺规作图
04
给出画图步骤
熟悉几何作图语言
解读教材 教学建议
13.4 尺规作图
【说明1】在尺规作图中，学生应了解作图的原理。
【说明2】要求学生作图规范，保留作图痕迹，不要求写出作法。
【说明3】要注意区分对不同层次学生的要求，对一些学有余力的学生，可以引导他们说明作图的依据。说明为了简化推理格式，只注明主要依据，所标注的依据逐渐淡化，但仍需注意演绎证明的条理性与正确性。
解读教材 教学建议
13.4 尺规作图
13.4 尺规作图
尺规作图的原理：
是几何概念的本质
尺规作图的学习：
也是培育核心素养的重要载体
解读教材 教学建议
形象生动的展示了如何截取线段相等
用一副三角板做角平分线
尺规作图三等分角最简易做法
“链”化问题 提升素养
13.4 尺规作图
13.4 尺规作图
尺规作图：
完全符合人的认知过程：一个不断深化、不断回归的过程
“见山是山，见山不是山，见山又是山”
温故、引新，最终抽象出最为本质的关系
“链”化问题 提升素养
13.5 逆命题与逆定理
“逆命题和逆定理”是承上启下的重要内容。从“平行线的性质和判定”到“平行四边形的性质和判定”有着密切的内在联系。应充分利用这些互逆关系，既能加深学生对逆命题和逆定理的理解，又能更好的理解平行四边形的有关知识。
通过教学活动，有利于培养学生的逆向思维，发展思维的批判性、深刻性等品质。
这两个互逆定理为证明线段或角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，也是全等三角形知识的延续和补充，初步有了集合意识，渗透轨迹思想，并为今后圆的学习都作好了知识储备。
地位作用
13.5逆命题与逆命题共3课时
13.5.1互逆命题与互逆定理 1课时
13.5.2线段垂直平分线 1课时
13.5.3角平分线 1课时
课时安排
13.5 逆命题与逆定理
新课标要求
1.了解原命题及其逆命题的概念。
会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
2.理解角平分线的概念。
探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；
反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
3.理解线段垂直平分线的概念。
探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两
端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
研读课标 理解教材
13.5 逆命题与逆定理
13.1
目录
04
承上启下
逆命题与互逆命题
13.5
研读课标 理解教材
13.5 逆命题与逆定理
13.1
目录
04
逆命题与互逆命题
13.5
承上启下
研读课标 理解教材
13.5 逆命题与逆定理
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
角平分线上的点到角两边的距离相等.
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
13.5.2
13.5.3
互逆定理
(1)如果a=b，那么a2 =b2 ；
(2)如果a2 =b2 ，那么a=b；
(3)如果a2 ≠ b2 ，那么a≠b；
(4)如果a≠b ，那么a2 ≠ b2.
例 说出下列命题的题设和结论， 并判断哪些是真命题.
逆命题
逆否命题
否命题
承上启下
解读教材 教学建议
13.5 逆命题与逆定理
逆向思维
线段的垂直平分线上
到线段两端点距离相等
的点
关键词：
解读教材 教学建议
逆定理
13.5 逆命题与逆定理
解读教材 教学建议
角的平分线上
到角两边的距离相等
的点
逆向思维
关键词：
逆定理
13.5 逆命题与逆定理
解读教材 教学建议
一个三角形的边角关系：等腰三角形
两个三角形的边角关系：全等
看问题的视角不受限：
建构数学模型，体会几何直观
13.5 逆命题与逆定理
“轴对称图形”：对称轴
解读教材 教学建议
到线段两端点距离相等的点的轨迹是这个线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线上的点到线段两端点距离相等.
到三角形三个顶点距离相等的点？
任意两线交于一点，再证明这点也在第三条线上
13.5 逆命题与逆定理
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
角平分线上的点到角两边的距离相等.
到三角形三边距离相等的点的？
到三角形三边所在直线距离相等的点？
角的外部？
“链”化问题 提升素养
13.5 逆命题与逆定理
“链”化问题 提升素养
“三线”共点的方法：
1.任意两线交于一点，再证明这点也在第三条线上（几何法）
2.第三条线经过另两条直线的交点 （解析法）
3.任选两两组合所得的两个交点重合（几何、解析法）
外心
内心
13.5 逆命题与逆定理
“链”化问题 提升素养
“高线”
“中线”
互逆定理
角平分线
性质
13.5 逆命题与逆定理
第14章勾股定理
勾股定理是初中几何中几个重要定理之一。它揭示了直角三角形三边的数量关系，是把“数”与“形”联系起来的重要定理。勾股定理是建立在三角形、全等三角形、等腰三角形等有关知识的基础之上，同时也是初三几何中解直角三角形及圆中有关计算的必备知识，它还是一般三角形余弦定理和两点间距离公式等知识的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性和连续性。勾股定理架起了代数与几何之间的桥梁，在日常生活、工农业生产中,应用极为广泛。
地位作用
第14章 勾股定理
04
第14章 勾股定理共8课时 14.1勾股定理 4课时
14.2 勾股定理的应用 2课时
复习 2课时
第14章 勾股定理
课时安排
04
第14章 勾股定理
1. 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题；
2. 通过实例体会反证法的含义。
研读课标 理解教材
13.1
目录
04
反证法
14.1.3
逆命题与互逆命题
13.5
第14章 勾股定理
研读课标 理解教材
目录
04
13.1
第14章 勾股定理
13.5
14.1.3
