重庆市2024届高三上学期数学入学调研卷（含解析）

2024届高三入学调研卷（重庆适用）
数学
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
2．复数满足，则的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．已知满足，则夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A． B． C． D．
5．“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数在区间上是单调的，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知各项均为正数的等比数列中，，，则该数列的公比为（ ）
A． B． C． D．
8．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（ ）

A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知圆，为圆上任意一点，，则（ ）
A．
B．直线过点，则到直线的距离为
C．
D．圆与坐标轴相交所得的四点构成的四边形面积为
10．已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若的面积为，则点的横坐标为
C．存在点满足
D．直线与直线的斜率之积为
11．若随机变量，下列说法中正确的是（ ）
A． B．期望
C．期望 D．方差
12．给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．幂函数图象一定不过第四象限
B．函数的图象过定点
C．是奇函数
D．函数有两个零点
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知函数在处的导数为，则 .
14．已知函数，现将该函数图象先向左平移个应位长度，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知函数在区间上是单调的，则的取值范围是 ．
15．若，，，则 .（用数字作答）
16．直四棱柱的底面正方形边长为，侧棱长为，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与直四棱柱的表面相交所得到的所有弧长之和等于 ．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．数列的前项积为，.
(1)若，求；
(2)若，设，求数列的前项和.
18．如图，为圆锥的顶点，为底面圆上两点，，为中点，点 在线段上，且.

(1)证明：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
19．的内角的对边分别为，已知，是边上一点，，.
(1)求；
(2)求的最大值.
20．为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青 春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从 中抽取了份试卷进行调查，这份试卷的成绩（卷 面共分）频率分布直方图如右图所示．
(1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
(2)可以认为这次竞赛成绩近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差 分别作为、的近似值），已知样本标准差 ，如有的学生的竞赛 成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少？（结果取整数）
(3)从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取份试卷，再从这 份样本中随机抽测份试卷，若已知抽测的份试卷来自于不同区间，求抽测份试卷有份来自区间的概率．
参考数据：若 ，则，，.
21．已知函数.
(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
22．已知、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆 上，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知两点的坐标分别是，，若过点的直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过点，求出直线的所有方程.
答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．答案：
B
解析：
【分析】
由，，以及与的交集为，列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】
∵集合，，且，
∴，∴或，
解得：或或，
由元素的互异性得不合题意，舍去，
则或．
故选：B.
2．答案：
A
解析：
【分析】
先求复数，可得其共轭复数的虚部.
【详解】
由得，
故，其虚部为，
故选：A.
3．答案：
D
解析：
【分析】
根据数量积的运算律，整理化简等式，建立方程，解得平方和，结合完全平方和公式，解得模长乘积，利用夹角公式，可得答案.
【详解】
由題意，向量，满足，，
可得，所以，
又由，所以，
设向量与的夹角为，则．
故选：D.
4．答案：
A
解析：
【分析】
根据导数的几何意义结合函数的图象在点处的切线方程即可求得答案.
【详解】
由于函数的图象在点处的切线方程是，
故，，
故，
故选：A.
5．答案：
A
解析：
【分析】
先计算函数对称轴，结合函数开口方向分析可得该函数的递增区间，根据充分必要性辨析可得答案.
【详解】
对称为轴，
若，又开口向上，在上单调递增，
又，故在上单调递增成立；
若函数在上单调递增，
单调递减，不成立，
，则，得，
不能推出，
故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A.
6．答案：
C
解析：
【分析】
三角函数在区间上单调，可知在区间内不含对称轴，构建不等式即可求得的取值范围.
【详解】
因为，
令，可得对称轴方程，
∵函数在区间上是单调的，
∴,且，
∴ 即，
函数在区间上是不单调的，
所以，即，
又，
可得或，
故选：C.
7．答案：
C
解析：
【分析】
由等比数列的定义和性质知，结合可得.
【详解】
设数列公比为，
因数列各项均为正数，故，
则，
得
解得或（负值舍去）．
故选：C．
8．答案：
C
解析：
【分析】
根据梯形中位线定理，结合圆台体积公式进行求解即可.
【详解】
如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为，
所以平地降雪厚度的近似值为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．答案：
B、C
解析：
【分析】
对于A，将圆的方程化为标准方程，可求得圆的半径，从而可求得，对于B，求出直线方程，利用点到直线的距离公式求解，对于C，由圆的性质得，对于D，分别求出圆与轴相交所得的弦长和圆与轴相交所得的弦长，然后可求出其面积.
【详解】
对于A，变为，所以的坐标为，，故A错误；
对于B，直线过点，则，，所以到直线的距离为，故B正确；
对于C，因为圆的圆心为，半径为，所以，故C正确；
对于D，因为圆的圆心为，半径为，所以圆与轴相交所得的弦长为，圆与轴相交所得的弦长为，
所以圆与坐标轴相交所得的四点构成的四边形面积为，故D错误.
故选：BC.
10．答案：
B、D
解析：
【分析】
结合椭圆的定义、直线斜率、椭圆中三角形的面积等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】
依题意，
所以，A选项错误.
，，
，B选项正确.

