2023-2024学年北师大版数学七年级上册4.5多边形和圆的初步认识 素养基础达标 （含解析）

4.5多边形和圆的初步认识【素养基础达标】
2023-2024学年北师大版数学七年级上册
基础知识梳理
7多边形
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
8圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念：连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．如图，的半径为2，，则图中阴影部分的面积为　　
A． B． C． D．
2．如图，在中，若，，则扇形（阴影部分）的面积是　　
A． B． C． D．
3．若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积为　　
A． B． C． D．
4．下列是正多边形的是　　
A．六条边都相等的六边形 B．四个角都是直角的四边形
C．四条边都相等的四边形 D．三条边都相等的三角形
5．一个六边形共有条对角线，则的值为　　
A．7 B．8 C．9 D．10
6．下列说法中，正确的是　　
A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是圆中最长的弦
C．相等长度的两条弧是等弧 D．顶点在圆上的角是圆周角
7．从正多边形一个顶点出发共有7条对角线，则这个正多边形每个外角的度数为　　
A． B． C． D．
8．如图，将一把折扇打开后，小东测量出，，，那么由，及线段，线段所围成的扇面的面积约是　　
A． B． C． D．
9．四条边都相等的四边形是　　
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形
10．如图，现有一把折扇和一把圆扇．已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为，则两把扇子扇面面积较大的是　　
A．折扇 B．圆扇 C．一样大 D．无法判断
二．填空题（共8小题）
11．如果从六边形的某一个顶点出发连接其它不相邻的顶点，最多能将一个六边形分成 　　个三角形．
12．从七边形的一个顶点出发的对角线有 　　条．
13．若扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的面积为 　　．
14．四边形的一条对角线将四边形分成 　　个三角形．
15．我们知道，三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么边形有 　　条对角线．
16．我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律：①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，，请你计算凸十边形对角线的总条数是 　　．
17．若从一个多边形一个顶点出发，最多可以引12条对角线，则它的边数为 　　．
18．从九边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将九边形分成个三角形．则的值为 　　．
三．解答题（共8小题）
19．已知的半径为，扇形的面积为，圆心角是多少度？
20．过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分该多边形所得三角形的个数的和为21，求这个多边形的边数．
21．如图，在一个多边形内任意取一点，分别连接这一点与各顶点．
（1）数一数，每一个多边形各被分成了多少个三角形？
（2）总结一下，三角形的个数与多边形的边数有怎样的关系？
22．要在半径长为1米、圆心角为的扇形铁皮（如图）上截取一块面积尽可能大的正方形，请你设计一个截取方案（画出示意图），并计算这个正方形铁皮的面积（精确到．
23．（1）三条边相等的三角形是正多边形吗？
（2）四条边相等的四边形是正多边形吗？四个角相等的四边形是正多边形吗？请画图说明理由．
24．如图，已知一长为，宽为的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成角，求点走过的路程的长及走过的弧度所在扇形的总面积．
25．如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角
形．
（1）根据以上多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割三角形的个数是　　；
（2）若已知一个多边形，按以上方法可分割成120个小三角形，则多边形的边数　　．
26．如图，半径为2的圆被分成甲、乙、丙三个扇形，它们的面积之比为．请回答下列问题：
（1）扇形甲的圆心角度数为 　　；
（2）剪下扇形丙恰好能围成一个几何体，求这个几何体的表面积（含底面）．
4.5多边形和圆的初步认识【素养基础达标】
2023-2024学年北师大版数学七年级上册
基础知识梳理
7多边形
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
8圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念：连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．如图，的半径为2，，则图中阴影部分的面积为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：，，
，
故选：．
2．如图，在中，若，，则扇形（阴影部分）的面积是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先由圆周角定理可得的度数，然后再根据扇形的面积公式计算可得结果．
【解答】解：，
，
，
故选：．