反证法
逆命题与互逆命题
研读课标 理解教材
目录
04
质疑：为什么要假设三边
的“大小关系”？
感受：“反证法”的步骤
体会：反证法的地位
第14章 勾股定理
研读课标 理解教材
目录
04
第14章 勾股定理
研读课标 理解教材
04
反证法和同一法的区别与联系：
它们都属于不是直接证明原命题的间接证法
“反证法”是“互为逆否命题”的等价性
“同一法”是条件和结论都是唯一存在的命题
是“同一性命题”的等价性
承上启下
同一法
14.1.2
14.1.2 直角三角形的判定
第14章 勾股定理
研读课标 理解教材
13.1
目录
04
符号语言
文字语言
图形语言
命题的结构
证明的步骤
论证的格式
推理意识
推理能力
模型观念
反证法
14.3
逆命题与互逆命题
13.5
同一法
第14章 勾股定理
研读课标 理解教材
第14章 勾股定理
研读课标 理解教材
第14章 勾股定理
研读课标 理解教材
第14章 勾股定理
研读课标 理解教材
第14章 勾股定理
研读课标 理解教材
“一线三等角” 模型
“弦图”
第14章 勾股定理
解读教材 教学建议
勾股定理
勾股定理逆定理
3:4:5
第14章 勾股定理
“一线三等角” 模型
解读教材 教学建议
一题多法 一题多变 多题一法
“手拉手” 模型
如图，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1，求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长？
“链”化问题 提升素养
第14章 勾股定理
站在过去的高度
给出现在思考的角度
实现数学思维的深度
培养学生的创新意识和思维品质
一题多变
多题一法
一题多法
“手拉手” 模型
如图，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1，求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长？
“链”化问题 提升素养
第14章 勾股定理
角平分线 平行线
等腰三角形
全等的延伸——基本图形的再利用
“链”化问题 提升素养
第14章 勾股定理
沿对角线BD折叠，点A落在G处
沿对角线EF折叠，现将使得B、D重合
“角分平” 模型
“链”化问题 提升素养
第14章 勾股定理
“角分平” 模型
教学中，和学生们亲历——
透过现象看“本质”
通过本质看“本事”
提升学生的进阶热情和能力
获取自己的高光时刻
“链”化问题 提升素养
第14章 勾股定理
已知：AE是线段DF的对称轴
AE是DF的垂直平分线
（尺规作图）
AE是∠DAF的平分线
全等三角形的性质
等腰三角形△DAF
互余（等角）
全等三角形的判定
垂直平分析线的判定和性质
角平分线的判定和性质
面积桥
母子型相似三角形
(命题、互逆定理)
一线三等角
勾股定理
（反证法、同一法）
三角函数
+ ∠AFE是直角
已知：长方形ABCD中，点E在CD上，沿AE翻折使得点D落在边BC上
横向——
关联章节知识
纵向——
衔接前后学段
已知：AE是线段DF的对称轴
AE是DF的垂直平分线
（尺规作图）
AE是∠DAF的平分线
全等三角形的性质
等腰三角形△DAF
互余（等角）
全等三角形的判定
垂直平分析线的判定和性质
角平分线的判定和性质
面积桥
母子型相似三角形
(命题、互逆定理)
一线三等角
勾股定理
（反证法、同一法）
三角函数
+ ∠AFE是直角
已知：长方形ABCD中，点E在CD上，沿AE翻折使得点D落在边BC上
横向——
关联章节知识
纵向——
衔接前后学段
横向——
关联章节知识
纵向——
衔接前后学段
横向——
关联章节知识
纵向——
衔接前后学段
谢 谢 大 家
核心素养背景下“图形与几何”教学的新探索
长春市2023——2024上学期八年级数学集体备课
第13章全等三角形
第14章 勾股定理
第13章全等三角形
第14章 勾股定理
初中数学四大领域之一“图形与几何”中的“图形的性质”
数学是研究数量关系和空间形式的科学。——恩格斯
数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量的关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系。
04
强调“四基”：
基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。
发展“四能”：
发现、提出、分析和解决问题的能力。
提升“核心素养”：
简称“三会”。
2011年版课标将“空间与图形”改成“图形与几何”
作为初中数学四大领域之一。
2022年课标将“图形的认识”“图形与证明”两个主
题整合为“图形的性质”,旨在培养能力，提升素养。
研读课标 理解教材
“链”化问题 提升素养
落实课标 教学建议
第13章全等三角形
第14章 勾股定理
初中数学四大领域之一“图形与几何”中的“图形的性质”
课时安排
地位作用
第13章全等三角形
在七年级上学期“图形的初步认识”与“相交线与平行线”，以及七年级下学期“多边形”与“轴对称、平移与旋转”的基础上，本章对两个三角形全等的条件进行了探索，并对等腰三角形、线段垂直平分线、角平分线的属性以及尺规作图作了进一步探索，同时也为四边形、相似形、圆的探究做了充分的准备。
地位作用
第13章全等三角形
“全等三角形”是在七年级对图形与图形变换的认识及数学说理与推理的基础上展开的数学内容。
在原有数学说理的基础上，用动态变换的方法研究静态几何图形的属性，实现合情推理和演绎推理的有机结合，掌握一些主要推理论证的方法，使学生进一步养成言必有据的思维习惯。
这样的学习过程有助于学生进一步建立几何直观，提升抽象能力和推理能力。
地位作用
第13章全等三角形
04
本章的教学时间共19课时，建议分配如下：
13.1 命题、定理与证明 2课时
13.2 三角形的全等判定 6课时
13.3 等腰三角形 2课时
13.4 尺规作图 4课时
13.5 逆命题与逆定理 3课时
复习 2课时
课时安排
第13章全等三角形
04
这一部分内容，是学生们在前面对几何结论已经有了一定直观认识的基础上所编排的。本章中所涉及的很多命题在七年级中已由学生通过一些直观的方法进行了探索，学生了解这些结论。那么从这一节课开始我们要引导学生依据严格的步骤给出它们的证明，而几何证明是培养学生逻辑推理能力的最好载体。
