25.2用列举法求概率【素养基础达标】2023-2024学年人教版数学九年级上册（含解析）

25.2用列举法求概率【素养基础达标】
2023-2024学年人教版数学九年级上册
基础知识梳理
3.列举法求概率
列 举 法 通过列举试验结果求概率 ①直接列举法 直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件. 如：正正，正反，反正，反反
②列表法 当一次试验要涉及两个因素（例如掷两枚骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法.
③列树状图法 试验涉及到两个或两个以上因素，事件可能出现的结果较多
注意 做题时，特别要注意取出放回与不放回的问题；
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．某校开展“劳动创造美好幸福生活”演讲比赛，有3位女同学和2位男同学获得一等奖，要从这5位同学中随机抽取一男一女两位同学做获奖感言，女同学陶梦和男同学张军恰好来自同一班级，则他俩同时被抽中的概率为　　
A． B． C． D．
2．在联欢会上，三名同学分别站在锐角的三个顶点位置上，玩“抢凳子”的游戏，游戏要求在内放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子最适合摆放的位置是的　　
A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
3．现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个红球、2个白球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是　　
A． B． C． D．1
4．四张背面完全相同的卡片上分别印有等边三角形，平行四边形，正方形，圆，现将印有的图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形既是轴对称图又是中心对称图形的概率为　　
A． B． C． D．
5．为做好疫情防控工作，在学校门口放置了，，三条体温检测通道，某日入校张老师与王同学走相同通道的概率为　　
A． B． C． D．
6．不透明的袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外四个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，不放回并摇匀，再从剩下的三个球中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是　　
A． B． C． D．
7．如图，在三个空格中随机填上0，2，3三个数字，每个空格填一个数字，按从左往右的顺序恰好是“2023”的概率为　　
A． B． C． D．
8．学校食堂准备了三种套餐，如果小明和小亮两名同学每人随机选择其中一个套餐，那么他俩选到同一种套餐的概率是　　
A． B． C． D．
9．经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为　　
A． B． C． D．
10．质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件发生概率最小的是　　
A．点数的和为7 B．点数的和为8 C．点数的和为13 D．点数的和为2
二．填空题（共8小题）
11．，两队正在进行一系列比赛，若两队中任何一队赢得一盘的机会都是均等的，但为了在一系列比赛中获胜，队必须赢2盘，队必须赢3盘，那么队获胜的概率是　 　．
12．一个不透明的袋子中装有2个白球、2个黑球（除颜色外没有区别），从中任意摸出2个球，“两球同色”与“两球异色”的可能性分别记为、，则、的大小关系是　 　．
13．从一副扑克牌中取出两组牌，一组是黑桃1，2，3，4，另一组是红桃1，2，3，4，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌面数字之和等于7的概率是　　．
14．甲、乙两人参加校拓展课选课时，有文学欣赏、趣味数学、科学探索3门课程可供选择，若每人只能选择其中一门课程，则两人恰好选中同一门课程的概率是　　．
15．我市举办的“喜迎二十大奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆出入口示意图，小颖和母亲从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是 　　．
16．李老师上班途中要经过一个十字路口，十字路口红灯亮30秒、黄灯亮5秒、绿灯亮25秒，李老师到达路口恰好遇到绿灯的概率是 　　．
17．在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为，再由乙猜这个小球上的数字，记为．如果，满足，那么就称甲、乙两人“心神领会”，据此规则两人“心神领会”的概率是　　．
18．一个口袋中装有6个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，充分搅匀后随机摸出一球发现是白球，如果这个白球不放回，再摸出一球，它是白球的概率是　　．
三．解答题（共8小题）
19．为了加强学生安全教育，我校举行了一次“安全知识竞赛”，共有1200名学生参加．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面的频数分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
（1）频数分布表中　　，　　，并请补全频数分布直方图；
（2）若成绩在80分以上（不含80分）为优秀，则该校成绩达到优秀的学生有　　人；
（3）若该校并列第一名有2名男生、一名女生，从中随机选取2名参加市级比赛，则恰好是一男一女的概率是 　　（请直接写答案）．
频数分布表
分组 频数 频率
4 0.08
8 0.16
12 0.24
15 0.30
合计
20．为了提高学生的艺术素养，某校艺术组开设了艺术观察力、艺术想象力、艺术鉴赏力、艺术行动力等课程（分别记为、、、，供学生选择性的学习．小颖同学对参与学习的同学开展调查，得到如图统计图．
．请根据统计图回答下列问题
（1）此次抽样调查的人数是 　　人．