3．若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：扇形的半径为6，圆心角为，
扇形的面积是：．
故选：．
4．下列是正多边形的是　　
A．六条边都相等的六边形 B．四个角都是直角的四边形
C．四条边都相等的四边形 D．三条边都相等的三角形
【答案】
【分析】正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形．要满足两个条件：角都相等，边都相等．
【解答】解：根据正多边形的概念，各条边都相等，各个角都相等的多边形是正多边形，所以选项是正确的．
选项只满足了四个角都是直角的四边形，而四条边不一定相等，有可能是矩形，不满足条件．
选项和只满足了各条边相等．而角不一定，所以不正确．
故答案选：．
5．一个六边形共有条对角线，则的值为　　
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】直接运用多边形的边数与对角线的条数的关系式求解．
【解答】解：六边形的对角线的条数．
故选：．
6．下列说法中，正确的是　　
A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是圆中最长的弦
C．相等长度的两条弧是等弧 D．顶点在圆上的角是圆周角
【答案】
【分析】根据直径，弦，等弧，圆周角的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：、过圆心的弦是圆的直径，故不符合题意；
、直径是圆中最长的弦，故符合题意；
、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，故不符合题意；
、顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角是圆周角，故不符合题意；
故选：．
7．从正多边形一个顶点出发共有7条对角线，则这个正多边形每个外角的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先由边形从一个顶点出发可引出条对角线，可求出多边形的边数，再根据正多边形的每个外角相等且外角和为解答即可．
【解答】解：经过多边形的一个顶点有7条对角线，
这个多边形有条边，
此正多边形的每个外角度数为，
故选：．
8．如图，将一把折扇打开后，小东测量出，，，那么由，及线段，线段所围成的扇面的面积约是　　
A． B． C． D．
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：由，及线段，线段所围成的扇面的面积
，
故选：．
9．四条边都相等的四边形是　　
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形
【答案】
【分析】根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：四条边都相等的四边形是菱形．
故选：．
10．如图，现有一把折扇和一把圆扇．已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为，则两把扇子扇面面积较大的是　　
A．折扇 B．圆扇 C．一样大 D．无法判断
【答案】
【分析】折扇扇面的面积等于两个扇形的面积之差，利用扇形的面积公式即可得到折扇的面积，而圆扇的面积即为圆的面积，然后比较它们的面积大小即可判断．
【解答】解：折扇的面积，
团扇的面积，
折扇的面积大于圆扇的面积．
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．如果从六边形的某一个顶点出发连接其它不相邻的顶点，最多能将一个六边形分成 　4　个三角形．
【答案】4．
【分析】从边形的一个顶点出发有条对角线，共分成了个三角形．
【解答】解：当时，．即可以把这个六边形分成了4个三角形，
故答案为：4．
12．从七边形的一个顶点出发的对角线有 　4　条．
【答案】4．
【分析】根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，可知边形从一个顶点出发可引出条对角线，据此求解即可．
【解答】解：边形从一个顶点出发可以引条对角线，
从七边形的一个顶点出发可以画出条对角线．
故答案为：4．
13．若扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的面积为 　　．
【答案】．
【分析】应用扇形的面积计算公式进行求解即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
．
故答案为：．
14．四边形的一条对角线将四边形分成 　2　个三角形．
【答案】2．
【分析】边形从一个顶点出发可引出条对角线，把边形分成个三角形，据此作答．
【解答】解：四边形的一条对角线将四边形分成2个三角形．
故答案为：2．
15．我们知道，三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么边形有 　　条对角线．
【答案】．
【分析】由于边形从一个顶点出发可画条对角线，所以边形共有条对角线，根据以上关系直接计算即可．
【解答】解：三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，
边形有条对角线．
故答案为：．
16．我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律：①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，，请你计算凸十边形对角线的总条数是 　35条　．
【答案】35条．
【分析】根据题意可得求边形对角线的公式，然后代入计算即可．
【解答】解：设多边形的边数为，
由题意可得其对角线条数为：，
当时，
，
即凸十边形对角线的总条数是35条，