13.1 命题、定理与证明
地位作用
04
13.1命题、定理与证明共2课时
13.1.1命题 1课时
13.1.2定理与证明 1课时
13.1 命题、定理与证明
课时安排
04
定义、命题、定理
①通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。
②结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
③知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式。
④了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。
新课标要求
13.1 命题、定理与证明
研读课标 理解教材
04
文字语言
命题的结构
13.1 命题、定理与证明
研读课标 理解教材
命题是由条件和结论两部分组成的
13.1 命题、定理与证明
研读课标 理解教材
练习 下列语句，哪些属于命题？
（1）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；（命题）
（2）画一个角等于已知角；（祈使句，不是命题）
（3）a、b 两条直线平行吗？（疑问句，不是命题）
（7）健康的你；（偏正短语，不是命题）
（4）在同一平面内，不相交的两条直线互相平行；（命题）
（5）含有未知数的等式是方程.（命题）
13.1 命题、定理与证明
解读教材 教学建议
高中 初中
定义 形式 在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。 若…，则…” 表示判断的语句。
“如果…，那么…”
方法 例子 是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。 ①4+3=6； ②若整数a能被2整除，则a为偶数. 表示判断的语句。
①对顶角相等;
②如果=那么 a=b
13.1 命题、定理与证明
解读教材 教学建议
04
13.1 命题、定理与证明
研读课标 理解教材
13.1 命题、定理与证明
研读课标 理解教材
教材通过三个不同的案例,
由特殊事例得到的结论可能正确，
也可能不正确，
让学生体会证明的必要性，
提升推理意识，进一步培养推理能力。
提升推理意识
进一步培养推理能力
命题是由条件和结论两部分组成的
13.1 命题、定理与证明
研读课标 理解教材
目录
04
13.1
符号语言
文字语言
图形语言
论证的格式
13.1 命题、定理与证明
研读课标 理解教材
“言必有据”：每步推理都要有依据，它们可以是——
已知 定义 基本事实
定理 等式的性质 等量代换
13.1 命题、定理与证明
研读课标 理解教材
提升推理意识
进一步培养推理能力
提升模型观念，进一步培养几何直观
数学语言相互转化
13.1 命题、定理与证明
研读课标 理解教材
04
小学阶段，核心素养主要表现为：数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识、创新意识。
初中阶段，核心素养主要表现为：抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识。
在学段之间的内容相互关联，螺旋上升，逐段递进。
归纳和类比推理 演绎推理
推理是数学学习中的一种基本活动，是理解数学和解决问题的主要方式。
能够用恰当的方式表述自己的推理过程，对自己的推理过程有信心。
能够提出有意义的数学问题或猜想；能够形成初步的认知结构。
小学与初中阶段的主要表现
研读课标 理解教材
判断哪些是真命题.
(1)如果a=b，那么a2 =b2 ；
(2)如果a2 =b2 ，那么a=b；
(3)如果a2 ≠ b2 ，那么a≠b；
(4)如果a≠b ，那么a2 ≠ b2.
13.1
关键词：不设限
“链”化问题 提升素养
04
“三角形全等的判定”是在学生学习了全等三角形的概念及性质后展开的，进一步研究三角形全等的条件，是证明两个三角形全等的重要方法，也是证明线段相等、角相等的重要依据。
三角形全等的证明是几何推理证明的起始部分，也是后面等腰三角形、特殊四边形和相似三角形的学习基础，培养提高学生逻辑思维能力和演绎推理能力。
13.2 三角形全等的判定
地位作用
04
13.2 三角形全等的判定
地位作用
04
13.2 三角形全等的判定共6课时
13.2.1全等三角形的判定条件 1课时
13.2.2边角边 1课时
13.2.3角边角及角角边 2课时
13.2.4边边边 1课时
13.2.5斜边直角边 1课时
13.2 三角形全等的判定
课时安排
①掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
②掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
③掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。
④证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
补充：采取先先确认后补证的方法。
探索并掌握直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。
新课标要求
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
基本图形的积累（书中例题、习题）
动态：全等变换 静态:全等判定
承上：学生们已经掌握了图形全等变换的的特性，在原有数学说理的基础上，用动态变换的方法研究静态几何图形的属性，实现合情推理和演绎推理的有机结合，掌握推理论证的方法，提升推理能力。
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
数量关系 位置关系
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
基本图形的积累（书中例题、习题）
动态：全等变换 静态:全等判定
数量关系 位置关系
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
