5.1平行四边形的性质 第2课时 平行四边形的对角线的性质（含答案）

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第五章 平行四边形
1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形的对角线的性质
刷基础
知识点1 平行四边形对角线的性质
1.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,AB=3,△ABO的周长比△BOC的周长小1,则 ABCD的周长是( )
A.10 B.12 C.14 D.16
第1题图 第2题图
2.如图,在 ABCD中,全等三角形共有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
3.如图, ABCD中,一条边AD的长是8，一条对角线AC的长为6，那么它的另一条对角线 BD的长x的取值范围是___________.
4.如图，在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE=50°,求∠ACB的度数;
(2)求证:AE=CF.
知识点2 平行四边形性质的综合应用
5.如图，在周长为20厘米的平行四边形 ABCD中,AB≠AD,AC,BD相交于点 O,OE⊥BD交AD于点 E,连接BE,则△ABE的周长为( )
A.10厘米 B.12厘米 C.14厘米 D.16厘米
第5题图 第6题图
6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点O的线段 EF与AD，BC分别交于点E,F.如果AB=4,BC=5,OE=1.5,那么四边形EFCD的周长为__________.
7.如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O,以 OD,CD为邻边作平行四边形DOEC,OE交BC于点 F,连接BE.求证:F为BC中点.
8.在①AE=CF;②OE=OF;③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程.
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,______________(填写序号).
求证:BE=DF.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
刷提升
1.如图,平行四边形 ABCD中,对角线 AC,BD交于点E,∠CBD=90°,BC=4,AC=10,则这个平行四边形面积为( )
A.24 B.40 C.20 D.12
第1题图 第2题图
2.如图，∠AOB=30°,OB=4,点P为射线OA上任意一点，连接PB.以PO，PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段 PQ的最小值为____________.
3.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F，交BE于点G，P是EB延长线上一点，连接CP,FP.下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正确的有______________.(填序号)
第3题图 第4题图
4.如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为BC,CD的中点,AM=1,AN=2,∠MAN=60°,AM，DC的延长线相交于点E，则AB的长为_____________.
5.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点 O 作OM⊥AC,交AD于点M,连接CM.
(1)若△CDM的周长为8,求 ABCD的周长;
(2)若∠ADC=78°,CM平分∠ACD,试求∠BCA的度数.
刷素养
6.如图,平行四边形ABCD中,AB=7,BC=5. CH⊥AB于点 H,CH=4,点 P 从点 D出发,以每秒1个单位长度的速度沿 DC-CH向点H运动，到点H停止，设点P的运动时间为t.
(1)AH=_____________;
(2)若△PBC是等腰三角形,求t的值.
参考答案
刷基础
1. C【解析】∵△ABO的周长比△BOC的周长小1,∴BC-AB=1.∵AB=3,∴BC=4,∴AB+BC=7,∴ ABCD的周长为14.
2. C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,OD=OB,OA=OC.
∵OD=OB,OA= OC,∠AOD =∠BOC,∴△AOD≌△COB(SAS);
同理可得出△AOB≌△COD(SAS);
∵AD=BC,AB=CD,BD=DB,∴△ABD≌△CDB(SSS );
同理可得△ACD≌△CAB(SSS).因此共有4对全等三角形.
3.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴ 在△AOD中,由三角形的三边关系,得
4.(1)【解】∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°.∵∠AOE=50°,∴∠EAO=40°.
∵AC平分∠DAE,∴∠DAC=∠EAO=40°.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC=40°.
(2)【证明】∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA=OC.
∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEO=∠CFO=90°.
∵∠AOE=∠COF,∴△AEO≌△CFO(AAS),∴AE=CF.
5. A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC,BD互相平分,∴ O 是 BD的中点.又∵OE⊥BD,∴OE为线段 BD的垂直平分线,∴BE= DE,∴△ABE 的周长为 AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD.∵平行四边形ABCD的周长为20 厘米,∴ AB+AD= 10(厘米).
∴△ABE的周长为10厘米.故选 A.