故答案为：35条．
17．若从一个多边形一个顶点出发，最多可以引12条对角线，则它的边数为 　15　．
【答案】15．
【分析】根据多边形的对角线的定义可知，从边形的一个顶点出发，可以引条对角线，由此可得到答案．
【解答】解：设这个多边形是边形．
依题意，得，
．
故答案为：15．
18．从九边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将九边形分成个三角形．则的值为 　13　．
【答案】13．
【分析】从一个边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是，分成的三角形数是，依此求出、的值，再代入计算即可求解．
【解答】解：对角线的数量（条；
分成的三角形的数量为（个；
．
故答案为：13．
三．解答题（共8小题）
19．已知的半径为，扇形的面积为，圆心角是多少度？
【分析】根据扇形的面积公式，得，代入数据计算即可．
【解答】解：设，
的半径为，扇形的面积为，
，
解得：，
是．
20．过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分该多边形所得三角形的个数的和为21，求这个多边形的边数．
【分析】设这个多边形为边形，则有条对角线，所分得的三角形个数为，结合该多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分该多边形所得三角形的个数的和为21，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这个多边形为边形，则有条对角线，所分得的三角形个数为，
，
解得：．
答：该多边形的边数有13条．
21．如图，在一个多边形内任意取一点，分别连接这一点与各顶点．
（1）数一数，每一个多边形各被分成了多少个三角形？
（2）总结一下，三角形的个数与多边形的边数有怎样的关系？
【答案】
【分析】（1）根据图形数出被分成的三角形的个数即可；
（2）根据（1）中三角形的个数可得答案．
【解答】解：（1）在四边形内任意取一点，分别连接这一点与各顶点可得4个三角形，
在五边形内任意取一点，分别连接这一点与各顶点可得5个三角形；
在六边形内任意取一点，分别连接这一点与各顶点可得6个三角形；
（2）在一个多边形内任意取一点，分别连接这一点与各顶点，所得三角形的个数与多边形的边数相等．
22．要在半径长为1米、圆心角为的扇形铁皮（如图）上截取一块面积尽可能大的正方形，请你设计一个截取方案（画出示意图），并计算这个正方形铁皮的面积（精确到．
【分析】根据题意画出图形，分别连接和过作，交于点，连接，构造直角三角形求得正方形的边长，求得正方形的面积后比较即可．由于正方形内接于扇形，故应分两种情况进行讨论．
【解答】解：有如下两种截取方式，
方案一：如图1
连接，设正方形的边长为，
圆心角为，
，
则在中，
，即，
解得，
；
方案二：如图2所示，
过作，交于点，连接，
设，
四边形是正方形，
，
，
，为中点，
，
，
在中，
，即，
解得，
，
第（一种方案截取的正方形的面积最大．
23．（1）三条边相等的三角形是正多边形吗？
（2）四条边相等的四边形是正多边形吗？四个角相等的四边形是正多边形吗？请画图说明理由．
【答案】（1）是正多边形；
（2）不是正多边形．
【分析】（1）三边相等，根据等边对顶角可得三角形的三个内角为，根据正多边形的概念解答即可；
（2）各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，根据正多边形的概念解答即可．
【解答】解：（1）三条边相等的三角形是正多边形，
三角形的三边相等，
三角形的三个内角相等，
三条边相等的三角形是正多边形；
（2）四条边相等的四边形不是正多边形，
如图，四边形是菱形，四条边相等，
但是四边形的四个角不相等，故四边形不是正四边形；
四个角相等的四边形不是正多边形，
如图，四边形是矩形，四个角相等，
但是四边形的四条边不相等，故四边形不是正四边形．
24．如图，已知一长为，宽为的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成角，求点走过的路程的长及走过的弧度所在扇形的总面积．
【分析】由弧长、面积公式分别求出各段弧长、面积，相加即可求解．
【解答】解：
由题意可得，第一段弧长为，面积；
第二段弧长为，面积；
第三段弧长为，面积；
故点走过的路程的长为，走过的弧度所在扇形的总面积为．
25．如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角
形．
（1）根据以上多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割三角形的个数是　　；
（2）若已知一个多边形，按以上方法可分割成120个小三角形，则多边形的边数　　．
【分析】（1）由所给图形得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系的规律即可解答；
（2）根据（1）得到的规律求得的值即可．
【解答】解：（1）由图中可以看出：
四边形被分为个三角形，
五边形被分为个三角形，
六边形被分为个三角形，
那么边形被分为个三角形．
故答案为：．
（2）当时，，
故答案为：122．
26．如图，半径为2的圆被分成甲、乙、丙三个扇形，它们的面积之比为．请回答下列问题：
（1）扇形甲的圆心角度数为 　108　；
（2）剪下扇形丙恰好能围成一个几何体，求这个几何体的表面积（含底面）．
【答案】（1）108．
（2）．
【分析】（1）根据扇形的面积比，求出各个扇形的圆心角之比，从而求出各个扇形的圆心角占整个圆的几分之几，进而确定出各个扇形的圆心角；
（2）根据圆锥的侧面展开图形为扇形，进行解答便可．
【解答】解：（1），
故答案为：108；
（2）扇形丙的圆心角为：，
设剪下扇形丙能围成圆锥的底面圆的半径为，根据题意得，
，
，
该几何体的表面积为：．