基本图形的积累（书中例题、习题）
动态：全等变换 静态:全等判定
两个三角形的对应关系
数量关系 位置关系
由特殊到一般
由全等到相似
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
基本图形的积累（书中例题、习题）
换个角度看问题
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
两个三角形的边、角关系
一个三角形的边、角关系
启下：开启了两个图形之间的关系，由位置关系（平行、垂直、旋转），到数量关系（相等、和差问题），再到全等关系、相似关系，再到一个图形之间的数量关系（等腰三角形、等边三角形）、位置关系（夹角、三角函数、解直角三角形）。
两个三角形的边、角关系
一个三角形的边、角关系
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
04
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
1.全等三角形的定义： 动态定义 静态定义
2.全等三角形的判定条件：
能否减少一个条件呢？
能否再减少一些条件呢？
3.探索一组对应相等的元素，会出现几种情况？这两个三角形会全等吗？
两组条件呢？
三个条件呢？
研究一种分类讨论的路径
培养学生逆向思维
04
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
“2”+1 ①两边：SAS SSS HL(隐身90)
②一边一角：SAS ASA AAS
③两角：ASA AAS
研究一种分类讨论的路径
培养学生逆向思维
1.全等三角形的定义： 动态定义 静态定义
2.全等三角形的判定条件：
能否减少一个条件呢？
能否再减少一些条件呢？
3.探索一组对应相等的元素，会出现几种情况？这两个三角形会全等吗？
两组条件呢？
三个条件呢？
04
给出画图步骤，熟悉几何作图语言。
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
04
“角和两边的位置关系”
两边夹一角
两边一对角
说明一个命题是假命题，只需举出一个反例。
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
发现：“边边角”不一定全等：
假命题，举出反例即可
适当给出提示或示范
13.2 三角形全等的判定
了解它的问题“链”：
内涵（反例模型）
外延（尺规作图、动点问题和一题多解）
解读教材 教学建议
04
“角和两边的位置关系”
两边“夹”一角
两边“邻”一角
说明一个命题是假命题，只需举出一个反例。
13.2 三角形全等的判定
研读课标 理解教材
将分类进行到底
13.2 三角形全等的判定
发现：“边边角”
∠A＜90°
∠A＜90°
∠A=90°
∠A＞90°
解读教材 教学建议
举反例
（1）条件中的边、角一定是三角形中的边角；
（2）条件中只有对应相等的边、对应相等的角；
（3）判定条件要“由表及里”、“由内而外”，即：
①图中边、角的位置；
②条件的书写顺序；
③判定条件的书写顺序，“三合一”。
（4）如所需条件不是题中直接给出，需要先“伸头”，再按判定条件书写；
（5）证明全等后，还需做什么，有什么用，即要考虑“伸脚”。
13.2 三角形全等的判定
解读教材 教学建议
90°+角等+全等AAS
高线
高线+面积桥：底等高等
类比归纳
角平分线
中线
化未知，为已知
确定已知条件
分析需要什么
正确地书写证明格式
解读教材 教学建议
13.2 三角形全等的判定
教材母题——华师版八上第69页 例4
1.作平行线：构造“角” 等
换个角度看问题
同图不同法
解读教材 教学建议
13.2 三角形全等的判定
辅助线的功效从描述辅助线开始
2.倍长中线：构造“边”等
3.中心对称：旋转180°
教材母题——华师版八上第69页 例4
在△ABC中，点D是边BC的中点，过点C画直线CE是CE∥A交AD的延长线于点E.
求证：AD=ED ．
解读教材 教学建议
小台阶
大提升
13.2 三角形全等的判定
证明线段或角的相等的基本方法：
可以转化成为证明两个三角形全等
①确定已知条件；
②确定需要什么；
③正确书写证明格式。
化归知识点
基本图形
基于教材
八字形、三角形内角和
全等三角形
几何直观
回归教材
提升素养
13.2 三角形全等的判定
解读教材 教学建议
基本图形
基于教材
八字形、三角形内角和
全等三角形
回归教材
提升素养
立足学生发展
培养学生的抽象能力、模型观念
研究问题的角度
设计问题的梯度
着眼于学生的思维能力
进一步培养推理能力
13.2 三角形全等的判定
化归知识点
几何直观
解读教材 教学建议
教材母题——华师版八上
第65页 练习1
第73页 练习1（2）
第70页 练习1
第75页 练习2
第76页 练习2
关键词：翻折（轴对称）
承上：角是轴对称图形，翻折变换是全等变换；
启下：判断两个三角形全等是判断其他等量关系的一种工具。
解读教材 教学建议
13.2 三角形全等的判定
教材母题——华师版八上第70页 例1
翻折+全等三角形 +三边关系
(变式1)AC平分∠BAD，AB＞AD，
求证：BC-DC＜AB-AD.
截长
补短
翻折
一题多法
触类旁通
解读教材 教学建议
13.2 三角形全等的判定
教材母题——变式2 翻折+全等三角形 +三边关系
已知：AC平分∠BAD， AB>AD， CE⊥AB，∠B+∠D=180°，
求证：AE=AD+BE.
角平分线——翻折
解读教材 教学建议
在AM上取一点M，使得AM=AD，连结CM
截长
补短？？？？
角平分线——翻折
13.2 三角形全等的判定
（？）延长AD至点N，使得AN=AE ，连结CN
（？）延长AD至点N，连结CN，使得CN=CE( SSA)
（？）延长AD至点N，使得DN=BE，连结CN（ 缺边或角）
（？）过点C作CN⊥AN，交AD的延长线于点N.
殊途同归
∴∠N=90°
补短？？？？
学会用数学语言表达思想
∴AN=AE
解读教材 教学建议
角平分线+双垂直——特殊的翻折——既截长又补短
13.2 三角形全等的判定
教材母题——变式2 翻折+全等三角形 +三边关系
已知：AC平分∠BAD， AB>AD， CE⊥AB，∠B+∠D=180°，
求证：AE=AD+BE.
