22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 同步练习题（含解析） 2023-2024学年人教版九年级数学上册

2023-2024学年人教版九年级数学上册《22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质》
同步优生辅导练习题（附答案）
一、单选题
1．若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线的对称轴在y轴左侧，现将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．或1 B． C．1 D．5
3．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（ ）

B． C． D．
4．小张用描点法画二次函数（，，是常数，）图象时，部分列表如下：
… 0 1 …
… 0 3 4 …
依据以上信息，判断以下结论中错误的是（ ）
A．图象顶点在第一象限 B．点在该图象上，若，则
C．和4是关于的方程的两根 D．若恒成立，则
5．把抛物线向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线，则、的值分别为（　　）
A．， B．， C．， D．，
6．关于的二次函数图像经过点和，且对称轴在轴的左侧，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于轴对称，则的值为（ ）
A．0 B． C．4 D．
8．抛物线（a，c是常数且）经过点．下列四个结论：①该抛物线一定经过；②；③点在抛物线上，且，则④若是方程的两个根，其中，则其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．顶点坐标为且开口方向、形状与函数相同的抛物线是________．
10．已知二次函数，当时，函数的最大值为，则m的值是______．
11．已知抛物线的顶点为A，交y轴于点B；抛物线的顶点为C，交y轴于点D．若，且以A，B，C，D四点为顶点的四边形为矩形，则______．
12．如图，二次函数图象经过点，对称轴为直线x=1，则9a+3b+c的值是__________．
13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴、轴分别交于、、三点，点是其顶点，若点是轴上一个动点，则的最小值为______．
14．如图，正方形、的顶点D、F都在抛物线上，点B、C、E均在y轴上．若点O是边的中点，则正方形的边长为______．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的点在轴的负半轴上，抛物线的顶点为，且经过点、．若为等腰直角三角形，则的值是__________________．
16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接，．已知点E坐标为，点D在线段上，且．则四边形面积的大小为______．