，“” 中的等号成立的条件是，
所以不存在满足，C选项错误.
设，，
，
，D选项正确.
故选：BD.
11．答案：
B、C、D
解析：
【分析】
根据已知条件，结合二项分布的概率公式，以及期望与方差公式即可求解.
【详解】
随机变量，
则，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
因为，
所以，故D正确.
故选：BCD.
12．答案：
A、B、C、D
解析：
【分析】
根据指数函数，对数函数，幂函数的性质依次判断即可．
【详解】
对A，根据幂函数的性质，可知幂函数图象一定不过第四象限，故A对；
对B，函数，
令，可得，代入可得，图象过定点，故B对；
对C，令，定义域为，
因为，且的定义域关于原点对称，所以是奇函数，故C对；
对D，函数的零点可以看成函数与的交点问题，
易知两个函数图象有两个交点，即有两个零点，故D对；
故选：ABCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．答案：
解析：
【分析】
根据导数的定义可得答案．
【详解】
根据题意，由极限的性质可得，
又由函数在处的导数为，即，
故.
故答案为：.
14．答案：
解析：
【分析】
利用降幂公式化简函数，根据图象平移可得函数，利用整体思想，结合正弦函数的单调性，建立不等式组，可得答案.
【详解】
，
由题意，，
当时，由，则，
由在上单调，
则，可得不等式组，解得；
或，可得不等式组，解得，
由，解得，由，则，则.
综上，的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：
解析：
【分析】
采用赋值法，分别令，和，求的值.
【详解】
令，可得；
令，可得；
两式相加得，
令，可得，故.
故答案为：.
16．答案：
解析：
【分析】
分别求出球面与面、面、面、面的交线长，相加即可得出结果.
【详解】
如下图所示：
①因为正方形的边长为，所以，以顶点为球心，为半径的球与面的交线是以为圆心，半径为，且圆心角为的圆弧，其长度为；
②因为底面，且，
所以，以顶点为球心，为半径的球与面的交线是以点为圆心，半径为
，圆心角为的圆弧，其长度为；
③设以顶点为球心，为半径的球与棱的交点为点，
因为，，则，
所以，，从而可得，
故以顶点为球心，为半径的球与侧面的交线是以点为圆心，半径为，
且圆心角为的圆弧，其长度为；
④同③可知，以顶点为球心，为半径的球与侧面的交线是以点为圆心，半径为，且圆心角为的圆弧，其长度为.
因此，球面与直四棱柱的表面相交所得到的所有弧长之和等于.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）由首项，再结合条件，以及，即可求解；
（2）首先求数列的通项公式，代入，求通项，最后求得数列的前项和.
【详解】
（1）∵，∴.
，∴，，∴ ，；
（2）∵，∴当时，，
∴当时，，又也满足.
∴ ，
∴ ，
∴数列的前项和.
18．答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）先证线面垂直再得面面垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算即可.
【详解】
（1）设圆的半径为，
在中，，，，
故，又，故，
在中，由余弦定理得，
所以，即；
圆锥中，底面，底面，故，
又，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，，
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
有，即，解得，
设直线与平面所成角为，
则.

19．答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）根据条件，利用余弦的倍角公式和正弦定理进行化简，得到，即可求出结果；
（2）根据条件，先利用向量的运算得到，再利用余弦定理得到，再利用重要不等式即可求出结果.
【详解】
（1）由，得到，
即，由正弦定理可得，
又，所以，
化简整理得：，又，，
∴；
（2）因为，
所以，
又，所以，
∴.
又，所以
，
整理得，，即，
所以，
即，
又，当且仅当时，取等号，
所以，即，
所以，，故，得到，
即，即的最大值为.
20．答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）根据平均数的求法求得平均数.
（2）根据正态分布的对称性求得正确答案.
（3）根据分层抽样、条件概率知识求得正确答案.
【详解】
（1）由频率分布直方图可知，
平均分；
（2）由（1）可知
设学校期望的平均分约为，则，
因为，，
所以，即，
所以学校期望的平均分约为分；
（3）由频率分布直方图可知，分数在和的频率分别为和，
那么按照分层抽样，抽取人，其中分数在，应抽取人，
分数在应抽取人，
记事件：抽测的份试卷来自于不同区间；事件：出的试卷有份来自区间，
则，，
则．
所以抽测份试卷有份来自区间的概率为.
21．答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）求导，利用导数的几何意义求得斜率，然后用点斜式求得直线方程；
（2）令，转化为，恒成立，构造函数利用导数结合单调性和最值可得答案.
【详解】
（1），当时，
，，
，，
所以时，函数的图象在处的切线方程为：；
（2）恒成立，
令，，
恒成立，
即为，恒成立，
，
令，恒过，
（ⅰ）若，即，，，
∴，在上单调递增，恒成立.
（ⅱ）设抛物线与轴的两个交点分别为，且，
当，即时，，，
则，在上单调递减，
此时，不满足恒成立，
综上可知：的取值范围为.
22．答案：
见解析
解析：
【分析】
（1）根据，，得到，再由求解；
（2）当直线与轴垂直，容易判断；当直线与轴不垂直，设直线的方程是，与椭圆的方程联立，根据以为直径的圆过点，由，即结合韦达定理求解.
【详解】
（1）因为，
所以椭圆的左焦点的坐标是，
所以解得
所以椭圆的方程为.
（2）若直线与轴垂直，则直线与椭圆的交点的坐标分别是，，
以为直径的圆显然过点，此时直线的方程是；
若直线与轴不垂直，设直线的方程是，
与椭圆的方程联立，消去并整理，得.
设，，则，
，，
.
因为以为直径的圆过点，
所以，即，，
所以，，
，解得.
显然满足，
所以直线与轴不垂直时，直线的方程是，即.
综上所述，当以为直径的圆经过点时，直线的方程是或.