继续补短，抛出问题
通、透
集思广益
大路小路都是“路”
也可半命题，给出辅助线。
问：你能补充辅助线的做法，并完成此题吗？
解读教材 教学建议
13.2 三角形全等的判定
教材母题——变式2 翻折+全等三角形 +三边关系
已知：AC平分∠BAD， AB>AD， CE⊥AB，∠B+∠D=180°，
求证：AE=AD+BE.
化归知识点
基本图形
源于教材
回归教材
提升素养
解读教材 教学建议
13.2 三角形全等的判定
由特殊到一般
中心对称到旋转
教材母题——华师版
八上第72页 例6
教材母题——华师版
八上第69页 例4
“链”化问题 提升素养
13.2 三角形全等的判定
教材母题——华师版
八上第72页 例6
教材母题——华师版
八上第69页 例4
“链”化问题 提升素养
13.2 三角形全等的判定
由特殊到一般
中心对称到旋转
教材母题——华师版
八上第72页 例6
教材母题——华师版
八上第69页 例4
“链”化问题 提升素养
13.2 三角形全等的判定
由特殊到一般
中心对称到旋转
教材母题——华师版
八上第72页 例6
教材母题——华师版
八上第69页 例4
“链”化问题 提升素养
13.2 三角形全等的判定
由特殊到一般
中心对称到旋转
构造“手拉手全等”
核心是为了左手拉左手
右手拉右手构造全等
不能左手拉右手
关键词：旋转
“手拉手” 模型
“链”化问题 提升素养
13.2 三角形全等的判定
关键词：旋转
“链”化问题 提升素养
由一般到特殊
由特殊到一般
由全等到相似
CF=BD，CF⊥BD
“手拉手” 模型
“手拉手” 模型
角平分线的判定定理
（圆的对称性）
圆周角定理
一题多法
层层递进
如图，将△ABD绕点A按逆时针方
向旋转90° 至△ACF ，
（1） 判断△ABC和△ADF的形状？
（2）连接AM，求证：MA平分∠EMF．
“链”化问题 提升素养
“手拉手” 模型
13.2 三角形全等的判定
一题多变
举一反三
“链”化问题 提升素养
“手拉手” 模型
关键词：旋转
13.2 三角形全等的判定
一题多变
多题一法
回归本质
提升素养
“链”化问题 提升素养
“手拉手” 模型
如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．
（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N．证明DM=DN；
（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？ （请写出结论，不用证明．）
“链”化问题 提升素养
“手拉手” 模型
教材母题——华师版八上第70页 练习2
变式问题：
连结AD，求证：AD =CF．
如图，点B，E，C，F在同一条直线上，
且AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，
试找出图中其他的相等关系.
教材母题——华师版八上第72页 例6
如图，在四边形ABCD 中，AD=CB， AD∥CB.
求证：∠B=∠D．（一题多变）
类比探究
提升素养
关键词：平移
“链”化问题 提升素养
13.2 三角形全等的判定
在△ABC中，D、E为BC边上的两点，且BD=EC，求证：AB+AC＞AD+AE.
D∥AC
∥AE
△ BD≌△AEC（ASA）
借助平移变换或构造平行
“链”化问题 提升素养
关键词：平移
13.2 三角形全等的判定
04
将“动态”直观化
将“变化”模型化
相互关联，层层递进
发展学生的核心素养
“链”化问题 提升素养
04
地位作用
等腰三角形是“图形与几何”的主要内容之一，是重要的“基本”图形。是探究角、边关系的一个载体，更是研究多边形、圆的基础。不仅要掌握等腰三角形的判定和性质，而且能灵活地运用它来说明线段或角之间的数量关系，进一步强化在不同的几何元素间相互转化的思维模式。
13.3等腰三角形
04
课时安排
13.3等腰三角形
13.3 等腰三角形 共2课时
13.3.1等腰三角形的性质 1课时
13.3.1等腰三角形的判定 1课时
04
1.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。
2.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
3.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。
4.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形。
新课标要求
13.3等腰三角形
研读课标 理解教材
13.3等腰三角形
研读课标 理解教材
从关注结果的学习，逐渐到关注过程的学习。
分类是认识图形的重要方式。
分类讨论引发思考
13.3等腰三角形
研读课标 理解教材
从关注结果的学习，逐渐到关注过程的学习。
分类是认识图形的重要方式。
分类讨论引发思考
全等方法将两个角放置在两个三角形中，寻求对应关系。
实践操作产生直观判断
等腰三角形的性质定理
等边对等角
华师版教材第85页第8题
如图所示的三角测平架中，AB＝AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，整架身，使点A恰好在重锤线上，试问：此时BC是否正好处于水平位置？为什么？
13.3等腰三角形
研读课标 理解教材
13.3等腰三角形
研读课标 理解教材
从关注结果的学习，逐渐到关注过程的学习。
分类是认识图形的重要方式。
分类讨论引发思考
实践操作产生直观判断
体会运用动态的变换方法研究静态的几何图形的过程，推理论证，指导实践，提升核心素养。
13.3等腰三角形
全等方法将两个角放置在两个三角形中，寻求对应关系。
互逆定理
研读课标 理解教材
13.3等腰三角形
还有其他方法吗？
底边的中线+SSS
底边上的高+HL？？？
顶角的平分线+SAS
华师版教材
不允许出现循环论证
此法不行
解读教材 教学建议
