9.2.3向量的数量积 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
第9章 平面向量
9.2.3 向量的数量积
1.掌握向量的数量积的定义；
2. 掌握数量积运算的运算律，会进行向量的数量积运算；
3. 掌握向量的数量积的性质；
4. 理解投影，投影向量以及投影数量.
学习目标
前面我们学习了向量的线性运算：加法、减法和数乘，它们运算的结果还是一个向量 .
新课引入
那么，向量与 向量能否“相乘”呢 ？
1. 如图，一个物体在力 的作用下产生位移 ，且力 与位移
的夹角为 ，那么力 所做的功 是多少？
实例分析
2. 功是一个标量,它由力和位移两个向量所确定,数学上，我
们把“功”称为向量 与 的“数量积”.一般地，对于非零
向量 与 的数量积是指什么？
实例分析
平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，我们把数量
叫做 与 的数量积（或内积），记作 ，即 .
新知
说明：
规定：零向量与任意向量的数量积为0.
（1）
（2） 中间的“·”在向量的运算中不能省略，也不
能写成 .
新知
问题1：向量的数量积运算与向量的数乘运算的结果有什么不同？
向量的数乘运算的结果是向量；
问题2：影响数量积大小的因素有哪些？
这个数值的大小不仅和向量的模有关，还和它们的夹角有关.
夹角 的范围
正
负
0
数量积符号由 的符号所决定.
两向量的数量积是一个实数，是一个数量.
新知
(判断两向量垂直的依据).
向量数量积的性质：
设 ， 是非零向量，它们的夹角是 ， 是与 方向相同的单位向量，则
(1)
(2)
(3) ，即
(4)
新知
(5)
投影向量：
新知
设 ， 是非零向量，如图所示， 表示 ， 表示 ，过点A作 所在直线的垂线，垂足为A1 ，我们将上述由 得到 的变换称为 向 投影，向量 称为 在 上的投影向量 .
A
A1
B
o
o
A
A1
B
投影向量：
新知
A
A1
B
o
o
A
A1
B
从上图可得： .
因此，向量 和 的数量积就是 在 上的投影向量与 的数量积 .
向量数量积运算律：
思考： 一定成立吗？为什么？
新知
例1. 已知 ， ， 与 的夹角 ，求 .
解：
例题
例2.设 ， ， ，求 与 的夹角
解： 由 ，得
因为 ，所以
例题
练习：已知 ， ， 与 的夹角 ，求
解：
练习
例3.已知 ， ，且 与 不共线，当k为何值时，向量
与 互相垂直？
解： 与 互相垂直的充要条件是
即
所以
解得
例题
课堂小结
1.平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，我们把数量
叫做 与 的数量积（或内积），记作 ，即 .
2.向量数量积运算律：
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