第22章 二次函数（培优卷解析）
一．选择题（每小题3分，共24分）
1.已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】y＝2x﹣1是一次函数；y＝﹣2x2﹣1是二次函数；y＝3x3﹣2x2不是二次函数；
④y=2（x+3）2-2x2，不是二次函数；
y＝ax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数；
故二次函数有1个；
故答案选A．
2.函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】C
【解析】∵函数的图象与轴有交点，
当时，，解得：，
当时，一次函数的图象与x轴有交点，故；
故答案选C．
3已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（ ）
A．或2 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】解：函数向右平移3个单位，得：；
再向上平移1个单位，得：+1，
∵得到的抛物线正好经过坐标原点
∴+1即解得：或
∵抛物线的对称轴在轴右侧∴＞0∴＜0∴
故选：B．
4.如图，已知抛物线的顶点是，与x轴交于点，给出以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向上，∴，
∵对称轴为直线，∴，
∵抛物线与y轴的交点在负半轴，∴，∴，故①错误；
∵抛物线与x轴交于，对称轴为，∴抛物线与x轴的另一个交点为，
当x=2时，位于x轴上方，∴，故②正确；
根据抛物线的对称轴为直线x=-1可知，当y=c时，x=-2或0，
根据二次函数图象，若，则或，故③正确；
当时，①，
当时，②，
+②得：，即，
∵对称轴为直线，∴，∴，∴，
得：，解得，
∴，即，故④正确；
综上分析可知，正确的有3个，故C正确．
故选：C．
5.已知，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，矩形PQNM的四个．顶点分别在菱形的四边上，则矩形PMNQ的最大面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】解：如图：
连接AC，BD交于点O，AC分别交PQ，MN于点E，F．
∵菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠ABD＝30°，∴AC＝AB＝6．
∵矩形MNQP，∴PQ∥BD，PM＝EF，PQ⊥AC．∴∠APE＝∠ABD＝30°，
设AP＝a，AE＝CFa，∴EF＝PM＝6﹣a．
由勾股定理得：PE．∴PQ＝2PEa．
∴S矩形PMNQ＝PM PQa×（6﹣a）（﹣a2+6a）
（a﹣3）2+9．
∵0，∴当a＝3时，矩形面积有最大值9．
故选：D．
6.二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意．
故选A．
7.2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大．（ ）
消毒液 每瓶售价（元） 每瓶成本（元） 每日其他费用（元） 每日最大产销量（瓶）
30 18 1200＋0.02x2 250
A．250 B．300 C．200 D．550
【答案】D
【解析】解：根据题意，得
∴，∴，
∵，∴抛物线的开口向下，有最大值，
又∵，∴当时，，
故选：D
8.如图，等边的边长为，动点P从点A出发，以每秒的速度，沿A→B→C→A的方向运动，当点P回到点A时运动停止．设运动时间为x（秒），，则y关于x的函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：如图，过C作CD⊥AB于点D，
则cm，cm，
当点P在AB上时，，cm，cm，
∴，
该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线；
当时，即点P在线段BC上时，cm；
则，
∴该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为；
当 时，即点P在线段CA上，此时，cm，
则，
∴该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为直线；
故选：C．
二．填空题（每小题2分，共16分）
9.有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：甲：对称轴是直线；乙：顶点到轴的距离为2．请你写出一个符合条件的解析式_________．
【答案】答案不唯一，如：或
【解析】解：∵对称轴是直线，∴顶点坐标的横坐标为3，
∵顶点到轴的距离为2，∴顶点坐标的纵坐标为2或-2，
∴抛物线的顶点坐标为（3，2）或（3，－2），
∴抛物线的解析式可设为或，
其中的可取任意不为0的数即可，这里令，
则抛物线的解析式为或，
故答案为：或，（答案不唯一）
10.二次函数的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么平移后的函数解析式为______．
【答案】
【解析】解：由题意得，平移后的函数解析式为：，
故答案为：．
11.二次函数（，a，c均为常数）的图象经过、、三点，则，，的大小关系是______．
【答案】
【解析】解：∵抛物线的对称轴为 ，
1.5-（-2）＞1.5-0＞2-1.5，故y1故答案为y112.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、，
∴点D的坐标为．
∵ 抛物线开口向上，∴，
∴当抛物线经过B点时，a取最大值，经过D点时，a取最小值．
将代入得，解得，
将代入得，解得，
∴若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是．
故答案为：．
13.如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为___．
【答案】4
【解析】解：如图，
当y=0时，x2+5x+4=0，解得x1=-4，x2=-1，则A（-4，0），B（-1，0），
当x=0时，y=x2+5x+4=4，则C（0，4），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（-4，0），C（0，4）代入得
，解得，
∴直线AC的解析式为y=x+4，
