吉林长春市八年级上册集体备课：《11 数的开方》《12 整式的乘除》课件（78张PPT）
文档属性
| 名称 | 吉林长春市八年级上册集体备课：《11 数的开方》《12 整式的乘除》课件（78张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 12.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-22 10:15:07 | ||
图片预览
文档简介
(共78张PPT)
新课标理念下“数与式”
教学的新思考
2023-08-15
《第11章 数的开方》和《第12章 整式的乘除》
“数与式” → “方程与不等式”→“函数” 的连贯体系。
掌握系统的知识技能；
提升数感、符号意识、模型观念，形成和发展抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识和创新意识。
“数与代数”领域
“数与式”之间的关联
从实数系到代数式体系
--- 重视对“数与式”主题的整体理解
知识内容和结构遵循螺旋式上升的原则，对数学知识的理解不断深入，体现核心素养发展的阶段性。
第11章 数的开方
第12章 整式的乘除
《八上》
第2章 有理数
第3章 整式的加减
《七上》
华师版《数学》教材的安排
第11章 数的开方
课标要求
课时安排
教学反思
地位作用
教学建议
课标中提出：“应注重发展学生的数感，符号意识，……注重发展学生的应用意识”，而本章内容正是发展这一目标的载体。学生对数的认识就由有理数扩充到实数范围，认知上的一个飞跃。
一 本章内容的地位作用
思 考 1
数学史中数系扩充的过程
B
C
D
A
Q
R
C
N
无理数
分数、负数
虚数
数系为什么要扩充？
——是社会生活和生产实践的需要
自然数是“数”出来的，其历史最早
可以追溯到五万年前.
数系为什么要扩充？
——是社会生活和生产实践的需要
负数是“欠”出来的.它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的.我国三国时期数学家刘徽（公元250年前后）首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则.
刘徽（公元250年前后）
数系为什么要扩充？
——是社会生活和生产实践的需要
分数（有理数）是“分”出来的.早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数.
数系为什么要扩充？
——是社会生活和生产实践的需要
无理数是“推”出来的.公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”.
“无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑.
边长为1的正方形的对角线长度为多少？
1
1
？
数系为什么要扩充？
——是社会生活和生产实践的需要
虚数是“算”出来的. 1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数” （“想象中(imaginary)的数”）
笛卡尔
(R.Descartes，
1596--1661)
数系为什么要扩充？
——是社会生活和生产实践的需要
欧拉
(L.Euler，
1707~1783)
1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i”表示
称为虚数单位.
数系为什么要扩充？
——是社会生活和生产实践的需要
复数的发展史
虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时是无法接受的,认为它是想象的,不存在的。但这丝毫不影响数学家对虚数单位的假设研究:第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给
这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．
数系为什么要扩充？
数系的扩充，也是运算的需要
0，1，2，…… → 自然数
2×6＝12 → 2÷6 = ？ → 分 数
2＋6＝8 → 2－6＝？ → 负数 → 有理数
( )2＝4 → ( )2＝2 → 无理数 → 实 数
( )2＝－1 → 虚数 → 复 数
二 《课标》中的内容要求
2011版
2022版
1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、算术平方根、立方根。
2.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、算术平方根、立方根。
2.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
二 《课标》中的内容要求
2011版
2022版
3.了解无理数、实数的概念。知道实数与数轴上的点一一对应的关系。能求实数的相反数与绝对值。
4.能用有理数估算一个无理数的大致范围。
3.了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数与绝对值。
4.能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。（新增）
二 《课标》中的内容要求
2011版
2022版
5.能用有理数估算一个无理数的大致范围。
6.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似数。
5.能用有理数估计一个无理数的大致范围。
6.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。