（2）　　；　　．
2．小聪和小明准备报名参加其中的一门艺术课程，求他们恰好都选择艺术鉴赏力这门课程的概率，请用列表法或者画树状图说明．
21．口袋装有3只形状大小一样的球，其中2个球是红色，1个球是白色．规定游戏者一次从口袋中摸出一个球，然后放回第二次再摸一个球，然后再放回．甲两次摸到红球获胜，乙摸到一红一白或二白获胜，你认为游戏对双方公平吗？请说明理由．
22．某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分）
七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98
八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98
整理得到如下统计表
年级 最高分 平均分 中位数 众数 方差
七年级 98 94 7.6
八年级 98 94 93 6.6
根据以上信息，完成下列问题
（1）填空：　　；　　；　　；
（2）两个年级中，　　年级成绩更稳定；
（3）七年级两名最高分选手分别记为：，，八年级第一、第二名选手分别记为，，现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率．
23．为了落实“双减”精神，弘扬非遗（非物质文化遗产）传统文化，某校在课外兴趣班中拟开展如下活动：（瑞昌剪纸）、（瑞昌竹编）、（九江山歌）、（德安潘公戏）．小明和小涵随机报名参加其中的一项兴趣活动．
（1）“小明参加九江山歌兴趣活动”这一事件是 　　；（请将正确答案的序号填写在横线上）
①必然事件；②不可能事件；③随机事件；
（2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小涵参加的兴趣活动都是端昌的非物质文化遗产的概率．
24．春节放假期间，小欢和小乐准备到三道堰镇的彩虹桥（记为、香草湖（记为、飞越丛林（记为、惠里（记为中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．
（1）小欢选择去飞越丛林的概率为；
（2）用树状图或列表法求小欢和小乐都选择去香草湖游玩的概率．
25．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的传统节假日”调查问卷（每人必选且只选一项），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了　　名学生；将条形统计图补充完整；
（2）甲、乙两名同学都想从“春节”、“中秋节”、“端午节”三个节日中选一个节日与同学聚会，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一个节日的概率．
26．为了响应国家有关开展中小学生“课后服务”的政策，某学校课后开设了：课后作业辅导、
：书法、：阅读、：绘画、：器乐，五门课程供学生选择；其中（必选项目），再从、、、中选两门课程．
（1）若学生小玲第一次选一门课程，直接写出学生小玲选中项目的概率；
（2）若学生小强和小明在选项的过程中，第一次都是选了项目，那么他俩第二次同时选择书法或绘画的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明并列出所有等可能的结果．
25.2用列举法求概率【素养基础达标】
2023-2024学年人教版数学九年级上册
基础知识梳理
3.列举法求概率
列 举 法 通过列举试验结果求概率 ①直接列举法 直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件. 如：正正，正反，反正，反反
②列表法 当一次试验要涉及两个因素（例如掷两枚骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法.
③列树状图法 试验涉及到两个或两个以上因素，事件可能出现的结果较多
注意 做题时，特别要注意取出放回与不放回的问题；
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．某校开展“劳动创造美好幸福生活”演讲比赛，有3位女同学和2位男同学获得一等奖，要从这5位同学中随机抽取一男一女两位同学做获奖感言，女同学陶梦和男同学张军恰好来自同一班级，则他俩同时被抽中的概率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：女同学陶梦用表示，其他两位女生分别用、、男同学张军用表示，另外一位男生用表示，画树状图，如图所示：
共有6种等可能的情况，其中选中女同学陶梦和男同学张军的情况数为一种，
他俩同时被抽中的概率为．
故选：．
2．在联欢会上，三名同学分别站在锐角的三个顶点位置上，玩“抢凳子”的游戏，游戏要求在内放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子最适合摆放的位置是的　　
A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
【答案】
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【解答】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上．
故选：．
3．现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个红球、2个白球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是　　
A． B． C． D．1
【答案】
【分析】用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“两球颜色相同”的结果数，进而求出概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有9种可能出现的结果，其中“两球颜色相同”的有4种，
．
故选：．