设P（t，t+4）（-4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），
∴PQ=t+4-（t2+5t+4）=-t2-4t=-（t+2）2+4，
∴当t=-2时，PQ有最大值，最大值为4．
故答案为4．
14.已知y＝x2+2kx+k﹣1，当﹣1＜x＜2时，有最小值﹣1，则k的值为___．
【答案】0
【解析】解：∵，
∴抛物线y＝x2+2kx+k﹣1的对称轴为直线：．
∵当﹣1＜x＜2时，y＝x2+2kx+k﹣1有最小值﹣1，∴，∴，
当时，，整理得，解得或，
∵，∴，
故答案为：0．
15.在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是______．
【答案】或
【解析】解：抛物线的对称轴为：，当时，，故抛物线与轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线CD的表达式，
当时，且抛物线过点时，
，解得（舍去），
当，抛物线与线段只有一个公共点时，
即顶点在直线CD上，则，解得，
当时，且抛物线过点时，
，解得，
由抛物线的性质可知，当越大，则抛物线的开口越小，且抛物线与线段只有一个公共点，
∴，且，解得，
综上所述，的取值范围为或，
故答案为或．
16.抛物线的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4…，A2022在抛物线第一象限的图象上，点B1，B2，B3，B4.．．，B2022在y轴的正半轴上，、、…、都是等腰直角三角形，则________．
【答案】
【解析】解：设A1B1=x，
∵△OA1B1 是等腰直角三角形，∴OB1=x，
则A1的坐标为（x，x），代入二次函数y=x2+x，得x=x2+x，解得x=1或x=0（舍），
设A2B2=m，
∵△B1A2B2腰是等腰直角三角形，∴B1B2=m，∴A2的坐标为（m，1+m），
代入二次函数y=x2+x，得m2+m＝1+m，解得m=2或m=-1（舍），
同理可求出A3B3=3，A4B4=4，
∴B2022A2022=2022，根据勾股定理，得B2021A2022=，
故答案为：．
三．解答题（共60分）
17.（6分）如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象根据函数图象，“＞”、“＝”或“＜”填写下列空格：
①a_________0；②4ac﹣b2 _________0；
③2a＋b_________0；④a＋b＋c_________ 0；
⑤当﹣1＜x＜3时，y_________0；⑥8a＋c_________0
【答案】 ＜ ＜ = ＞ ＞ ＜
【解析】解：①二次函数图象开口向下，，
②二次函数图象与轴有2个不同的交点，即
③根据图象的对称性可得对称轴为，即，
④时的函数值为，根据图象可知时，，即，
⑤根据函数图象在时，函数图象位于轴上方，即可判断函数值大于0，即，
⑥根据③可得以及时候的函数值，，即
故答案为：①；②；③；④；⑤；⑥
18.（8分）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每千克售价x（元） …… 20 22 24 ……
日销售量y（千克） …… 66 60 54 ……
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
【答案】(1)y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126
(2)当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
【解析】(1)解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由表中数据得：，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126；
(2)设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，
∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，∴18≤x≤28，
∵﹣3＜0，∴当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大，最大值为420，
∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
19.（8分）如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】(1)；(2)2；P（-1，0）
【解析】(1)解：∵点A（1，0），AB=4，∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
，解得：b=2，c=-3，∴抛物线的解析式为；
(2)解：由（1）得抛物线的解析式为，
顶点式为：，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P，
由解得：，
∵P在线段AB上，∴，∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则
∴当n=-2时，即P（-1，0）时，最大，最大值为2．
20.（8分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】(1)；(2)2或6m
【解析】(1)解：根据题意可知抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，解得，
抛物线的解析式为，
(2)由，令，
得，
解得，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．
21.（10分）已知抛物线
(1)若抛物线与直线交于（1，0），（5，8）两点．
①求抛物线和直线的函数解析式；
②直接写出当时自变量x的取值范围．
(2)若，线段AB的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB有唯一公共点时，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)①；；②或；(2)或
【解析】(1)解：①把（1，0），（5，8）分别代入可得
，解得，
∴抛物线的解析式为.
把（1，0），（5，8）分别代入可得
，解得，
直线的解析式为.
②由题意得，，解得：，
∴当时自变量x的取值范围是或.
(2)，抛物线的解析式为.