2011版《数学课程标准》27页
2022版《数学课程标准》55页
本章内容教材课时安排共7课时，其中
平方根与立方根——3课时
实数与数轴 ——2课时
章末复习 ——2课时
三 课时安排
1 .注重书中解题过程的解读，帮助学生
理解基本概念。
2.强化情景设计和问题提出，培养学生抽象
能力、运算能力、应用意识等核心素养。
四 教学建议
3.关注相关有趣的数学史小故事。
1 .注重书中解题过程的解读，帮助学生
理解基本概念。
性质；互逆运算
符号语言
学生遇到学习这部分知识的两个不适应：
①正数开平方运算后结果的不唯一性。他们十几年数学积累中结果的唯一性被打破。
②“ ” 的双重含义。以 为例：
（1）是运算符号，表示求被开方数2的正的那个平方根的运算；（2）是运算结果，把2进行开平方运算的结果。
（与“分数线”类似）
1 .注重书中解题过程的解读，帮助学生
理解基本概念。
2.强化情景设计和问题提出，培养学生抽象
能力、运算能力、应用意识等核心素养。
动手能力
合作交流意识
数学语言表述能力
寻求问题解决多样性
2.强化情景设计和问题提出，培养学生抽象
能力、运算能力、应用意识等核心素养。
2.强化情景设计和问题提出，培养学生抽象
能力、运算能力、应用意识等核心素养。
3. 关注相关有趣的数学史小故事
由无理数引发的持续2000多年的数学史上的第一次大危机。（毕达哥拉斯、希帕苏斯）
培养学生学习数学的抗挫能力，树立学好数学的信心。
3. 关注相关有趣的数学史小故事
1.教学思考：
（1）课堂内要适度留白
留出充足的思考时间;
不是所有问题都要在一节课内解决，学习不能成为快餐。
（2）避免教学的套路化、程式化，用多样性丰富学生的思维。
五 教学反思
第12章 整式的乘除
同底数幂的除法
代数式-
有理式
整式
分式（八下）
整式的加减
（七上）
整式的乘除
整式乘法
幂的运算
同底数幂乘法
幂的乘方
单×单
积的乘方
多×单
多×多
整式除法
乘法公式与
因式分解
（八上）
全章知识
本章的地位作用
承前：
有理数的四则混合运算；
整式的加减；
幂的运算性质等。
启后：
分式的运算；函数；
二次方程等。
高中进一步学习幂函数、指数函数、对数及对数函数的必备知识。
03
02
01
3
12.1 幂的运算
12.5 因式分解
12.2整式的乘法
12.3乘法公式
12.4整式的除法
第12章 整式的乘除
第12章 数的开方
第一部分：12.1 幂的运算
课标要求
课时安排
教学反思
教学建议
一 《课标》中的内容要求
2011版
2022版
了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学计数法表示数（包括在计算器上表示）
2011版《数学课程标准》28页
了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学计数法表示数（包括在计算器上表示）
2022版《数学课程标准》55页
12.1 幂的运算共4课时
12.1.1 同底数幂的乘法 1课时
12.1.2 幂的乘方 1课时
12.1.3 积的乘方 1课时
12.1.4 同底数幂的除法 1课时
二 课时安排
引导学生在实践中体验它们之间的相互联系与转化，尤其是4种法则的逆用，这是难点。
三 教学建议
幂的四个运算法则的教学安排，都通过“试一试”让学生自己动手进行探索、概括；
四 教学反思
数学思想的渗透
（1）特殊——一般——特殊的归纳推理
整式中的字母表示数，因此，数的运算律和运算性质对于整式运算仍然成立。教材通过运用归纳推理，由数的运算引出式的运算规律，体现了数学知识之间具体与抽象之间的内在联系和数学的内在统一性。
具体特殊
归纳推理
具体特殊
归纳推理
抽象一般
抽象一般
转化
同底数幂的除法亦如此
四 教学反思
（2）转化思想
积的乘方：结合运算律转化成乘方的定义或同底数幂相乘；
第12章 数的开方
第二部分：12.2 整式的乘法
12.4 整式的除法
12.3 乘法公式
课标要求
课时安排
教学反思
教学建议
一 《课标》中的内容要求
2011版
2022版
能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）。
能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）。
一 《课标》中的内容要求
2011版
2022版
能推导乘法公式:（a+b）(a-b)=a2-b2， (a±b)2=a2±2ab+b2 ，
了解公式的几何背景，能利用公式进行简单计算。
2011版《数学课程标准》28页
理解乘法公式
（a+b）(a-b)=a2-b2，(a±b)2=a2±2ab+b2 ，
了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。
2022版《数学课程标准》55页
12.2 12.3 12.4 共11课时
12.2 整式的乘法 4课时
12.2.1 单项式与单项式相乘 1课时
12.2.2 单项式与多项式相乘 1课时
12.2.3 多项式与多项式相乘 2课时
二 课时安排
12.2 12.3 12.4 共11课时
12.3 乘法公式 4课时
12.3.1 两数和乘以这两数的差 2课时
12.3.2 两数和（差）的平方 2课时
二 课时安排
12.2 12.3 12.4 共11课时
12.4 整式的乘法 3课时
12.4.1 单项式除以单项式 1课时
12.4.2 多项式除以单项式 2课时
二 课时安排
三 教学建议之一
1.可否安排一个或几个学生来讲课；
2.开放性的课堂。
mb
na
nb
(m＋n)(a＋b)
ma＋mb＋na＋
=
ma
某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积，可得到：
nb