4．四张背面完全相同的卡片上分别印有等边三角形，平行四边形，正方形，圆，现将印有的图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形既是轴对称图又是中心对称图形的概率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】将印有等边三角形，平行四边形，正方形，圆的卡片分别记作、、、，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：将印有等边三角形，平行四边形，正方形，圆的卡片分别记作、、、，
列表如下：
，
，
由表知，共有12种等可能结果，其中抽到的卡片上印有的图形既是轴对称图又是中心对称图形的有2种结果，
所以抽到的卡片上印有的图形既是轴对称图又是中心对称图形的概率为，
故选：．
5．为做好疫情防控工作，在学校门口放置了，，三条体温检测通道，某日入校张老师与王同学走相同通道的概率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】画出树状图，共有9种等可能情况，其中张老师与王同学走相同通道的情况为3种，再根据概率公式计算即可．
【解答】解：树状图如图：
共有9种等可能情况，其中张老师与王同学走相同通道的情况为3种，
张老师与王同学走相同通道的概率为：，
故选：．
6．不透明的袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外四个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，不放回并摇匀，再从剩下的三个球中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率．
【解答】解：画树状图如下：
所有等可能的情况有12种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有3种情况，
所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为，
故选：．
7．如图，在三个空格中随机填上0，2，3三个数字，每个空格填一个数字，按从左往右的顺序恰好是“2023”的概率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先画树状图，得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可．
【解答】解：画树状图如下：
所有可能的情况数为6种，符合条件的情况数只有1种，
按从左往右的顺序恰好是“2023”的概率为；
故选：．
8．学校食堂准备了三种套餐，如果小明和小亮两名同学每人随机选择其中一个套餐，那么他俩选到同一种套餐的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先画出树状图，共有9种等可能的情况，其中他俩选到同一种套餐的情况有3种，再根据概率公式，计算即可得出结果．
【解答】解：把三种套餐分别记为，，，根据题意画树状图如下：
共有9种等可能的情况，其中他俩选到同一种套餐的情况有3种，
他俩选到同一种套餐的概率是为．
故选：．
9．经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果数，其中恰好有一车直行，另一车左拐的结果数为2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中恰好有一车直行，另一车左拐的结果数为2种，
恰好有一车直行，另一车左拐的概率，
故选：．
10．质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件发生概率最小的是　　
A．点数的和为7 B．点数的和为8 C．点数的和为13 D．点数的和为2
【答案】
【分析】先画树状图展示36种等可能的结果数，然后找出各事件发生的结果数，然后分别计算它们的概率，然后比较概率的大小即可．
【解答】解：列表得：
由表可知一共有36种情况，其中点数点数的和为7的结果数为6，点数的和为8的结果数为5，点数的和为13的结果数为0，点数的和为2的结果数为1，
所以点数的和为7的概率，点数的和为8的概率，点数和为13的概率，点数和为2的概率，
所以发生概率最小的是点数的和为13．
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．，两队正在进行一系列比赛，若两队中任何一队赢得一盘的机会都是均等的，但为了在一系列比赛中获胜，队必须赢2盘，队必须赢3盘，那么队获胜的概率是　　．
【分析】队获胜的条件是，队在队赢2盘之前赢3盘，即队赢了的时候，队或者一盘都没赢，或者只赢了一盘．计算出队获胜概率，用1减去队获胜概率可得．
【解答】解：根据题意，队获胜的条件是，队在队赢2盘之前赢3盘，即队赢了的时候，队或者一盘都没赢，或者只赢了一盘．
队获胜的情况有下面四种：（1）；（2）；（3）；（4）
队获胜的概率为：，
那么，队获胜的概率为，
故答案为：．
12．一个不透明的袋子中装有2个白球、2个黑球（除颜色外没有区别），从中任意摸出2个球，“两球同色”与“两球异色”的可能性分别记为、，则、的大小关系是　　．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，分别求出“两球同色”与“两球异色”的可能性，比较大小即可．
【解答】解：列表如下：
白 白 黑 黑
白 （白，白） （黑，白） （黑，白）
白 （白，白） （黑，白） （黑，白）
黑 （白，黑） （白，黑） （黑，黑）
黑 （白，黑） （白，黑） （黑，黑）
所有等可能的情况有12种，其中“两球同色”的情况有4种，“两球异色”的情况有8种，
，，
则．
故答案为：
13．从一副扑克牌中取出两组牌，一组是黑桃1，2，3，4，另一组是红桃1，2，3，4，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌面数字之和等于7的概率是　　．
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出摸出的两张牌面数字之和等于7的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中摸出的两张牌面数字之和等于7的结果数为2，
所以摸出的两张牌面数字之和等于7的概率．
故答案为．
