22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
人教版九年级上册
知识回顾
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
向上
向下
(h ,k)
(h ,k)
x=h
x=h
当 xh 时，y 随着x的增大而增大.
当 xh 时，y 随着 x 的增大而减小.
x=h 时，y最小值=k
x=h 时，y最大值=k
抛物线 y=a(x-h)2+k 可以看作是由抛物线 y=ax2 经过平移得到的.
教学目标
1.会用配方法或公式法将一般式 y＝ax2＋bx＋c 化成顶点式 y=a(x-h)2+k.
2.会熟练求出二次函数一般式 y＝ax2＋bx＋c 的顶点坐标、对称轴.
新知导入
问题一：请画出二次函数 的图象.
(1)“定”：由顶点式确定顶点坐标，对称轴及开口方向等；
(2)“画”：根据顶点坐标，对称轴及开口方向画出函数图象.
-2 -1 0 1 2 3 4
-2 -1 0 1 2 3 4
15 5 -1 -3 -1 5 15
新知探究
问题二：请画出二次函数 的图象？
追问1：如何取值列表，才能画出较完整的抛物线？
取顶点的横坐标及其左右两边的值.
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
43.5 35 27.5 21 15.5 11 7.5
画出来的图象为什么不像抛物线？
新知探究
问题二：请画出二次函数 的图象？
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
43.5 35 27.5 21 15.5 11 7.5
追问2：如何求出该二次函数的对称轴？
用配方法将一般式转化为顶点式，就能够求出其对称轴.
新知探究
追问3：如何将二次函数 转化为顶点式 ？
配方法
提
配
化
体现了转化的数学思想
新知小结
归纳：将二次函数 转化为 的步骤（配方法的步骤）.
(1)“提”：提取二次项系数（注意括号里面各项系数的变化）；
(2)“配”：括号内，通过加上一次项系数一半的平方，再减出一次项系数一半的平方，配成完全平方式；
(3)“化”：去括号并化简成顶点式.
新知探究
追问4：如何画出二次函数 的图象？
画法一：列表-描点-连线法
先化为顶点式
3 4 5 6 7 8 9
3 4 5 6 7 8 9
7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5
新知探究
追问5：你还有什么画出二次函数 图象的好方法？
画法二：图象平移法
向上平移
3个单位长度
向右平移
6个单位长度
先化为顶点式
新知探究
问题三：请将二次函数 化成顶点式，并画出其图象.
提
配
化
新知小结
用配方法把y=ax2+bx+c转化成y=a(x-h) +k的形式,求得h和k的值就可知道相关性质.
提取二次项系数
前三项化为完全平方式,后两项合并同类项
提：
配：
化：
加上再减去一次项系数一半的平方
配方法
新知小结
一般地，二次函数 y=ax2+bx+c 可以通过配方法化成 y=a(x-h)2+k 的形式，即
因此，抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
直线
对称轴是：
新知小结
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大.
如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小.
新知小结
a>0 a<0
开口方向
顶点坐标 对称轴 增减性
最值
向上
向下




二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质：
x=
新知典例
例1 请用配方法将下列抛物线化成顶点式，并指出其开口方向、对称轴和顶点坐标.
新知探究
例1 请用配方法将下列抛物线化成顶点式，并指出其开口方向、对称轴和顶点坐标.
解：
开口向上；
对称轴是直线 ；
顶点坐标是 .
提
配
化
新知探究
例1 请用配方法将下列抛物线化成顶点式，并指出其开口方向、对称轴和顶点坐标.
解：
开口向下；
对称轴是直线 ；
顶点坐标是 .
提
配
化
新知典例
例2 求二次函数 的顶点坐标及对称轴．
顶点坐标为(1，－2)，对称轴为x＝1.
易知： ，b=1，
根据：
解：
新知练习
化简得顶点坐标 .
解：
抛物线开口向下；
对称轴是直线 ，代入数值得 ；
顶点坐标是 ,代入数值得 ，
1.写出下列抛物线的开口方向、并用顶点坐标公式直接写出其对称轴和顶点坐标.
（1）
新知练习
1.写出下列抛物线的开口方向、并用顶点坐标公式直接写出其对称轴和顶点坐标.
（2）
解：
抛物线开口向上；
对称轴是直线 ,代入数值得 ；
顶点坐标是 ,代入数值得 ，
化简得顶点坐标 .