6.12【解析】∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD=4,AD=BC=5,AO=OC,AD∥BC,∴∠OAE =∠OCF. ∵∠AOE =∠COF,∴△OAE≌△OCF(ASA),∴OF=OE= 1.5,CF=AE,∴四边形EFCD的周长为ED+CD+CF+OF+OE=ED+CD+AE+OE+OF=AD+CD+OE+OF=5+4+1.5+1.5=12.
7.【证明】
∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OB=OD.
∵四边形 DOEC为平行四边形，∴OD∥EC,OD=EC,∴EC∥OB,EC=OB,
∴∠BOF=∠CEF,∠OBF=∠ECF,∴△OBF≌△ECF(ASA),
∴BF=CF,即F为BC中点.
8.【解】若选①,即AE=CF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BO=DO,AO=CO.
∵AE=CF,∴OE=OF. 又∵∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌△DOF(SAS),∴BE=DF.
若选②,即OE=OF.
证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴BO=DO.∵OE=OF,∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌
△DOF(SAS),∴BE= DF.
若选③,即BE∥DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO.∵BE∥DF,∴∠BEO=∠DFO.
又∵∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌△DOF(AAS),∴BE=DF.
刷提升
1. A【解析】∵四边形 ABCD是平行四边形, ，则这个平行四边形面积为BD·BC=6×4=24.故选 A.
2.2 【解析】设 OB与PQ交于点 H.∵四边形PBQO 是平行四边形,∴ PH=HQ,OH= HB=
根据垂线段最短，可知当PQ⊥OA时,PQ最短.在Rt△POH中,∵∠AOB=30°,
即线段 PQ的最小值为2.
3.①②③④【解析】∵BC= EC,∴∠CEB=∠CBE.
∵四边形ABCD 是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CEB=∠EBF,∴∠CBE=∠EBF,∴①正确.
∵BC = EC,CF⊥BE,∴∠ECF=∠BCF,∴②正确.
∵DC∥AB,∴∠DCF=∠CFB.∵∠ECF=∠BCF,∴∠CFB=∠BCF,∴BF=BC,∴③正确.
∵FB=BC,CF⊥BE,∴GB是CF的垂直平分线.∵点P在直线GB上,∴PF=PC,∴④正确.
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CE,AB=CD,∴∠BAM=∠CEM,∠B=∠ECM.∵ M为BC 的中点,∴ BM= CM,∴△ABM≌△ECM(AAS),∴ AB= CE= CD,AM=EM= 1.
∵ N为边 DC的中点,∴ NE=即
2,且∠MAN= 60°,∴△EAN是等边三角形,
5.【解】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AD=BC.
∵OM⊥AC,∴OM垂直平分线段AC,∴AM=MC,
∴△CDM的周长为CM+MD+DC=AM+MD+DC=AD+CD=8,
∴ ABCD的周长为2(AD+CD)=2×8= 16.
(2)由(1)得 AM=CM,∴∠MAC=∠MCA.
∵CM平分∠ACD,∴∠MCA=∠MCD,∴∠MAC=∠MCA=∠MCD.
∵∠ADC=78°,∴3∠MAC+78°=180°,∴∠MAC=34°.
∵AD∥BC,∴∠BCA=∠MAC=34°.
刷素养
6.(1)4【解析】∵BC=5,CH=4,CH⊥AB,∵AB=7,∴AH=AB-BH=7-3=4.
(2)【解】当点P在DC边上时,∵△PBC是等腰三角形,∴PC=BC.∵BC=5,∴PC=5.
∵四边形ABCD是平行四边形,AB=7,∴CD=AB=7,∴DP=DC-PC=7-5=2,∴t=2÷1=2.
当点P在CH上时，∵△PBC是等腰三角形，∴PC=PB.
∵PC=t-7,∴PH=4-(t-7)= 11-t.
∵BH=3,∠BHP=90°,BP=PC=t-7,∴3 +(11-t) =(t-7) ,解得
由上可得，t的值是2或
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