2023-2024学年人教版九年级数学上册22.1二次函数的图象与性质 同步练习题（含解析）

2023-2024学年人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图象与性质》
同步优生辅导练习题（附答案）
一、单选题
1．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）
A．y＝ax2+bx+c B． C．y＝（a2+1）x2 D．y＝ax2
2．抛物线的开口方向和顶点坐标分别是（ ）
A．向上，（1，-1） B．向下，（-1，-1）
C．向下，（1，-1） D．向上，（-1，-1）
3．将抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么得到的新的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x＋2）2＋3 B．y＝（x＋2）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2＋3 D．y＝（x﹣2）2﹣3
4．设A(-2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y=-x2-2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
5．某种火箭竖直向上发射时，它的高度与时间的关系可以用表示，则经过多长时间，火箭达到它的最高点（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
8．如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0合和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为的二次函数解析式______．
10．如图，①，②，③，④，比较a．b．c．d的大小，用“”连接．__________

11．已知二次函数，当时，的取值范围为___________．
12．在平面直角坐标系中，若将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线解析式为___________．
13．若二次函数在或时，函数值相等，则当时，函数值为___________．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段轴交此抛物线于点D，且，则的面积为_______．
15．若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ___________．
16．抛物线的顶点D在直线上运动，顶点运动时抛物线也随之运动，抛物线与直线相交于点Q，则点Q纵坐标的最大值为____________．
三、解答题
17．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值．
18．已知抛物线交x轴于，，与y轴交于点C．

(1)求b，c的值；
(2)已知P为抛物线一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，平移抛物线，使其顶点始终在直线上，且与相交于点Q，求面积的最小值．
19．综合与探究：如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接为抛物线上的一个动点（与点不重合），设点的横坐标为，的面积为．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当点在第二象限内时，求关于的函数表达式；
(3)抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．经过点、、的抛物线与x轴只有一个公共点，其中且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，作，交抛物线于点B．
①若，求的长；
②求证直线过定点，并求出该定点的坐标．
21．函数（为常数，）．

(1)求出此函数图像的顶点坐标（用含的式子表示）；
(2)当时，此函数图像交轴于点（点在点的左侧），交轴于点，点为轴下方图像上一点，过点作轴交线段于点，求线段的最大值；
(3)点，连接，当此函数图像与线段恰有两个公共点时，求出a的取值范围．
22．如图抛物线与x轴交于A、B两点与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若在抛物线的对称轴上有一点P，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标；
(3)点F是第一象限抛物线上的一个动点，当点F运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时F点的坐标．
参考答案
1．解：当时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故选项A错误；
，不是二次函数，故选项B错误；
∵
∴y＝（a2+1）x2一定是二次函数，故选项C正确；
当时，y＝ax2不是二次函数，故选项D错误；
故选：C．
2．解：由抛物线可知：，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为；
故选B．
3．解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
向右平移2个单位，再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为（2，﹣3），
所以，所得图象的解析式为y＝（x﹣2）2﹣3，
故选：D．
4．解：∵A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物y=-x2-2x+2上的三点，
∴y1=2，y2=-1，y3=-6，
∴y1＞y2＞y3.
故答案为：A．
5．解：
，
当时，有最大值，
故选：．
6．解：∵二次函数y=x2+2x=（x+1）2-1，
∴开口向上，顶点为（-1，-1），且经过原点．
故选：C．
7．解：∵，
∴对称轴为，当时，函数的最小值为，
当时，，当时，，
∴当时，函数的最大值为2，
故选：D
8．解：①∵该抛物线开口向下，
∴，
∵该抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴，
∵该抛物线于y轴交于正半轴，
∴，
∴，
故①正确，符合题意；
②∵，
∴该抛物线的对称轴为直线，则，
当时，，
把得：当时，，
由图可知：当时，，
∴，
故②不正确，不符合题意；
③∵该抛物线的对称轴为直线，
∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，
∵该抛物线开口向下，
∴在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
④将方程移项可得，
∵无实数根，
∴抛物线与直线没有交点，
∵，
∴．故④正确
综上：正确的有：①③④，共三个．
故选：C．
9．解：设抛物线的解析式为，且抛物线的图象开口向上，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
10．解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，

