2023-2024学年苏科版七年级数学上册3.2 代数式 课后习题（含解析）

3.2 代数式（课后习题）-苏科版七年级上册
一．选择题
．原来花100元能购买某种糖果m千克，由于成本上涨，糖果涨价10%，那么涨价后花100元能买到糖果（　　）
A．千克 B．千克 C．千克 D．千克
．观察下列树枝分叉的规律图，若第n个图树枝数用Yn表示，则Y9﹣Y4＝（　　）
A．55个 B．65个 C．75个 D．496个
．单项式﹣2x2yz3的系数、次数分别是（　　）
A．2，5 B．﹣2，5 C．2，6 D．﹣2，6
．已知a1，a2，a3，…，a2022均为负数，M＝（ a1+a2+a3+…+a2021）（ a2+a3+…+a2022），N＝（ a1+a2+a3+…+a2022）（ a2+a3+…+a2021），则M与N的大小关系是（　　）
A．M＝N B．M＞N C．M＜N D．无法确定
．观察下列一行数2，1，﹣4，1，8，1，﹣16，1，…，则第16个数与第17个数的和为（　　）
A．1+28 B．1﹣28 C．1+29 D．1﹣29
．某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（　　）
A．||＝320 B．||＝320
C．|10x﹣19y|＝320 D．|19x﹣10y|＝320
．按一定规律排列的单项式：ay，2ay3，4ay5，8ay7，16ay9，…．则第n个单项式是（　　）
A．2nay2n﹣1 B．2n﹣1ay2n﹣1 C．2n﹣1y2n﹣1 D．2n﹣1ay2n+1
．某购物广场今年三月份的销售额为m万元，二月份比一月份减少20%，三月份比二月份增加20%，则一月份的销售额为（　　）
A．0.96m万元 B．1.44m万元 C．万元 D．万元
．某企业去年的年产值为42亿元，预计今年比去年增长x，假设明年的增长率与今年相同，则明年的年产值可表示为（　　）亿元
A．84x B．42（1+2x） C．42（1+x）2 D．42（1+x）
．贵阳市“一圈两场三改”落地，幸福生活近在咫尺．周末，小高同学从家出发步行15min到达附近学校的运动场锻炼，较之前步行去城市运动中心少走了25min．已知小高同学步行的速度为每分钟am，则“一圈两场三改”后，小高同学少走的路程是（　　）
A．am B．10am C．15am D．25am
二．填空题
．下面是按一定规律排列的一列数：2，5，10，17……，则第n个数是 　 　．
．如图，将正整数按此规律排列成数表，则表中第64行（由上至下计）第7个（由左至右计）的数是 　 　．
．如图，把7个长和宽分别为a，b的小长方形（图1），拼接在一起构成如图2所示的长方形ABCD，则图中阴影部分的面积为 　 　．（用含有a，b的代数式表示）
．如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，可求得c等于3，那么a的值为 　 　，第2022个格子中的数为 　 　．
．探索规律：1×2×3×4+1＝52，2×3×4×5+1＝112，3×4×5×6+1＝192…．请运用你发现的规律解决问题：若5×6×7×8+1＝a2，则a2＝　 　．
三．解答题
．著名数学教育家G 波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先观察下列等式找出规律，并解答问题．
①13＝12；
②13+23＝32；
③13+23+33＝62；
④13+23+33+43＝102；
（1）等式⑤是 　 　．
（2）应用规律探究：63+73+83+93+103的值．
．观察图：
下列每一幅图都是由一些单位长度均为1的黑方格和白方格按一定的规律组成（下面所有方格均指的单位为1的小方格）．
（1）根据规律，第4个图中共有 　 　个方格，其中黑方格 　 　个．
（2）第n个图形中，白方格共有 　 　个．（用n表示，n为正整数）
（3）有没有可能黑方格比白方格恰好少2022个，如果有，求出是第几个图形；如果没有，请说明理由．
．如图所示的是由大小相同的线段组成的一系列图案，第1个图案由6条线段组成，第2个图案由9条线段组成，…，按此规律排列下去．
（1）①第7个图案由 　 　条线段组成，第8个图案由 　 　条线段组成；
②第2022个图案由 　 　条线段组成．