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为（2，a），
∵点A（0，3），B（3，3）
①当时，抛物线的最小值为，与线段AB无公共点；
②当时，抛物线的顶点为（2，3），在线段AB上，此时抛物线与线段AB有一个公共点；
③当时，抛物线最小值为a，与直线AB有公共点；
如果抛物线经过点A，则，解得，
由抛物线的对称轴为直线，可知抛物线经过点（4，3），
点（4，3）不在线段AB上，此时抛物线与线段AB有一个公共点A；
如果抛物线经过点B，则，解得，
由抛物线的对称轴为直线，可知抛物线经过点（1，3），
点（1，3）在线段AB上，此时抛物线与线段AB有两个公共点；
综上所述，当或时，抛物线与线段AB有唯一公共点．
22.（10分）如图1所示为某公司生产的型活动板房，成本是每个395元，它由长方形和抛物线构成，长方形的长米，宽米，抛物线的最高点到的距离为4米．
(1)按如图1所示建立平面直角坐标系，求该抛物线的解析式．
(2)现将型活动板房改为型活动板房．如图2，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户框架，点、在上，点、在抛物线上，长方形窗户框架的成本为10元/米，设，且满足，当窗户框架的周长最大时，每个型活动板房的成本是多少？（每个型活动板房的成本＝每个型活动板房的成本＋一扇长方形窗户框架成本）
(3)根据市场调查，以单价600元销售（2）中窗户框架周长最大时的型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．不考虑其他因素，公司将销售单价（元）定为多少时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；(2)每个型活动板房的成本是450元
(3)销售单价（元）定为550元时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大，最大利润是20000元
【解析】(1)解：由题意，设该抛物线的解析式为，
∵长方形的长米，宽米，抛物线的最高点到的距离为4米，
∴OH=AB=3，OD=OA=2，OE=EH-OH=1，∴E（0，1），D（2，0），
将E（0，1），D（2，0）代入，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为．
(2)解： ∵M（m，0），∴N（m，），
由题意，MN=FG=，GM=FN=2OM=2m，
∴窗户框架的周长为2（2m+）=，
∵＜0，，
∴当m=1时，周长最大，最大值为5.5，
此时，每个型活动板房的成本是395+5.5×10=450元．
(3)解：根据题意，得：W== = ，
∵-2＜0，∴当n=550时，W最大，最大值为20000，
故销售单价（元）定为550元时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大，最大利润是20000元．
23.（10分）如图，在平面直角坐标系．xOy中，直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（﹣2，0）．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，点F是直线AB下方抛物线上一动点，连接FA，FB，求出四边形FAOB面积最大值及此时点F的坐标．
(3)如图2，在（2）问的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内任意一点M使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)当t＝2时，S四边形FAOB有最大值12，此时点F的坐标为（2，﹣4）
(3)存在，点Q的坐标Q1（8，﹣2），Q2（6，﹣6），Q3（1，﹣1），Q4（5，﹣3）
【解析】(1)解：∵直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当x=0时，y=-4；当y=0时，x=4，∴点A（4，0），点B（0，﹣4），
∵抛物线交x轴于点A（4，0），点C（﹣2，0）．
设抛物线解析式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝ax2﹣2ax﹣8a，
∵抛物线交y轴于点B（0，﹣4），∴﹣4＝﹣8a，∴a，
∴抛物线解析式为：yx2﹣2x﹣8x2﹣x﹣4；
(2)解：如图，过点F作FE∥y轴，交AB于点E，
设点F的横坐标为t，则F（t，t2﹣t﹣4），
∵直线AB的解析式为y＝x﹣4，∴E（t，t﹣4），
S△BFAOA EF（4﹣0）×（t﹣4t2+t+4）＝﹣t2+4t，
∵S△BOAOA OB4×4＝8，∴S四边形FAOB＝S△BFA+S△BOA＝﹣t2+4t+8＝﹣（t﹣2）2+12，
∴当t＝2时，S四边形FAOB有最大值12，∴此时点F的坐标为（2，﹣4）；
(3)解：①当以AF为边时，如图，过点F作FS⊥x轴于点S，过点Q1作Q1T⊥x轴于点T，
∵点A（4，0），点F的坐标为（2，﹣4），∴AF2，SF＝4，AS＝4﹣2＝2，
∵四边形AQ1M1F是正方形，∴AQ1＝AF＝2，∠FAQ1＝90°，
∵∠SFA+∠SAF＝90°，∠SAF+∠TAQ1＝90°，∴∠SFA＝∠TAQ1，
∵∠FSA＝∠ATQ1＝90°，∴△FSA≌△ATQ1，
∴AT＝SF＝4，TQ1＝AS＝2，∴OT＝OA+AT＝8，∴Q1（8，﹣2）；
同理可得：△Q1HQ2≌△ATQ1，∴Q1H＝AT＝4，Q2H＝TQ1＝2，
∴OK＝OT﹣KT＝8﹣2＝6，Q2K＝HT＝4+2＝6，∴Q2（6，﹣6）；
当四边形AFED是正方形时，点D在y轴上，点E在y轴左边，不合题意；
②连接AE，FD交于点Q3，连接AQ2、FQ1交于点Q4，此时，AF为对角线，四边形AQ3FQ4是正方形，如图：
∵Q4是FQ1的中点，Q1（8，﹣2），F（2，﹣4），
∵5，3，∴Q4（5，﹣3）；
∵Q3是FD的中点，D（0，2），F（2，﹣4），
∵1，1，∴Q3（1，﹣1）．
∴存在，点Q的坐标Q1（8，﹣2），Q2（6，﹣6），Q3（1，﹣1），Q4（5，﹣3）． /九年级上学期二十二章测试卷（培优卷）
第22章 二次函数（培优卷）
一．选择题（每小题3分，共24分）