新知典例
例3 把抛物线y＝ax2＋bx＋c向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到抛物线 ，求原来的抛物线的解析式．
向上平移6个单位长度
向左平移4个单位长度
y＝ax2＋bx＋c
解：抛物线 先向上平移6个单位长度，
得到抛物线
再将抛物线
向左平移4个单位长度，
得到抛物线
原来的抛物线的解析式为：
新知典例
例4 若A(-4，y1)，B(-3，y2)，C(3，y3)为二次函数 y=x2+2x-6 的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
B
A. y1解：因为A(-4，y1)，B(-3，y2)，C(3，y3)为二次函数y=x2+2x-6的图象上的三点，
y2=9-6-6=-3，即 y2=-3，
y3=9+6-6=9，即 y3=9，
因为-3＜2＜9，所以y2＜y1＜y3．
所以 y1=16-8-6=2，即 y1=2，
新知小结
比较二次函数值大小的方法：
(1)代入比较法：若已知二次函数的解析式，可将几个点的横坐标分别代入二次函数的解析式，求出对应的函数值，再比较函数值的大小；
(2)增减性比较法：当点都在对称轴的同侧时，可直接根据函数的增减性比较大小，当点不在对称轴的同侧时，可利用二次函数图象的对称性，将点转化到对称轴的同侧，再利用增减性比较大小；
(3)根据点到对称轴的距离比较大小：当抛物线的开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越大，当抛物线的开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小.
新知练习
A. y3>y2>y1 B. y3>y1=y2 C. y1>y2>y3 D. y1=y2>y3
2.点P1(-1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数 y=-x2+2x+c 的图象上，则y1，y2，y3 的大小关系是( )
D
解：因为 y=-x2+2x+c=-(x-1)2+1+c，
所以图象的开口向下，对称轴是直线x=1，
而P1(-1，y1)和P2(3，y2)到直线x=1的距离都为2，P3(5，y3)到直线x=1的距离为4，
所以y1=y2＞y3．
故选D．
新知练习
3．已知二次函数y＝2x2－mx＋8，当x＜－3时，y随x的增大而减小；当x＞－3时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为____．
22
对称轴是直线x=-3
解得：m=12.
课堂总结
1.二次函数 化为顶点式的方法是什么？该方法的步骤是什么？
2.画二次函数 的图象有哪些方法？
化为顶点式的方法是配方法；配方法的步骤是：一提，二配，三化；体现了转化的思想.
列表-描点-连线法；图象平移法
课堂总结
3.二次函数 有哪些基本性质？
开口向上
开口向下
对称轴是：直线
顶点坐标是：
当
当
课堂练习
A.图象与 y 轴的交点坐标为(0，1) B.图象的对称轴在 y 轴的右侧
C.当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小 D. y 的最小值为 -3
1.关于二次函数 y=2x2+4x-1，下列说法正确的是( )
D
解：因为y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3，
所以当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确.
课堂练习
2.分别在下列范围内求函数 y=x2-2x-3 的最大值和最小值.
(1) -1≤x≤2; (2) 2≤x≤3.
解：因为 y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
所以当 x<1 时，y 随 x 的增大而减小，
当 x>1 时，y 随 x 的增大而增大.
(1)由 -1≤x≤2 知，当 x=1时，y 有最小值 -4，
因为当 x=-1 时，y=0，当 x=2 时，y=-3，
所以当 x=-1 时，y 有最大值 0.
(2)当 2≤x≤3时，y 随 x 的增大而增大，
所以当 x=2 时，y 有最小值 -3，当 x=3 时，y 有最大值 0.
求二次函数的最值时，要先确定函数在自变量取值范围内的增减性，如果所给范围包含顶点的横坐标，则在顶点处取得最大(小)值；如果所给范围不包含顶点的横坐标，则利用函数的增减性确定最值.
课堂练习
3.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移 3 个单位长度，再作关于 x 轴对称的图象，得到抛物线 y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式为( )
B
A. y=-(x-)2- B. y=-(x+)2-
C. y=-(x-)2- D. y=-(x+)2+
解：因为抛物线的解析式为 y=x2+5x+6，
设原抛物线上有点(x，y)，关于x轴对称后，变为(x，-y)，点(x，-y)在抛物线 y=x2+5x+6上，将(x，-y)代入 y=x2+5x+6得-y=x2+5x+6，
所以关于x轴对称前的方程为 y=-x2-5x-6=-(x+)2+，所以向下平移3个单位长度的解析式为 y=-(x+ )2+ -3=-(x+)2- .
谢谢
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