（2）若第n个图案由258条线段组成，求n的值．
．我国著名数学家陈省声说：“数学好玩”．请观察下列等式：
①0×1×2×3+1＝12
②1×2×3×4+1＝52
③2×3×4×5+1＝112
④3×4×5×6+1＝192
…
（1）请你写出第5个等式；
（2）小惠通过观察猜想：任意四个连续自然数的积与1的和都可以表示成一个自然数的平方．设第一个自然数为n，请你用只含n的等式表示这个猜想，并验证此猜想的正确性；
（3）若100×101×102×103＝a（a+2）（其中a为自然数），请求出a的值．
．如图，图①是长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，沿图中虚线（对称轴）剪开，用得到的四个全等的小长方形，拼成如图②所示的大正方形（无重叠无缝隙），设图②中小正方形（阴影部分）面积为S．
（1）用两种不同方法求S；（用含a、b的代数式表示）
（2）请直接写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab这三个代数式之间的数量关系；
（3）利用（2）中结论，完成下列计算：
①已知x+y＝﹣19，xy＝70，求（x﹣y）2的值；
②若（3x﹣2y）2＝5，（3x+2y）2＝9，求xy的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
．【解答】解：依题意有：
100÷[×（1+10%）]
＝100÷
＝100×
＝m（千克）．
故选：A．
．【解答】解：第n个图形树枝数为Y，Y随n的变化而变化，
当n＝1时，Y＝21﹣1＝1，
当n＝2时，Y＝22﹣1＝3，
当n＝3时，Y＝23﹣1＝7，
当n＝4时，Y＝24﹣1＝15，
所以第n个图形中树枝的个数Y＝2n﹣1，
Y9﹣Y4＝29﹣1﹣（24﹣1）＝496．
故选：D．
．【解答】解：单项式﹣2x2yz3的系数是﹣2，次数是2+1+3＝6，
故选：D．
．【解答】解：令t＝a1+a2+a3+…+a2022，
∴M＝（t﹣a2022）（t﹣a1）＝t2﹣t（a2022+a1）+a2022 a1，
N＝t（t﹣a2022﹣a1）＝t2﹣t（a2022+a1），
∵a1，a2022为负数，
∴a2022 a1＞0，
∴M＞N，
故选：B．
．【解答】解：∵2，1，﹣4，1，8，1，﹣16，1，…，
∴偶数位置上的数是1，奇数位置上的数是2，﹣4，8，﹣16，…，
∴第16个数是1，第17个数是29，
∴第16个数与第17个数的和为1+29，
故选：C．
．【解答】解：由题意可得：|10x﹣19y|＝320．
故选：C．
．【解答】解：∵ay，2ay3，4ay5，8ay7，16ay9，…，
∴系数的规律是2n﹣1a，y的指数的规律是2n﹣1，
∴第n个单项式是2n﹣1ay2n﹣1，
故选：B．
．【解答】解：设一月份的销售额为x万元，由题意可得，
x（1﹣20%）（1+20%）＝m，
解得，x＝，
即一月份的销售额为万元．
故选：C．
．【解答】解：明年的年产值为：42（1+x）2亿元．
故选：C．
．【解答】解：由题意得：小高同学少走的路程为：25am，
故选：D．
二．填空题
．【解答】解：∵第1个数为：2＝12+1，
第2个数为：5＝22+1，
第3个数为：10＝32+1，
…，
∴第n个数为：n2+1，
故答案为：n2+1．
．【解答】解：由题可知，每行最后一个数字分别是1，3，6，10，…，
∴第n行最后一个数字是1+2+3+…+n＝，
∴第63行的最后一个数字是2016，
∴第64行第一个数是2017，
∴第64行第7个是2023，
故答案为：2023．
．【解答】解：根据题意知，AB＝a+b，BC＝a+2b．
阴影部分的面积＝（a+2b）（a+b）﹣7ab＝a2﹣4ab+2b2．
故答案为：a2﹣4ab+2b2．
．【解答】解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴3+a+b＝a+b+c，a+b+c＝b+c+（﹣1），
∴c＝3，a＝﹣1，
∴表格中数字的规律为：3，﹣1，b的循环，
∴b＝2，
∵2022÷3＝674，
∴第2022个格子的数为2，
故答案为：﹣1，2．
