2.5等腰三角形的轴对称性（第3课时） 课件（30张PPT）

(共30张PPT)
第2章 · 轴对称图形
2.5　等腰三角形的轴对称性
第3课时　直角三角形的性质
学习目标
1. 熟练运用等腰三角形的性质与判定进行说理；
2. 理解直角三角形斜边上中线的性质；
3. 经历探究直角三角形的性质的过程，提高分析问题、解决问题的能力.
知识回顾
等腰三角形
性质
判定
等边对等角
三线合一(1条)
两边相等(定义)
两边相等(定义)
等角对等边
特 例
等边三角形
性质
三边相等(定义)
三个角都相等,都等于60°
三线合一(3条)
判定
三边相等(定义)
三个角都相等
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
例1 已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．
求证：AB＝AC．
回顾与思考
活动一 等腰三角形的判定和性质综合运用
A
B
C
D
E
要证AB＝AC
已知∠EAD=∠DAC
只要证∠EAD=∠B
∠DAC=∠C
怎么想
怎么写
只要证∠B＝∠C
例1 已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．
求证：AB＝AC．
回顾与思考
活动一 等腰三角形的判定和性质综合运用
A
B
C
D
E
证明：∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠B，
∠DAC=∠C.
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∴∠B=∠C，
∴AB＝AC(等角对等边)．
变式1 已知：如图，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC吗？试证明你的结论．
回顾与思考
活动一 等腰三角形的判定和性质综合运用
A
B
C
D
E
条件和结论与上一题有什么变化？
证明：∵AB＝AC，
∴∠B=∠C(等边对等角).
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠B，
∠DAC=∠C.
∴∠EAD=∠DAC，
∴AD平分∠EAC．
变式2 已知：如图，如果AB＝AC，AD平分∠EAC，那么AD∥BC吗？试证明你的结论．
回顾与思考
活动一 等腰三角形的判定和性质综合运用
A
B
C
D
E
条件和结论与上一题有什么变化？
证明：∵AB＝AC，
∴∠B=∠C(等边对等角).
∵∠EAC=∠B+∠C，
∴∠B=∠C=∠EAC.
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC=∠EAC.
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC．
变式3 已知：如图，AB＝AC，AD平分∠EAC，过C点作CM⊥BC，交射线AD于点N.交射线AE于点M.
回顾与思考
活动一 等腰三角形的判定和性质综合运用
A
B
C
E
(1) 图中有几个等腰三角形？你能说明理由吗？
(2) AC和BM之间有怎样的数量关系？
(2) AN和CM之间有怎样的位置关系
D
M
N
1.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F.
求证：BE+CF=EF.
A
F
E
C
B
D
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC.
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC.
∴∠EDB=∠EBD.
∴DE=BE.
同理CF=DF.
∴EF=DE+DF=BE+CF，
即BE+CF=EF.
新知巩固
从图中你还可以得到哪些结论？
新知巩固
2.请你从下面三项中选出两个作为条件，另一个作为结论，写出真命题，并加以证明．
A
E
C
B
D
如图，①BD平分∠ABC，②DE∥BC，③BE＝DE.
思考1 你能用折纸的方法将一个直角三角形分成两个等腰三角形吗？
操作与思考
活动二 探索直角三角形的性质
操作1 你能用折纸的方法将一个等腰三角形分成两个直角三角形吗？
操作2 任意剪出一张直角三角形纸片(如图)，按下面的步骤折叠再展开.
操作与观察
活动二 探索直角三角形的性质
①
②
③
操作与观察
活动二 探索直角三角形的性质
思考2 图中△ACD与△BCD是等腰三角形吗？为什么？
A
B
C
D
E
F
你还有什么发现？
BD=CD=AD=AB
操作与观察
活动二 探索直角三角形的性质
思考3 你能证明小明的结论吗？
A
B
C
D
证法1：作AC的垂直平分线l，交AB于点D，连接CD.
l
∵直线l是线段AC的垂直平分线，点D在直线l上，
∴DA=DC，
∴∠ACD=∠A(等边对等角)，
∴∠BCD=∠B(等角的余角相等)，
∴DB=DC(等角对等边).