13.3等腰三角形
还有其他方法吗？
底边的中线+SSS
底边上的高+HL
顶角的平分线+SAS
不会出现循环论证
此法可行
人教版教材
解读教材 教学建议
13.3等腰三角形
研读课标 理解教材
从关注结果的学习，逐渐到关注过程的学习。
分类是认识图形的重要方式。
分类讨论引发思考
实践操作产生直观判断
是否会出现循环论证
明确数学知识以及体系是客观存在的。
体会运用动态的变换方法研究静态的几何图形的过程，推理论证，指导实践，提升核心素养。
13.3等腰三角形
还有其他方法吗？
底边的中线+SSS
底边上的高+HL
顶角的平分线+SAS
不添加辅助线
巧证等腰三角形的性质定理
解读教材 教学建议
教材母题——华师版八上第81页第3题
【问题解决】如图①，△ABC中．AB＝AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．求证：PE+PF＝CH．
【发现规律】如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
【应用拓展】填空：若∠A＝30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF＝3时，则AB边上的高CH＝ ．点P到AB边的距离PE＝ ．
变式问题
13.3等腰三角形
P为CB延长线上的点时
点P为直线BC上的点时
解读教材 教学建议
教材母题——华师版八上第81页第3题
13.3等腰三角形
P为底边BC上的点，PE+PF=PH
P为BC延长线上的点时，PE+PF=PH
P为CB延长线上的点时，PE+PF=PH
面积桥
在变中求不变
多题共法
变式问题
面积桥
（连结AP）
解读教材 教学建议
教材母题——华师版八上第81页第3题
13.3等腰三角形
P为底边BC上的点，PE+PF=PH
P为BC延长线上的点时，PE+PF=PH
P为CB延长线上的点时，PE+PF=PH
全等
在变中求不变
多题共法
全等
（过点P作PQ⊥CH于Q）
变式问题
解读教材 教学建议
教材母题——华师版八上第81页第3题
13.3等腰三角形
一题多法
全等
全等
（过点C作CM⊥PE于M ）
在变中求不变
多题一法
P为底边BC上的点，PE+PF=PH
P为BC延长线上的点时，PE+PF=PH
P为CB延长线上的点时，PE+PF=PH
一题多变
解读教材 教学建议
从关注结果的学习，逐渐到关注过程的学习。
分类是认识图形的重要方式。
13.3等腰三角形
分类讨论引发思考
实践操作产生直观判断
是否会出现循环论证
明确数学知识以及体系是客观存在的。
重视数学结果的形成过程；
重视数学内容的直观表述；
重视学生直接经验的形成。
解读教材 教学建议
体会运用动态的变换方法研究静态的几何图形的过程，推理论证，指导实践，提升核心素养。
全等三角形是多个图形间的线段及角之间的关系
创设了一种说明等角或构造等角的全新方法
等腰三角形的特殊之处在于研究单独的一个三角形
“链”化问题 提升素养
13.3等腰三角形
“链”化问题说明1
平 行 线 ： 线的位置关系←→角的数量关系
等腰三角形：线段的数量关系←→角的数量关系
“链”化问题 提升素养
13.3等腰三角形
“链”化问题说明2
同时它也是进一步探究三角形中的边、角关系的起点，比如：对于三角形，①本节课中同一个三角形中的“等边对等角”；②直角三角形中勾股定理；③相似及三角函数；④正余弦定理等，这些都是三角形中重要的边角关系。
①角分平等腰成；
②角分垂得等腰；
⑥圆
⑤正多边形；
④矩形；
③菱形；
数学
模型
“链”化问题 提升素养
13.3等腰三角形
“链”化问题说明3
“链”化问题 提升素养
13.3等腰三角形
“链”化问题说明4
克服构造图形的难点，体会知识点的整体性：
①巧用“三线合一”
情境观察：如图1，△ABC中AB＝AC，∠BAC＝45°
CD⊥AB于D，AE⊥BC于E，CD与AE交于点F．
①写出图1中所有的全等三角形；
②写出线段AF与线段CE的数量关系；
问题探究：如图2，△ABC中AB＝BC，∠BAC＝45°
AD平分∠BAC，AD⊥CD于D，AD与BC交于点E．
求证：AE＝2CD．
拓展延伸：如图3，△ABC中AB＝BC，∠BAC＝45°
点D在AC上，∠EDC＝∠BAC，DE⊥CE于E，
DE与BC交于点F．求证：DF＝2CE．
克服构造图形的难点，体会知识点的整体性：
①巧用“三线合一”
②发现“内核”：
线段和角的数量及位置关系
一个三角形的边角关系
两个三角形的边角关系
“链”化问题 提升素养
13.3等腰三角形
“链”化问题说明4
“轴对称”、“等腰三角形”的再认识……
以点带面，而此点仅仅是起点……
“链”化问题 提升素养
13.3等腰三角形
“链”化问题说明5
“轴对称”的再认识……
“链”化问题 提升素养
13.3等腰三角形
“链”化问题说明5
一般到特殊：
等边三角、正方形、正多边形和圆
不仅是轴对称图形
也是旋转对称图形……
以点带面
而此点仅仅是起点……
“链”化问题 提升素养
13.3等腰三角形
“轴对称”的再认识……
“链”化问题说明5
化归知识点
基本图形
源于教材
回归教材
提升素养
13.3等腰三角形
“链”化问题 提升素养
在全等三角形和等腰三角形后学习尺规作图，几何教学中强调“观察、操作、推理”，尺规作图能够丰富教学情境，培养学生的实践能力，提升学生的参与意识，培养学生的学习兴趣，积累活动的经验，既展现数学美，又能感受到数学的独特魅力，尺规作图是培养综合素质的高效途径之一。
在解决问题中经历尝试、思考、分析、证明等过程中，有助于建立学生的几何直观、培养学生严谨的学习习惯、严密的逻辑思维能力，有利于提高演绎推理能力和解决问题的能力，提升数学学科的核心素养。
地位作用
13.4 尺规作图
13.4尺规作图共4课时
13.4.1 作一条线段等于已知线段
作一个角等于已知角 1课时
13.4.2 作已知角的角平分线
过一点作已知直线的垂线 1课时
13.4.3 作已知线段的垂直平分线 1课时
13.4.4 解决简单的实际问题 1课时