14．甲、乙两人参加校拓展课选课时，有文学欣赏、趣味数学、科学探索3门课程可供选择，若每人只能选择其中一门课程，则两人恰好选中同一门课程的概率是　　．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选中同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：（用、、分别表示文学欣赏、趣味数学、科学探索）
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选中同一门课程的结果数为3，
所以两人恰好选中同一门课程的概率．
故答案为．
15．我市举办的“喜迎二十大奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆出入口示意图，小颖和母亲从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是 　　．
【答案】．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小颖和母亲恰好从同一出口走出的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小颖和母亲恰好从同一出口走出的结果有3种，
小颖和母亲恰好从同一出口走出的概率为．
故答案为：．
16．李老师上班途中要经过一个十字路口，十字路口红灯亮30秒、黄灯亮5秒、绿灯亮25秒，李老师到达路口恰好遇到绿灯的概率是 　　．
【分析】利用概率公式求解．
【解答】解：李老师到达路口恰好遇到绿灯的概率．
故答案为．
17．在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为，再由乙猜这个小球上的数字，记为．如果，满足，那么就称甲、乙两人“心神领会”，据此规则两人“心神领会”的概率是　　．
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用绝对值的意义找出满足的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中满足的结果数为10，
所以两人“心神领会”的概率．
故答案为．
18．一个口袋中装有6个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，充分搅匀后随机摸出一球发现是白球，如果这个白球不放回，再摸出一球，它是白球的概率是　　．
【分析】确定摸出一个白球不放回的白球和红球的个数，直接利用概率公式求解即可．
【解答】解：如果先摸出一白球，这个白球不放回，
那么第二次摸球时，有3个白球和6个红球，再摸出一球它是白球的概率是，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
19．为了加强学生安全教育，我校举行了一次“安全知识竞赛”，共有1200名学生参加．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面的频数分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
（1）频数分布表中　11　，　　，并请补全频数分布直方图；
（2）若成绩在80分以上（不含80分）为优秀，则该校成绩达到优秀的学生有　　人；
（3）若该校并列第一名有2名男生、一名女生，从中随机选取2名参加市级比赛，则恰好是一男一女的概率是 　　（请直接写答案）．
频数分布表
分组 频数 频率
4 0.08
8 0.16
12 0.24
15 0.30
合计
【答案】（1）11、0.22；
（2）624；
（3）．
【分析】（1）由的频数及其所占频率可得样本容量，根据频数之和等于总人数求出，再利用频率的概念可得的值；
（2）用该校的总人数乘以成绩在80分以上（不含80分）为优秀的人数所占的百分比即可；
（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好是1男1女所占的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）抽取的样本容量是：，
，
则，
补全图形如下：
故答案为：11、0.22；
（2）根据题意得：
（人，
答：该校成绩达到优秀的学生有624人；
故答案为：624；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，恰好是一男一女的有4种情况，
所以恰好是一男一女的概率是；
故答案为：．
20．为了提高学生的艺术素养，某校艺术组开设了艺术观察力、艺术想象力、艺术鉴赏力、艺术行动力等课程（分别记为、、、，供学生选择性的学习．小颖同学对参与学习的同学开展调查，得到如图统计图．
．请根据统计图回答下列问题
（1）此次抽样调查的人数是 　200　人．
（2）　　；　　．
2．小聪和小明准备报名参加其中的一门艺术课程，求他们恰好都选择艺术鉴赏力这门课程的概率，请用列表法或者画树状图说明．
【答案】1．（1）200；
（2）40，30；
．
【分析】1．（1）用组的人数除以组占的百分比即可求出答案；
（2）用组人数除以总人数，即可求出，从而确定的值，用组所占百分比乘以总人数即可求出的值；
2．用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两人恰好都选择艺术鉴赏力这门课程的结果数，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【解答】解：1．（1）组20人，占，
此次抽样调查的人数为：（人，
故答案为：200；
（2）组是80人，总人数为200人，
，
，
组占，
组人数为：（人，
，
故答案为：40，30；
2．画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，其中两人都选择艺术鉴赏力这门课程有1种可能，
（都选择艺术鉴赏力这门课程）．
21．口袋装有3只形状大小一样的球，其中2个球是红色，1个球是白色．规定游戏者一次从口袋中摸出一个球，然后放回第二次再摸一个球，然后再放回．甲两次摸到红球获胜，乙摸到一红一白或二白获胜，你认为游戏对双方公平吗？请说明理由．
【答案】游戏不公平．
【分析】分别求出两人获胜的概率即可判断．
【解答】解：画树状图如下：
（两个红球）；（一红一白或二白），
概率不相等，
游戏不公平．
22．某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分）