所以，．
故答案为：．
11．解： ，
该抛物线的对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围为：，
故答案为：．
12．解：∵抛物线，
∴抛物线向右平移1个单位长度，得：，
∴向右平移的抛物线再向下平移2个单位长度，得：，
∴抛物线平移后得到的解析式为：，
故答案为：．
13．解：当或时，二次函数的函数值相等，
以、为横坐标的点关于直线对称，则，
，
，
，
当时，，
故答案为：3．
14．解：抛物线对称轴为直线，点为，
点坐标为，
．
，
，
．
．
故答案为：12
15．解：∵，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线，顶点为，
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴，
故答案为：4．
16．解：根据题意可设点D的坐标为，
∴抛物线的解析式为，
把代入得：，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为，
即点Q纵坐标的最大值为．
故答案为：
17．（1）解：把点代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：
（2）抛物线向下平移n个单位后得：，
把点代入得：
解得：
即n的值为1．
18．（1）解：∵抛物线交x轴于，，
∴，解得；
（2）解：由（1）得抛物线解析式为，
令，则，
∴，设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
∵点P关于x轴对称的点恰好在直线上，
∴设，则，即点在抛物线上，
∴，整理得，
解得，
∵点P不与点B重合，
∴，；
（3）解：抛物线的顶点坐标为，
∵顶点始终在直线上，
∴，即，
由（2）知直线的方程为，
∵抛物线与相交于点Q，

∵，
∴当取最小值时，取最小值，
∵
，
∵，
∴当即时，的最小值为，
∴的最小值为．
19．（1）解：二次函数的图象与轴交于、两点，
，
，
二次函数的表达式为数；
（2）解：过点作轴于点，如图，
则，
令，则，
，
，
，
，
点的横坐标为，
，
点在第二象限内，
，，
，
，
，
关于的函数表达式为：；
（3）解：①当点在上方时，如图，
，
，
点，的纵坐标相等，
点的纵坐标为，
令，则，
解得：或，
；
当点在下方时，如图，
设交轴于点，
，
，
设，
，
在中，
，
，
解得：，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：，，
，
综上所述，点的坐标为或．
20．（1）解：∵、两点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，且抛物线过这两点，
∴抛物线的对称轴为y轴，
∴；
∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴抛物线的顶点必为原点，
即；
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①当时，，即，
∴由点A的坐标知，在第二象限的角平分线上，
∵，
∴点在第一象限的角平分线上，
设，则有，
解得：（舍去），
∴，
∴；
②设直线的解析式为，设，
联立直线解析式与抛物线解析式，整理得：，
则p、m是上述一元二次方程的两个实数根，且；
由勾股定理有：，
即，
又，
∴，
∵，
∴，
即，
∴直线的解析式为，
上式中，当时，，
∴直线过定点．
21．（1）解： （为常数，），
函数图像的顶点坐标；
（2）解：当时，，
当时，，即；当时，，即，解得或，
点在点的左侧，
，
设直线表达式为，则，解得，
，
点为轴下方图像上一点，过点作轴交线段于点，设，则，
，
，
二次函数图像开口向下，当时，函数有最大值为；
∴的最大值为．
（3）解：点纵坐标相等，
连接后，轴，
根据题意，分两种情况：
①当时，抛物线开口向上，如图所示：

，解得，
函数图像与线段恰有两个公共点，
有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，
，
，则，即，
此种情况不存在；
②当时，抛物线开口向下，如图所示：

，解得，
函数图像与线段恰有两个公共点，
有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，
，
，则，即，
；
综上所述，当此函数图像与线段恰有两个公共点时，a的取值范围是．
22．（1）解：将，代入，
，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）存在点P，使是以为腰的等腰三角形，理由如下：
∵，
∴对称轴为直线，
∵，，
∴，设，
当时，，解得或（舍去），
∴；
当时，，解得或，
∴或；
综上所述：P点坐标为或或；
（3）当点E运动到位置时，的面积最大，理由如下：
令，则，
解得或，
∴，设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线BC的解析式为，
如图，过点E作轴交抛物线于点F，
设，则
∴，
∵，
∴最大时，的面积最大
∴当时，最大为2，此时的面积最大，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为4，此时．