2023—2024学年北师大版数学七年级上册4.4角的比较 素养基础达标 （含解析）

4.4角的比较【素养基础达标】
2023-2024学年北师大版数学七年级上册
基础知识梳理
4角的概念
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角．
（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
（5）比较角的大小有两种方法：
①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．
②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．
5角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
6方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．如图所示，正方形网格中有和，如果每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为　　
A． B． C． D．无法估测
2．如图，是一直角，，平分，则等于　　
A． B． C． D．
3．，，平分，平分，则　　
A． B． C．或 D．或
4．如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
5．如图，是直线上一点，为一条射线，射线平分，若，则等于　　
A． B． C． D．
6．如图，在正方形网格中有和，则和的大小关系是　　
A． B． C． D．无法确定
7．如图，，平分且，则的度数为　　
A． B． C． D．
8．已知，分别以，为始边，在的外部作，，则的度数是　　
A． B． C． D．
9．如图，点为直线上一点，平分，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
10．如图，用三角板比较与的大小，其中正确的是　　
A． B．
C． D．没有量角器，无法确定
二．填空题（共8小题）
11．已知平分，若，则　　．
12．已知，，则　　．（填“”，“ ”，或“”
13．如图，将正方形的一角折叠，折痕为，比大．则的度数为 　　．
14．计算：　　．
15．如图，点是直线上一点，已知平分，若，则的度数是 　　．
16．如图所示，在矩形纸片中，点为边的中点，将纸片沿，折叠，使点落在处，点落在处．若，则的度数为　　．
17．如图，，，平分，则　　．
18．如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），给出以下结论：
①；
②；
③；
④
其中不正确的是 　　．（写出序号）
三．解答题（共8小题）
19．已知，为直线上的一点，，射线在的内部，且平分．
（1）如图1，当，在直线上方时，若，求和的度数；
（2）图1中，若，直接写出的度数（用含的式子表示）；
（3）如图2，当，在直线的上方和下方时，经探究，小王得到的结论是：，他的结论是否正确，请说明理由．
20．如图，在直线上，是的平分线，在内．
（1）若是的平分线，则有，试说明理由；
（2）若，，求的度数．
21．在同一平面内，，，，，求的度数．
22．阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，，平分，若，请你补全图形，并求的度数．
小明做题时画出了如图2的图形，小静说“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是在外部的情况，事实上，还可能在的内部”．
请你完成以下问题：
（1）写出小明的解答过程；
（2）根据小静的想法，在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出此时的度数．
23．如图，，，，平分，求的度数．
24．数学李老师给课代表布置一道题让同学们做：
（1）、、、四个点在一条直线上，其中点是线段的中点，点在线段上，且满，若，求的长．
（2）粗心的课代表在板上抄题的时候把“点在线段上”这个条件忘记抄了，则此时为 　　．
（3）李师讲完上边的问题后出了一道题：是的平分线，从点引出一条射线、使，若，则　　．
25．如图，长方形纸片，点，分别在边，上，连接，将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．
（1）求的度数；
（2）若恰好平分，求的度数．
26．将一副三角板中的含有角的三角板的顶点和另一块的角的顶点重合于一点，绕着点旋转的三角板，拼成如图的情况在内部），请回答问题：
（1）如图1放置，将含有角的一边与角的一边重合，求出此时的度数．
（2）绕着点，转动三角板，恰好是平分，此时的度数应该是多少？
（3）是否存在这种情况，的度数恰好等于度数的3倍．如果存在，请求出的度数，如果不存在请说明理由．
4.4角的比较【素养基础达标】
2023-2024学年北师大版数学七年级上册
基础知识梳理
4角的概念
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角．