．【解答】解：∵1×2×3×4+1＝52，2×3×4×5+1＝112，3×4×5×6+1＝192…，
∴5×6×7×8+1＝（5×8+1）2＝412＝1681，
故答案为：1681．
三．解答题
．【解答】解：（1）∵①13＝12；②13+23＝32；③13+23+33＝62；④13+23+33+43＝102；
∴⑤13+23+33+43+53＝152；
故答案为：13+23+33+43+53＝152；
（2）由题意可得13+23+33+43+53+63+73+83+93+103＝552，
∵13+23+33+43+53＝152，
∴63+73+83+93+103
＝（13+23+33+43+53+63+73+83+93+103）﹣（13+23+33+43+53）
＝552﹣152
＝70×40
＝2800．
．【解答】解：（1）∵第1个图中共有15＝5+10×1个方格，其中黑方格3＝3×1块，
第2个图中共有25＝5+10×2个方格，其中黑方格6＝3×2块，
第3个图中共有35＝5+10×3个方格，其中黑方格9＝3×3块，
……，
∴第n个图中共有5+10n个方格，其中黑方格3n块，
∴第4个图中共有5+10×4＝45个方格，其中黑方格3×4＝12块，
故答案为：45，12；
（2）∵第1个图形中白方格个数共有：12＝5（1+2×1）﹣3×1，
第2个图形中白方格个数共有：19＝5（1+2×2）﹣3×2，
第3个图形中白方格个数共有：26＝5（1+2×3）﹣3×3，
……，
∴第n个图形中白方格个数共有：5（1+2n）﹣3n＝7n+5，
故答案为：（7n+5）；
（3）没有可能黑方格比白方格恰好少2022个，
设第n个图形黑方格比白方格恰好少2022个，
得3n+2022＝7n+5，
解得n＝504.25，
不符合实际，
∴没有可能黑方格比白方格恰好少2022个．
．【解答】解：（1）根据题图可以得出：
第1个图案由6条线段组成，
第2个图案由9条线段组成，
第3个图案由13条线段组成，
第4个图案由16条线段组成，
……，
依次类推，第n个图案比第（n﹣2）个图案多7条线段，
∴奇数个图案的线段条数为1+5+7（n 1）×，
偶数个图案的线段条数为1+8+7（n 2）×，
∴①第7个图案的线段条数为1+5+7×6×＝27，
第7个图案的线段条数为1+8+7×6×＝30，
故答案为：27，30；
②第2022个图案的线段条数为1+8+7×2020×＝7079，
故答案为：7079；
（2）当n是奇数时，1+5+7（n 1）×＝258，
解得：n＝73；
当n是偶数时，1+8+7（n 2）×＝258，
解得：n＝（不符合题意）．
．【解答】解：（1）第5个等式是：4×5×6×7+1＝292；
（2）第n个式子为：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝（n2+3n+1）2，
∵左边＝[n（n+3）][（n+1）（n+2）]+1＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1＝n4+6n3+11n2+6n+1，
右边＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1＝n4+6n3+11n2+6n+1，
∴左边＝右边，
∴此猜想正确；
（3）∵100×101×102×103+1＝103012，
∴100×101×102×103＝103012﹣1＝10300×10302，
∴a（a+2）＝10300×10302，
∴a＝10300．
．【解答】（1）方法①：（a﹣b）2；
方法②：（a+b）2﹣4ab；
故答案为：（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab；
（2）图乙中阴影正方形的面积还可以表示为：（a+b）2﹣4ab．
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（3）①∵x+y＝﹣19，xy＝70，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝（x+y）2﹣4xy＝（﹣19）2﹣4×70＝81；
②由题意得，（3x+2y）2﹣（3x﹣2y）2＝4，化简得：6x 4y＝4，∴xy＝6．