华师版教材本章导图中的问题
mb
na
nb
n
b
m
a
ma
三 教学建议之二
为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长pm，宽bm的长方形绿地，向两边分别加宽am和cm(如图）.你有几种方法表示扩大后的绿地面积？
p(a+b+c)
pa+pb+pc
=
b
p
c
p
p
a
整式乘法
因式分解
p
b
c
p
a
p(a+b+c)
pa+pb+pc
=
人教版教材本章导图
三 教学建议之二
m(a+b+c)= ma+mb+mc
计算：m(a+b+c)
用乘法分配律得：
用面积得：
m(a+b+c)= ma+mb+mc
a b c
m
ma
mb
mc
三 教学建议之二
如图1，是一个长为2m、宽为2 n的 长方形，沿中间虚线剪开，均分成4块小长方形，拼成如图2的长方形。
（1）阴影正方形的边长是多少？
（2）请用不同的两中方法计算阴影正方形的面积
（3）观察图2，你能写出（m+n）2，（m-n）2，mn三个代数式之间的关系？
如图1
如图2
2m
2n
三 教学建议之二
1、我们可以用几何图形来解释一些代数恒等式，例如图甲可以用来解释（2a） =4a
图乙可以用来解释(a+b)(a+2b)=a +3ab+2 b
则图丙可以解释哪个恒等式
甲
乙
a
a
b
b
b
a
a
a
a
b
b
b
请你试着画个图形解释(2a+b) =4a +4ab+b
丙
a
a
a
a
三 教学建议之二
一题多变,发散思维
1.若（2x－1)(x + 3) = 2x + mx +n ，请求出m、n的值 .
2. 若（2x－a)(x + 3) = 2x + 5x － 3 ，请求出a的值.
三 教学建议之三
一题多变,发散思维
3.若（2x－a)(x + 3) 中，不含x的一次项，请求出a的值 .
4.（2x－a)(x + 3) 中，你能否直接说出它的二次项、一次项和常数项？
三 教学建议之三
一题多变,发散思维
5.（2x－1)(x + 3 x +2）中，请不通过逐项展开的方式直接写出它的三次项系数、二次项系数、一次项系数及常数项.
三 教学建议之三
3
一题多变,发散思维
6.已知多项式 x3 +ax2 +bx+c能够被 x2 + 3x －4整除，请求出4a +c的值 .
三 教学建议之三
三 教学建议之四
对于乘法公式的证明和认识，充分借助几何图形背景。
三 教学建议之四
借助几何图形背景理解公式
三 教学建议之四
借助几何图形背景理解公式
数学思想方法的渗透之一 ——“转化”的思想
（1）多项式×多项式 单项式×多
项式 单项式×单项式 有理数
乘法与同底数幂乘法。
（2）多项式÷单项式 单项式÷单项式
四 教学反思
转化
转化
转化
转化
四 教学反思
数学思想方法的渗透之二 ——
“数形结合”思想、“以数解形”的方法
用乘法分配律时的“整体”思想
四 教学反思
数学思想方法的渗透之三 ——
四 教学反思
是否作为公式介绍 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+b2 ？
后续利用十字相乘分解因式及因式分解法解一元二次方程经常用到。
第12章 数的开方
第三部分：
12.5 因式分解
课标要求
课时安排
教学反思
教学建议
一 《课标》中的内容要求
2011版
2022版
能用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）。
2011版《数学课程标准》28页
能用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）。
2022版《数学课程标准》55页
12.5 因式分解 共4课时
12.5.1 因式分解与提公因式法 1课时
12.5.2 平方差公式法分解因式 1课时
12.5.3 完全平方公式法分解因式 1课时
二 课时安排
三 教学建议
因式分解教学中，重视与整式乘法的联系与区别，这也既是本节教学的重点，也是难点。
教学方法上仍可借助图形面积的直观解释，来重点突出因式分解与整式乘法之间的互逆变形关系，以及与整数的因数分解的类比。
四 教学反思
1.注重基本知识与技能训练,对多种因式分解方法的适用范围，要看清条件特征来选择,要做到理解,而不是死记硬背去模仿。
2.因式分解的不同方法不要割裂或孤立起来,要帮助学生树立因式分解的目标就是把多项式化成整式乘积的本质。
补充 说明 之一
《课标》初中阶段，“数与代数”领域明确提出代数推理的要求。
“了解代数推理” （新版《课标》新增内容）
2022版《数学课程标准》56页
补充 说明 之一
补充 说明 之一
1. 什么是代数推理？
2. 为什么新课标增加了“代数推理”？
《教材》(50页)的12章复习题 C组18题
补充 说明 之一
《课标》中的教学提示指出：数与式的教学，教师应把握数与式的整体性。
一方面，通过负数、有理数和实数的认识，帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象，知道绝对值是对数量大小和线段长度的表达，进而体会实数与数轴上的点一一对应的数形结合的意义，会进行实数的运算；
补充 说明 之二
《课标》中的教学提示指出：数与式的教学，教师应把握数与式的整体性。
另一方面，通过代数式和代数式运算的教学，让学生进一步理解字母表示数的意义，通过基于符号的运算和推理，建立符号意识，感悟数学结论的一般性，理解运算方法与运算律的关系，提升运算能力。
补充 说明 之二
2023-08-15
谢
谢
欢迎品评、指正！
新课标理念下“数与式”
教学的新思考
2023-08-15
《第11章 数的开方》和《第12章 整式的乘除》
“数与式” → “方程与不等式”→“函数” 的连贯体系。
掌握系统的知识技能；
提升数感、符号意识、模型观念，形成和发展抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识和创新意识。