（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
（5）比较角的大小有两种方法：
①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．
②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．
5角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
6方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．如图所示，正方形网格中有和，如果每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为　　
A． B． C． D．无法估测
【答案】
【分析】根据长方形的性质作，然后根据得出结论即可．
【解答】解：如图作，
，
即，
故选：．
2．如图，是一直角，，平分，则等于　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由是一直角，，可知，又知平分，故可知的度数．
【解答】解：是一直角，，
，
平分，
，
，
．
故选：．
3．，，平分，平分，则　　
A． B． C．或 D．或
【分析】此题要分两种情况①在内部，②①在外部．
【解答】解：如图1，
，
，
，
，
；
如图2，，
，
，
，
．
故选：．
4．如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据角平分线定义和平角定义计算即可．
【解答】解：，分别平分和，
，，
．
故选：．
5．如图，是直线上一点，为一条射线，射线平分，若，则等于　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先由平角及已知角，求出，由角平分线的定义可求出，由即可求出结果．
【解答】解：，
，
射线平分，
，
，
故选：．
6．如图，在正方形网格中有和，则和的大小关系是　　
A． B． C． D．无法确定
【答案】
【分析】将两个角叠合在一起，通过观察比较，即可得出答案．
【解答】解：使和顶点和一边重合，
，
由图直观可得，
故选：．
7．如图，，平分且，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先利用角平分线的定义得到，然后计算即可．
【解答】解：平分且，
，
又，
，
故选：．
8．已知，分别以，为始边，在的外部作，，则的度数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由题知，，再进行角的计算即可．
【解答】解：由题知，，
．
故选：．
9．如图，点为直线上一点，平分，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由平分，可知，由，，，可得，根据，计算求解即可．
【解答】解：平分，
，
，，，
，
，
，
故选：．
10．如图，用三角板比较与的大小，其中正确的是　　
A． B．
C． D．没有量角器，无法确定
【答案】
【分析】依据，，即可得出与的大小关系．
【解答】解：由图可得，，，
，
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．已知平分，若，则　　．
【分析】根据角平分线定义即可求解．
【解答】解：平分，
，
，
．
故答案为．
12．已知，，则　　．（填“”，“ ”，或“”
【答案】
【分析】根据度分秒之间的换算关系，先把的度数转换成分的形式，再根据角的大小比较的法则进行比较，即可得出答案．
【解答】解：，
，
故答案为：．
13．如图，将正方形的一角折叠，折痕为，比大．则的度数为 　　．
【答案】．
【分析】设和的度数分别为，，根据将正方形的一角折叠，折痕为，比大可列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设和的度数分别为和，
根据正方形和折叠的性质可得：，
解得，
故答案为：．
14．计算：　　．
【答案】．
【分析】根据度分秒的换算计算即可．
【解答】解：，
故答案为：．
15．如图，点是直线上一点，已知平分，若，则的度数是 　40　．
【答案】40．
【分析】先求出，再根据角平分线的定义求出，进而可求出的度数．
【解答】解：，
．
平分，
，
．
故答案为：40．
16．如图所示，在矩形纸片中，点为边的中点，将纸片沿，折叠，使点落在处，点落在处．若，则的度数为　　．
【分析】根据，得，根据折叠的性质，得，，从而求解．
【解答】解：由折叠，可知，．
因为，所以，
所以的度数为．
故答案为：
17．如图，，，平分，则　　．
【答案】．
【分析】由图可知，根据已知可求出，再根据角平分线的性质可求出．
【解答】解：，，
，
平分，
．
故答案为：．
18．如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），给出以下结论：
①；
②；
③；
④
其中不正确的是 　①③④　．（写出序号）
【答案】①③④．