课时安排
13.4 尺规作图
新课标要求
（1）能用尺规作图： ①作一个角等于已知角； ②作一个角的角平分线；
（2）能用尺规作图： ③作一条线段的垂直平分线；④过一点作已知直线的垂线；
（3）能用尺规作图：⑤过直线外一点作这条直线的平行线；
（4）能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形；
（5）能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形；
（6）*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线；
（7）删除了“作一条线段等于已知线段”的尺规作图。
研读课标 理解教材
13.4 尺规作图
第二学段中的 “图形的认识与测量”：
增加了会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段；
（4）华师版七下《9.1.3三角形的三边关系》、八上《13.2.5边边边》教材中“做一做”、 “试一试”做好画图的铺垫，为“三角形的稳定性”， 也为以后探索三角形全等的判定方法，积累一定的数学活动经验，建立几何直观。
第三学段中，增加了会用直尺和圆规作三角形；
第四学段中的华师版七上《4.5.2线段的长短比较》中
（1）作一条线段等于已知线段；
（2）通过操作把一条线段画到另一条线段上，感受叠合法实现线段的长短比较；（3）结合中点的定义，直观感受线段长度的可加性，也可和差倍分。
研读课标 理解教材
13.4 尺规作图
04
给出画图步骤
熟悉几何作图语言
解读教材 教学建议
13.4 尺规作图
04
给出画图步骤
熟悉几何作图语言
解读教材 教学建议
13.4 尺规作图
【说明1】在尺规作图中，学生应了解作图的原理。
【说明2】要求学生作图规范，保留作图痕迹，不要求写出作法。
【说明3】要注意区分对不同层次学生的要求，对一些学有余力的学生，可以引导他们说明作图的依据。说明为了简化推理格式，只注明主要依据，所标注的依据逐渐淡化，但仍需注意演绎证明的条理性与正确性。
解读教材 教学建议
13.4 尺规作图
13.4 尺规作图
尺规作图的原理：
是几何概念的本质
尺规作图的学习：
也是培育核心素养的重要载体
解读教材 教学建议
形象生动的展示了如何截取线段相等
用一副三角板做角平分线
尺规作图三等分角最简易做法
“链”化问题 提升素养
13.4 尺规作图
13.4 尺规作图
尺规作图：
完全符合人的认知过程：一个不断深化、不断回归的过程
“见山是山，见山不是山，见山又是山”
温故、引新，最终抽象出最为本质的关系
“链”化问题 提升素养
13.5 逆命题与逆定理
“逆命题和逆定理”是承上启下的重要内容。从“平行线的性质和判定”到“平行四边形的性质和判定”有着密切的内在联系。应充分利用这些互逆关系，既能加深学生对逆命题和逆定理的理解，又能更好的理解平行四边形的有关知识。
通过教学活动，有利于培养学生的逆向思维，发展思维的批判性、深刻性等品质。
这两个互逆定理为证明线段或角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，也是全等三角形知识的延续和补充，初步有了集合意识，渗透轨迹思想，并为今后圆的学习都作好了知识储备。
地位作用
13.5逆命题与逆命题共3课时
13.5.1互逆命题与互逆定理 1课时
13.5.2线段垂直平分线 1课时
13.5.3角平分线 1课时
课时安排
13.5 逆命题与逆定理
新课标要求
1.了解原命题及其逆命题的概念。
会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
2.理解角平分线的概念。
探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；
反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
3.理解线段垂直平分线的概念。
探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两
端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
研读课标 理解教材
13.5 逆命题与逆定理
13.1
目录
04
承上启下
逆命题与互逆命题
13.5
研读课标 理解教材
13.5 逆命题与逆定理
13.1
目录
04
逆命题与互逆命题
13.5
承上启下
研读课标 理解教材
13.5 逆命题与逆定理
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
角平分线上的点到角两边的距离相等.
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
13.5.2
13.5.3
互逆定理
(1)如果a=b，那么a2 =b2 ；
(2)如果a2 =b2 ，那么a=b；
(3)如果a2 ≠ b2 ，那么a≠b；
(4)如果a≠b ，那么a2 ≠ b2.
例 说出下列命题的题设和结论， 并判断哪些是真命题.
逆命题
逆否命题
否命题
承上启下
解读教材 教学建议
13.5 逆命题与逆定理
逆向思维
线段的垂直平分线上
到线段两端点距离相等
的点
关键词：
解读教材 教学建议
逆定理
13.5 逆命题与逆定理
解读教材 教学建议
角的平分线上
到角两边的距离相等
的点
逆向思维
关键词：
逆定理
13.5 逆命题与逆定理
解读教材 教学建议
一个三角形的边角关系：等腰三角形
两个三角形的边角关系：全等
看问题的视角不受限：
建构数学模型，体会几何直观
13.5 逆命题与逆定理
“轴对称图形”：对称轴
解读教材 教学建议
到线段两端点距离相等的点的轨迹是这个线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线上的点到线段两端点距离相等.
