第五章 平行四边形 第1、2节综合练习（含答案）

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第五章 平行四边形
第1、2节综合练习
1.如图, ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A. OB=OD B. AB=BC C. AC⊥BD D.∠ABD=∠CBD
第1题图 第2题图
2.如图,在 ABCD中,∠BAD=120°,连接BD,作AE∥BD交 CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点 F,且CF=1,则AB的长是( )
A.2 B.1 C.3 D.
3.阅读材料：物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即F 和F 的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力F，如图.
解决问题：设两个共点力的合力为F，现保持两力的夹角θ(0°<θ<90°)不变，如果其中一个力减小，另一个力不变，则( )
A.合力F一定增大 B.合力F的大小可能不变
C.合力F可能增大，也可能减小 D.合力F一定减小
4.如图，以 ABCD的边 AB为边向内作等边△ABE,且点 E 在平行四边形内部,连接DE,CE,若AD=AE,则∠CED的度数为( )
A.150° B.145° C.135° D.120°
第4题图 第5题图
5.如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点 F；分别以点 B，F为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点G,连接AG并延长,交BC于点E,连接BF.若则AB的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.8
6.如图，把两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，
当线段AD=3时,线段 BC 的长为____________.
第6题图 第7题图
7.如图，平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E,F,G,H分别是AB,OB,CD,OD的中点.有下列结论:①AD=BC,②△DHG≌△BFE,③BF=HO,④AO=BO,⑤四边形 HEFG是平行四边形，其中正确结论的序号是______________.
8.已知坐标系中有O，A,B,C四个点,其中点O(0,0),A(3,0),B(1,1)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则C的坐标是______________.
9.如图，已知△ABC的面积为 a,点 D在线段AC上，点 F在线段 BC的延长线上，且BF=4CF,四边形DCFE 是平行四边形,则图中阴影部分的面积为___________.
第9题图 第10题图
10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=8cm,AD=12 cm,点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点 C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止)，在运动过程中，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形的次数为___________.
11.已知△ABC与△ADE是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,D是 BC上一点,∠DAE=∠BAC,过点 E作 BC的平行线交AB于点 F,连接 CF.
(1)如图(1),求证:四边形 CDEF是平行四边形；
(2)如图(2),连接 BE,DF,若AD⊥BC,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出长度等于 的线段.
12.问题:如图,在 ABCD中,AB=8,AD=5,∠DAB,∠ABC的平分线AE,BF分别与直线CD交于点E,F,求EF的长.答案:EF=2.
探究:(1)把“问题”中的条件“AB=8”去掉,其余条件不变.
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点 C重合时，求 EF的长.
(2)把“问题”中的条件“AB=8,AD=5”去掉,其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求 的值.
参考答案
1. A【解析】平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意；平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意；平行四边形对角线不一定互相垂直，C错误，不符合题意；平行四边形对角线不一定平分内角，D错误，不符合题意.故选A.
2. B【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∠BAD= 120°,∴ AB∥CD,AB= CD,∠BAD=
∠BCD=120°.∵AE∥BD,∴四边形ABDE 是平行四边形,∴ AB=DE,∴ CE= CD+DE=2AB.∵∠BCD=120°,∴∠ECF=60°.∵EF⊥BC,∴∠CEF=30°,∴CE=2CF=2,∴AB=1.
故选B.
3. D【解析】如图,∵0°<θ<90°,∴根据平行四边形的性质可知，当两力的夹角不变，其中一个力减小，另一个力不变时，合力F一定减小.
4. A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠BAD+∠ABC=180°.∵△ABE是等边三角形,∴AE=AB=BE,∠AEB=∠EAB=∠ABE= 60°. ∵ AD= AE,∴ AD = BE = BC,
∴∠ADE=∠AED,∠BCE=∠BEC.设∠ADE=∠AED=x,∠BCE=∠BEC = y,∴∠DAE=180°-2x,∠CBE= 180°-2y,∴∠BAD= 180°-2x+60°=240°-2x,∠ABC= 180°-2y+60°=240°-2y,∴∠BAD+∠ABC=240°-2x+240°-2y=180°,∴x+y= 150°,∴∠CED= 360°-150°-60°=150°.故选A.