【分析】根据题意可先得到，设这两个角为，利用的代数式表示其他角，即可判断结论的正确性．
【解答】解：由题可知：，
，即，
④错误．
设，
，，
，，
①③错误，②正确．
故答案为：①③④．
三．解答题（共8小题）
19．已知，为直线上的一点，，射线在的内部，且平分．
（1）如图1，当，在直线上方时，若，求和的度数；
（2）图1中，若，直接写出的度数（用含的式子表示）；
（3）如图2，当，在直线的上方和下方时，经探究，小王得到的结论是：，他的结论是否正确，请说明理由．
【答案】（1）；；
（2）；
（3）正确，详见解析．
【分析】（1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；
（3）设，则，根据角平分线的定义得到，根据余角的性质得到，即可得出结论．
【解答】解：（1）由已知得，
，
，平分，
；
（2）由已知得，
，平分，
；
（3）设，则，平分，
，，
，
，
即．
20．如图，在直线上，是的平分线，在内．
（1）若是的平分线，则有，试说明理由；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据角平分线的定义可以求得；
（2）设度，度，把角用未知数表示出来，建立的方程，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．
【解答】解：（1）是的平分线，是的平分线，
，，
；
（2）设，则，
则，
，
，
解得，
故．
21．在同一平面内，，，，，求的度数．
【答案】或或．
【分析】分当在外部，在内部时，当在外部，在外部时，当在内部，在外部时，三种情况画出图形求解即可．
【解答】解：如图1所示，当在外部，在内部时，
，，
，
，
；
如图2所示，当在外部，在外部时，
，，
，
，
；
如图3所示，当在内部，在外部时，
，，
，
，
；
综上所述，的度数为或或．
22．阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，，平分，若，请你补全图形，并求的度数．
小明做题时画出了如图2的图形，小静说“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是在外部的情况，事实上，还可能在的内部”．
请你完成以下问题：
（1）写出小明的解答过程；
（2）根据小静的想法，在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出此时的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）图见解析，．
【分析】（1）根据角的平分线定义求出，再根据角的和差即可求解；
（2）画出另一种情况对应的图形，根据角的平分线定义求出，再根据角的和差即可求解．
【解答】解：（1）因为平分，，
，
，
；
（2）如图，
平分，，
，
，
．
23．如图，，，，平分，求的度数．
【答案】．
【分析】首先根据角的和差关系算出的度数，再根据角平分线的性质可得，进而得到答案．
【解答】解：，，，
，
平分，
．
24．数学李老师给课代表布置一道题让同学们做：
（1）、、、四个点在一条直线上，其中点是线段的中点，点在线段上，且满，若，求的长．
（2）粗心的课代表在板上抄题的时候把“点在线段上”这个条件忘记抄了，则此时为 　12　．
（3）李师讲完上边的问题后出了一道题：是的平分线，从点引出一条射线、使，若，则　　．
【答案】（1）12；（2）12；（3）．
【分析】（1）（2）由线段中点定义，得到，即可求出的长；
（3）由角平分线定义，得到，即可求出的度数．
【解答】解：（1）如图：
，
，
点是线段的中点，
；
（2）、、、四个点在一条直线上，，
只能是的中点，
（2）和（1）的图一样，
，
故答案为：12；
（3）如图；
，
，
平分，
．
故答案为：．
25．如图，长方形纸片，点，分别在边，上，连接，将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．
（1）求的度数；
（2）若恰好平分，求的度数．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据折叠得出，根据，，即可得出，从而得出结果；
（2）根据恰好平分，得出，根据折叠得出，即可得出，求出，即可得出结果．
【解答】解：（1）根据折叠可知，，，
，
，
即．
（2）恰好平分，
，
根据折叠可知，，
，
，
，
．
26．将一副三角板中的含有角的三角板的顶点和另一块的角的顶点重合于一点，绕着点旋转的三角板，拼成如图的情况在内部），请回答问题：
（1）如图1放置，将含有角的一边与角的一边重合，求出此时的度数．
（2）绕着点，转动三角板，恰好是平分，此时的度数应该是多少？
（3）是否存在这种情况，的度数恰好等于度数的3倍．如果存在，请求出的度数，如果不存在请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到，于是得到结论；
（3）设，然后表示出和，再列出方程求解即可．
【解答】解：（1）由三角板知，，，
；
（2）平分，
，
；
（3）设，
则，
，
，
，
解得，
此时，．