∴DA=DB=DC=AB.
操作与观察
活动二 探索直角三角形的性质
思考3 你能证明小明的结论吗？
A
B
C
D
证法2：在Rt△ABC中，∠ACB是直角，∠B是锐角.
在∠ACB内作∠BCD=∠B，CD与AB相交于点D，
于是， 我们得到如下定理：
可知 DB=DC，
由等角的余角相等，可得∠ACD=∠A，
于是 DA=DC，
从而 DA=DB=DC=AB.
新知归纳
直角三角形的性质定理：
在△ABC中，∠ACB＝90°
∵点D是AB的中点 (已知)，
∴CD=AB
(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．).
符号语言：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
A
B
C
D
操作与观察
活动二 探索直角三角形的性质
思考4 如图，CD为△ABC的中线，CD=AB，则∠ACB是直角吗 为什么
A
B
C
D
解:∠ACB是直角.理由如下:
∵CD为△ABC的中线，
∴AD=BD=AB.
又∵CD=AB，
∴AD=CD=BD，
则∠A=∠ACD，∠B=∠BCD.
∴∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=×180°=90°.
∴∠ACB=90°.
探索与说理
活动二 探索直角三角形的性质
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果∠A＝30°，那么BC与AB有怎样的数量关系？试证明你的结论．
证明： 作斜边上的中线CD.
∴ CD=AD=BD=AB
∵ ∠ACB＝90°，∠A=30°，
∴ ∠B=60°.
∴ △CDB是等边三角形，
∴ BC=BD= AB.
A
B
C
D
∵ ∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，
你还有其他证明方法吗？
探索与说理
活动二 探索直角三角形的性质
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果∠A＝30°，那么BC与AB有怎样的数量关系？试证明你的结论．
A
B
D
C
方法2：如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，
因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形.
再由AC⊥BD,
可得BC=CD=AB.
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
新知巩固
1. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，DE⊥AC ，垂足为E．
（1）如果CD＝2.4cm，那么AB＝______cm．
（2）写出图中相等的线段和角．
CD=BD=AD，
∠ACB=∠DEA=∠DEC=90°
CE=AE，
∠A=∠ACD，
∠B=∠BCD
4.8
A
B
C
D
E
新知巩固
2.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AD=AB，E、F分别是AC、BD的中点，AC=6，求EF的长.
A
B
C
D
E
F
解：如图，连接AF.
∵AD=AB，F是BD的中点，
∴AF⊥BD.又∵E是AC的中点，
∴EF=AC=3.
课堂小结
直角三角形的性质定理
直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半.
等腰三角形的性质和判定综合运用
当堂检测
1.如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.2 km，则M、C两点之间的距离为 (　 　)
A. 0.5 km B. 0.6 km C. 0.9 km D. 1.2 km
D
B
A
C
M

当堂检测
D
2. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=26°，则∠BDC的度数是( )
A. 26° B. 38° C. 42° D. 52°
A
B
C
D
当堂检测
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4 cm，则AB等于( )
A. 9 cm B. 8 cm C. 7 cm D. 6 cm
B
A
B
C
当堂检测
4. 如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC边的中点，EF＝4，BC＝10，则△EFM的周长是(　　　)
A．14 B．18 C．15 D．21
A
A
B
C
F
E
M
当堂检测
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E为AC边的中点，DE＝3，则AB＝________．
A
B
C
D
E
6
当堂检测
6. 如图，直线l1∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝________．
A
B
C
D
l1
l2
1
120°
A
B
C
当堂检测
7. 如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.
(请在图①、图②中用两种不同的分割方法画出来.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数.)
解：如图所示:
A
B
C
45°
45°
22.5°
22.5°
①
②
22.5°
22.5°
67.5°
67.5°
当堂检测
8. 如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点．
求证：MN⊥BD．
A
B
C
D
M
N
证明：连接BM，DM.∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
M是AC的中点，∴BM＝DM＝AC.∵点N是BD的中点，
∴MN⊥BD.