5. B【解析】设BF与AE 交于O点.由作图知,AB=AF,AE 平分 四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴ ∠DAE=∠AEB. ∵AE 平分∠BAF,∴∠DAE=∠BAE,∴∠AEB=∠BAE,∴ AB=在Rt△ABO中，由勾股定理得 故选B.
6.3【解析】∵由条件可知AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形,∴BC=AD=3.
7.①②③⑤ 【解析】平行四边形 ABCD 中,AD=BC,故①正确.∵四边形ABCD为平行四边形,∴ DC∥AB,DC = AB, OD = OB,∴∠CDB=∠DBA.∵E,F,G,H分别是AB,OB,CD,OD的中点,∴ 故②正确.∵HO=DH,DH=BF,∴BF=HO,故③正确.根据已知条件无法推出AO= BO，故④错误.∵△DHG≌△BFE,∴∠DHG=∠BFE,HG=FE,∴∠GHF=∠EFH,∴HG∥EF,∴四边形HEFG是平行四边形，故⑤正确.
8.(4,1)或(-2,1)或(2,-1) 【解析】分三种情况：①AB为对角线时，点 C的坐标为(4，1);
②OB为对角线时,点C的坐标为(-2,1);③OA为对角线时,点C的坐标为(2,-1).
综上所述,点C的坐标为(4,1)或(-2,1)或(2,-1),故答案为(4,1)或(-2,1)或(2,-1).
【解析】连接EC,过A作AM∥BC交FE的延长线于M，如图.∵四边形CDEF是平行
四边形,∴DE∥CF,EF∥CD,∴AM∥DE∥CF,AC∥FM,∴四边形ACFM和四边形 ADEM都
是平行四边形，. ∵△EBD与△ECD 同底等高, 4CF,△ABC的边CB上的高和 ACFM 的边FC上的高相等，设高为 阴影部分的面积为 故答案为
10.3【解析】设经过t秒,以点P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形. 由题可知当DP= 抓BQ 时，则以点P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形.分为以下几种情况：①点Q的运动路线是C→B,方程为12-4t=12-t,此时t=0，不符合题意(问的是在运动过程中组成平行四边形的次数)；②点Q 的运动路线是C→B→C,方程为4t-12=12-t,解得t=4.8;③点Q的运动路线是C→B→C→B,方程为12-(4t-24)= 12-t,解得t=8;④点Q的运动路线是C→B→C→B→C,方程为4t-36=12-t,解得t=9.6;⑤点Q的运动路线是C→B→C→B→C→B,方程为12-(4t-48)= 12-t,解得t=16,此时P点走的路程为16>AD,不符合题意.综上，共有3次.
11.(1)【证明】连接 BE.
∵∠BAC=∠DAE,∴∠DAC=∠EAB,
在△ACD和△ABE中 ∴△ACD≌△ABE(SAS),
∴CD=BE,∠ACD=∠ABE.
∵EF∥BC,∠ABC=∠ACD,∴∠ABC=∠EFB,∴∠ABE=∠EFB,∴EB=EF,∴EF=CD.
∵EF∥BC,∴四边形EDCF是平行四边形.
(2)【解】BD,CD,BE,EF,FD.
∵AB=AC,AD⊥BC,
由(1)知CD=BE=EF,∴BD=EF.
∵BD∥EF,∴四边形BEFD是平行四边形，∴BE=DF,
12.【解】(1)①如图(1)所示.
∵四边形 ABCD是平行四边形,∴CD=AB,BC=AD=5,AB∥CD,∴∠DEA=∠BAE.∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠BAE,∴ ∠DEA=∠DAE,∴ DE=AD= 5.同理,BC= CF=5.∵点E与点 F重合,∴AB=CD=DE+CF=10.
②如图(2)所示. ∵点E与点C重合,∴DE=DC=5.∵由①知CF=BC=5,∴点 F与点D重合,∴EF=DC=5.
(2)分三种情况:①如图(3)所示.
同(1)得AD=DE,BC=CF.
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，∴AD=DE=EF=CF,
②如图(4)所示.
同(1)得AD=DE=CF.
③如图(5)所示.
同(1)得2.
综上所述， 的值为 或 或2.
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