三、解答题
17．已知二次函数和一次函数．
(1)若二次函数的图像过点，求二次函数的表达式；
(2)若一次函数与二次函数的图像交于x轴上同一点A，且这个点不是原点．
①求证：；
②若的另一个交点B为二次函数的顶点，求b的值．
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线，点、均在直线上．
(1)求直线的表达式；
(2)若抛物线与直线有交点，求的取值范围；
(3)当，二次函数的自变量满足时，函数的最大值为，求的值．
19．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式：
(2)证明：为直角三角形：
(3)在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
20．如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段长度的最大值．
21．如图，抛物线恰好经过，，与轴交于另一点，为抛物线的顶点，点是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，求点的坐标；
(3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：∵抛物线是抛物线（）向左平移1个单位长度得到
∴抛物线上点向左平移1个单位长度后，会在抛物线上
∴点在抛物线上
故选：D
2．解：∵，
∴，即，
由题意知，平移后的抛物线解析式为，
将代入得，整理得，，
解得或（舍去），
故选：C．
3．解：由二次函数的图象可知，开口向下，对称轴，
∴，，
∴一次函数的图象是经过第一、二、四象限.
∴只有选项C符号条件，
故选：C．
4．解：把代入得，
，
解得，，
抛物线解析式为；
化成顶点式为，顶点坐标为，在第一象限，A正确；
当时，，当时，，抛物线开口向下，顶点纵坐标为最大值，
所以，则，B正确；
当时，，
因为抛物线的对称轴是，
所以当时，，故和4是关于的方程的两根，C正确；
当时，即，
，
因为的最大值是3，故，D不正确；
故选：D．
5．解：将抛物线化成顶点式为，
将抛物线向左平移4个单位，再向上平移3个单位得新抛物线解析式为，
即，
抛物线的解析式为，
，，
故选：D．
6．解：∵抛物线点和
代入可得
∴，
∵对称轴在y轴左侧，且过点
∴抛物线与x轴的另一交点在的左侧
故，开口向上
∴当时
即
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴的取值范围为
故选：A．
7．解：∵与关于轴对称，
∴，即，
∴，解得：．
∴．
故选：C．
8．解：Q抛物线经过点，
，
，
当时，，
∴该抛物线一定经过，故此项正确；
②由①得：，
，
，
，
，
，
，
故此项正确；
③抛物线的对称轴为直线，
当时，，
，
，
也符合题意，但与矛盾，
故此项错误．
④是方程的两个根，
是抛物线与直线交点的横坐标，
，
如图：
由图得：，故此项正确．
故答案为：C
9．解：根据题意，抛物线顶点坐标为，
则设抛物线解析式为，
∵该抛物线与的开口方向、形状相同，
∴，
∴该抛物线的解析式为．
故答案为：．
10．解：
故该抛物线的对称轴为直线
当时，抛物线开口向上，且时，函数的最大值为
即时，
代入求得
当时，抛物线开口向下，且时，函数的最大值为
即时，
代入求得
∴的值为或
故答案为：或．
11．解：由题意可得，
当时，，当时，，
∴，，
当时，，当时，，
∴，，，
∴该四边形是、作对角线，
∵四边形为矩形，，
∴，即：，
化简得：，
解得，（不符合题意，舍去），
故答案为：．
12．解：∵二次函数图象经过点，对称轴为直线，
∴二次函数图象经过点，
∴，
故答案为：
13．解：在中，当时，，
∴；
∵抛物线解析式为，
∴；
如图所示，作点C关于x轴的对称点E，连接，则，
∴，
∴，
∴当D、P、E三点共线时最小，即最小，最小值为，
∴的最小值，
故答案为：．
14．解：∵点O是边的中点，
∴设，且，
∴在正方形中，，，
∴，
∵在抛物线上，
∴，解得：，
设正方形的边长为b，且，
∴，
∴，
∴结合正方形的性质，可知，
∵在抛物线上，
∴，解得：（不合要求的负值舍去），
故答案为：．
15．解：抛物线的顶点为，且经过点、，
抛物线的对称轴是直线，且，关于直线对称，
过作轴于，交于，
为等腰直角三角形，
，
， ，
四边形是正方形，
，，
，，，，
把、的坐标代入得：
，
解得：，
故答案为：．
16．解：二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点；
，，；
容易求出所在直线的解析式为；
设，
，
；
；
；，；
；
故答案为．
17．（1）解：∵二次函数过，
∴，解得：
∴二次函数的表达式为．
（2）①证明：∵当时，解得：，
∴二次函数与x轴交于和点，
又∵一次函数与二次函数的图像交于x轴上同一点A，且这个点不是原点，
∴一次函数过点，
∴，
∴．
②∵，
∴，
∵两个函数图像的另一个交点为二次函数的顶点，
∵二次函数的顶点为，
∴过，
∴过，
∴
∵，
∴，解得：．
∴．
18．（1）解：将、代入直线得，
，
解得，
∴；
（2）解：联立与，
则有，
∵抛物线与直线有交点，
∴，
∴且；
（3）解：根据题意可得，，
∴抛物线开口向下，对称轴为：直线，
∵时，有最大值，
∴当时，有，
∴或，
①在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴时，y有最大值，
∴；
②在对称轴右侧，随增大而减小，
∴时，有最大值；
综上所述：或．
19．（1）解： 与轴交于、两点，与轴交于点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解： 、、，
，
，
，
，
，则，
是直角三角形；
（3）解：存在，
当轴，即点与点是关于抛物线对称轴的对称点，而点坐标为，
，
把代入得：，
，．
点坐标为．

20．（1）解：抛物线：的顶点坐标为，
点关于对称后的点坐标为，
∵抛物线与抛物线关于成中心对称，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：∵抛物线：与：交于A、B，
∴令，
解得：或，
则A、B两点横坐标分别为和，
设，，其中，
则 ，
∴当时，最大为8．
21．（1）解：将，代入得：
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，，
，
如下图，设交x轴于点，所在直线解析为，

将，代入得：，
解得：，
所在直线解析为，
当时，有，解得：，
，
，
如图，当边在下方时，，连接并延长交y轴于点，
，，
，
，
，
由题知：，
，
，
，
同理可求所在直线解析式为，
时，解得：，（舍去），
把代入得，，
此时；
当边在上方时，，
则，
设此时所在直线解析式为，过点，
代入可得
此时所在直线解析式为，
当时，，（舍去）
把代入得，
此时，
综上所述，点的坐标为或；
（3）由（2）可得二次函数的对称轴为：，所在直线解析为，
，
，
如下图，

①当为等腰三角形的腰，为顶角时，
，
，
；
②当为等腰三角形的腰，和为顶角时，
或，
或；
③为等腰三角形的底边时，中点的坐标为，过点F作直线的垂直平分线，交直线与点，设的垂直平分线的解析式为，
，
，
将代入得，
解得：，
即，
当时，，
，
综上所述，点M的坐标或或或．