七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98
八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98
整理得到如下统计表
年级 最高分 平均分 中位数 众数 方差
七年级 98 94 7.6
八年级 98 94 93 6.6
根据以上信息，完成下列问题
（1）填空：　94　；　　；　　；
（2）两个年级中，　　年级成绩更稳定；
（3）七年级两名最高分选手分别记为：，，八年级第一、第二名选手分别记为，，现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率．
【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解；
（2）根据方差的意义进行判断；
（3）画树状图展示所有12等可能的结果数，再找出这两人分别来自不同年级的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）；，
；
（2）七年级和八年级的平均数相同，但八年级的方差较小，
所以八年级的成绩稳定；
故答案为94，92，94；八；
（3）列表得：
乙 甲
， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
共有12种等可能的结果，这两人分别来自不同年级的有8种情况，
（这两人分别来自不同年级的概率）．
23．为了落实“双减”精神，弘扬非遗（非物质文化遗产）传统文化，某校在课外兴趣班中拟开展如下活动：（瑞昌剪纸）、（瑞昌竹编）、（九江山歌）、（德安潘公戏）．小明和小涵随机报名参加其中的一项兴趣活动．
（1）“小明参加九江山歌兴趣活动”这一事件是 　③　；（请将正确答案的序号填写在横线上）
①必然事件；②不可能事件；③随机事件；
（2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小涵参加的兴趣活动都是端昌的非物质文化遗产的概率．
【答案】（1）③；
（2）．
【分析】（1）根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义判断填空即可；
（2）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出小明和小涵参加的兴趣活动都是端昌的非物质文化遗产的可能结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【解答】解：（1）小明参加四项活动时随机的，
“小明参加九江山歌兴趣活动”这一事件是随机事件，
故答案为：③；
（2）根据题意，列表如下：
小涵 小明
．
． ． ． ．
． ． ．
由表可知，共16种等可能的情况，其中小明和小涵参加的兴趣活动都是端昌的非物
质文化遗产的有4种．
（小明和小涵参加的兴趣活动都是端昌的非物质文化遗产）．
24．春节放假期间，小欢和小乐准备到三道堰镇的彩虹桥（记为、香草湖（记为、飞越丛林（记为、惠里（记为中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．
（1）小欢选择去飞越丛林的概率为；
（2）用树状图或列表法求小欢和小乐都选择去香草湖游玩的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出小欢和小乐都选择去香草湖游玩的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）小欢选择去飞越丛林的概率；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中小欢和小乐都选择去香草湖游玩的结果数为1，
所以小欢和小乐都选择去香草湖游玩的概率．
25．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的传统节假日”调查问卷（每人必选且只选一项），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了　50　名学生；将条形统计图补充完整；
（2）甲、乙两名同学都想从“春节”、“中秋节”、“端午节”三个节日中选一个节日与同学聚会，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一个节日的概率．
【分析】（1）利用扇形统计图得到中“秋节”、“端午节”所占的百分比为，然后用它们的频数和除以得到调查的总人数，再计算出最喜欢的传统重阳节的人数后补全条形统计图；
（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出甲、乙两名同学恰好选择同一个节日的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）这次统计共抽查的学生数为（名；
最喜欢的传统重阳节的人数为（名；
条形统计图补充为：
故答案为50；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两名同学恰好选择同一个节日的结果数为3，
所以甲、乙两名同学恰好选择同一个节日的概率．
26．为了响应国家有关开展中小学生“课后服务”的政策，某学校课后开设了：课后作业辅导、
：书法、：阅读、：绘画、：器乐，五门课程供学生选择；其中（必选项目），再从、、、中选两门课程．
（1）若学生小玲第一次选一门课程，直接写出学生小玲选中项目的概率；
（2）若学生小强和小明在选项的过程中，第一次都是选了项目，那么他俩第二次同时选择书法或绘画的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明并列出所有等可能的结果．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出他俩第二次同时选择书法或绘画的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）若学生小玲第一次选一门课程，学生小玲选中项目的概率；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中他俩第二次同时选择书法或绘画的结果数为2，
所以他俩第二次同时选择书法或绘画的概率．