1.已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
3已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（ ）
A．或2 B． C．2 D．
4.如图，已知抛物线的顶点是，与x轴交于点，给出以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.已知，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，矩形PQNM的四个．顶点分别在菱形的四边上，则矩形PMNQ的最大面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6.二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
7.2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大．（ ）
消毒液 每瓶售价（元） 每瓶成本（元） 每日其他费用（元） 每日最大产销量（瓶）
30 18 1200＋0.02x2 250
A．250 B．300 C．200 D．550
8.如图，等边的边长为，动点P从点A出发，以每秒的速度，沿A→B→C→A的方向运动，当点P回到点A时运动停止．设运动时间为x（秒），，则y关于x的函数的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
二．填空题（每小题2分，共16分）
9.有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：甲：对称轴是直线；乙：顶点到轴的距离为2．请你写出一个符合条件的解析式_________．
10.二次函数的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么平移后的函数解析式为______．
11.二次函数（，a，c均为常数）的图象经过、、三点，则，，的大小关系是______．
12.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是_________．
13.如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为___．
14.已知y＝x2+2kx+k﹣1，当﹣1＜x＜2时，有最小值﹣1，则k的值为___．
15.在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是______．
16.抛物线的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4…，A2022在抛物线第一象限的图象上，点B1，B2，B3，B4.．．，B2022在y轴的正半轴上，、、…、都是等腰直角三角形，则________．
三．解答题（共60分）
17.（6分）如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象根据函数图象，“＞”、“＝”或“＜”填写下列空格：
①a_________0；②4ac﹣b2 _________0；
③2a＋b_________0；④a＋b＋c_________ 0；
⑤当﹣1＜x＜3时，y_________0；⑥8a＋c_________0
18.（8分）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每千克售价x（元） …… 20 22 24 ……
日销售量y（千克） …… 66 60 54 ……
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
19.（8分）如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标．
20.（8分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
21.（10分）已知抛物线
(1)若抛物线与直线交于（1，0），（5，8）两点．
①求抛物线和直线的函数解析式；
②直接写出当时自变量x的取值范围．
(2)若，线段AB的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB有唯一公共点时，直接写出a的取值范围．
22.（10分）如图1所示为某公司生产的型活动板房，成本是每个395元，它由长方形和抛物线构成，长方形的长米，宽米，抛物线的最高点到的距离为4米．
(1)按如图1所示建立平面直角坐标系，求该抛物线的解析式．
(2)现将型活动板房改为型活动板房．如图2，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户框架，点、在上，点、在抛物线上，长方形窗户框架的成本为10元/米，设，且满足，当窗户框架的周长最大时，每个型活动板房的成本是多少？（每个型活动板房的成本＝每个型活动板房的成本＋一扇长方形窗户框架成本）
(3)根据市场调查，以单价600元销售（2）中窗户框架周长最大时的型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．不考虑其他因素，公司将销售单价（元）定为多少时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大？最大利润是多少？
23.（10分）如图，在平面直角坐标系．xOy中，直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（﹣2，0）．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，点F是直线AB下方抛物线上一动点，连接FA，FB，求出四边形FAOB面积最大值及此时点F的坐标．
(3)如图2，在（2）问的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内任意一点M使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由。
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