到三角形三个顶点距离相等的点？
任意两线交于一点，再证明这点也在第三条线上
13.5 逆命题与逆定理
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
角平分线上的点到角两边的距离相等.
到三角形三边距离相等的点的？
到三角形三边所在直线距离相等的点？
角的外部？
“链”化问题 提升素养
13.5 逆命题与逆定理
“链”化问题 提升素养
“三线”共点的方法：
1.任意两线交于一点，再证明这点也在第三条线上（几何法）
2.第三条线经过另两条直线的交点 （解析法）
3.任选两两组合所得的两个交点重合（几何、解析法）
外心
内心
13.5 逆命题与逆定理
“链”化问题 提升素养
“高线”
“中线”
互逆定理
角平分线
性质
13.5 逆命题与逆定理
第14章勾股定理
勾股定理是初中几何中几个重要定理之一。它揭示了直角三角形三边的数量关系，是把“数”与“形”联系起来的重要定理。勾股定理是建立在三角形、全等三角形、等腰三角形等有关知识的基础之上，同时也是初三几何中解直角三角形及圆中有关计算的必备知识，它还是一般三角形余弦定理和两点间距离公式等知识的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性和连续性。勾股定理架起了代数与几何之间的桥梁，在日常生活、工农业生产中,应用极为广泛。
地位作用
第14章 勾股定理
04
第14章 勾股定理共8课时 14.1勾股定理 4课时
14.2 勾股定理的应用 2课时
复习 2课时
第14章 勾股定理
课时安排
04
第14章 勾股定理
1. 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题；
2. 通过实例体会反证法的含义。
研读课标 理解教材
13.1
目录
04
反证法
14.1.3
逆命题与互逆命题
13.5
第14章 勾股定理
研读课标 理解教材
目录
04
13.1
第14章 勾股定理
13.5
14.1.3
反证法
逆命题与互逆命题
研读课标 理解教材
目录
04
质疑：为什么要假设三边
的“大小关系”？
感受：“反证法”的步骤
体会：反证法的地位
第14章 勾股定理
研读课标 理解教材
目录
04
第14章 勾股定理
研读课标 理解教材
04
反证法和同一法的区别与联系：
它们都属于不是直接证明原命题的间接证法
“反证法”是“互为逆否命题”的等价性
“同一法”是条件和结论都是唯一存在的命题
是“同一性命题”的等价性
承上启下
同一法
14.1.2
14.1.2 直角三角形的判定
第14章 勾股定理
研读课标 理解教材
13.1
目录
04
符号语言
文字语言
图形语言
命题的结构
证明的步骤
论证的格式
推理意识
推理能力
模型观念
反证法
14.3
逆命题与互逆命题
13.5
同一法
第14章 勾股定理
研读课标 理解教材
第14章 勾股定理
研读课标 理解教材
第14章 勾股定理
研读课标 理解教材
第14章 勾股定理
研读课标 理解教材
第14章 勾股定理
研读课标 理解教材
“一线三等角” 模型
“弦图”
第14章 勾股定理
解读教材 教学建议
勾股定理
勾股定理逆定理
3:4:5
第14章 勾股定理
“一线三等角” 模型
解读教材 教学建议
一题多法 一题多变 多题一法
“手拉手” 模型
如图，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1，求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长？
“链”化问题 提升素养
第14章 勾股定理
站在过去的高度
给出现在思考的角度
实现数学思维的深度
培养学生的创新意识和思维品质
一题多变
多题一法
一题多法
“手拉手” 模型
如图，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1，求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长？
“链”化问题 提升素养
第14章 勾股定理
角平分线 平行线
等腰三角形
全等的延伸——基本图形的再利用
“链”化问题 提升素养
第14章 勾股定理
沿对角线BD折叠，点A落在G处
沿对角线EF折叠，现将使得B、D重合
“角分平” 模型
“链”化问题 提升素养
第14章 勾股定理
“角分平” 模型
教学中，和学生们亲历——
透过现象看“本质”
通过本质看“本事”
提升学生的进阶热情和能力
获取自己的高光时刻
“链”化问题 提升素养
第14章 勾股定理
已知：AE是线段DF的对称轴
AE是DF的垂直平分线
（尺规作图）
AE是∠DAF的平分线
全等三角形的性质
等腰三角形△DAF
互余（等角）
全等三角形的判定
垂直平分析线的判定和性质
角平分线的判定和性质
面积桥
母子型相似三角形
(命题、互逆定理)
一线三等角
勾股定理
（反证法、同一法）
三角函数
+ ∠AFE是直角
已知：长方形ABCD中，点E在CD上，沿AE翻折使得点D落在边BC上
横向——
关联章节知识
纵向——
衔接前后学段
已知：AE是线段DF的对称轴
AE是DF的垂直平分线
（尺规作图）
AE是∠DAF的平分线
全等三角形的性质
等腰三角形△DAF
互余（等角）
全等三角形的判定
垂直平分析线的判定和性质
角平分线的判定和性质
面积桥
母子型相似三角形
(命题、互逆定理)
一线三等角
勾股定理
（反证法、同一法）
三角函数
+ ∠AFE是直角
已知：长方形ABCD中，点E在CD上，沿AE翻折使得点D落在边BC上
横向——
关联章节知识
纵向——
衔接前后学段
横向——
关联章节知识
纵向——
衔接前后学段
横向——
关联章节知识
纵向——
衔接前后学段
谢 谢 大 家