“数与代数”领域
“数与式”之间的关联
从实数系到代数式体系
--- 重视对“数与式”主题的整体理解
知识内容和结构遵循螺旋式上升的原则，对数学知识的理解不断深入，体现核心素养发展的阶段性。
第11章 数的开方
第12章 整式的乘除
《八上》
第2章 有理数
第3章 整式的加减
《七上》
华师版《数学》教材的安排
第11章 数的开方
课标要求
课时安排
教学反思
地位作用
教学建议
课标中提出：“应注重发展学生的数感，符号意识，……注重发展学生的应用意识”，而本章内容正是发展这一目标的载体。学生对数的认识就由有理数扩充到实数范围，认知上的一个飞跃。
一 本章内容的地位作用
思 考 1
数学史中数系扩充的过程
B
C
D
A
Q
R
C
N
无理数
分数、负数
虚数
数系为什么要扩充？
——是社会生活和生产实践的需要
自然数是“数”出来的，其历史最早
可以追溯到五万年前.
数系为什么要扩充？
——是社会生活和生产实践的需要
负数是“欠”出来的.它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的.我国三国时期数学家刘徽（公元250年前后）首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则.
刘徽（公元250年前后）
数系为什么要扩充？
——是社会生活和生产实践的需要
分数（有理数）是“分”出来的.早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数.
数系为什么要扩充？
——是社会生活和生产实践的需要
无理数是“推”出来的.公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”.
“无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑.
边长为1的正方形的对角线长度为多少？
1
1
？
数系为什么要扩充？
——是社会生活和生产实践的需要
虚数是“算”出来的. 1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数” （“想象中(imaginary)的数”）
笛卡尔
(R.Descartes，
1596--1661)
数系为什么要扩充？
——是社会生活和生产实践的需要
欧拉
(L.Euler，
1707~1783)
1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i”表示
称为虚数单位.
数系为什么要扩充？
——是社会生活和生产实践的需要
复数的发展史
虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时是无法接受的,认为它是想象的,不存在的。但这丝毫不影响数学家对虚数单位的假设研究:第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给
这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．
数系为什么要扩充？
数系的扩充，也是运算的需要
0，1，2，…… → 自然数
2×6＝12 → 2÷6 = ？ → 分 数
2＋6＝8 → 2－6＝？ → 负数 → 有理数
( )2＝4 → ( )2＝2 → 无理数 → 实 数
( )2＝－1 → 虚数 → 复 数
二 《课标》中的内容要求
2011版
2022版
1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、算术平方根、立方根。
2.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、算术平方根、立方根。
2.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
二 《课标》中的内容要求
2011版
2022版
3.了解无理数、实数的概念。知道实数与数轴上的点一一对应的关系。能求实数的相反数与绝对值。
4.能用有理数估算一个无理数的大致范围。
3.了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数与绝对值。
4.能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。（新增）
二 《课标》中的内容要求
2011版
2022版
5.能用有理数估算一个无理数的大致范围。
6.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似数。
5.能用有理数估计一个无理数的大致范围。
6.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。
2011版《数学课程标准》27页
2022版《数学课程标准》55页
本章内容教材课时安排共7课时，其中
平方根与立方根——3课时
实数与数轴 ——2课时
章末复习 ——2课时
三 课时安排
1 .注重书中解题过程的解读，帮助学生
理解基本概念。
2.强化情景设计和问题提出，培养学生抽象
能力、运算能力、应用意识等核心素养。
四 教学建议
3.关注相关有趣的数学史小故事。
1 .注重书中解题过程的解读，帮助学生
理解基本概念。
性质；互逆运算
符号语言
学生遇到学习这部分知识的两个不适应：
①正数开平方运算后结果的不唯一性。他们十几年数学积累中结果的唯一性被打破。
②“ ” 的双重含义。以 为例：
（1）是运算符号，表示求被开方数2的正的那个平方根的运算；（2）是运算结果，把2进行开平方运算的结果。
（与“分数线”类似）
1 .注重书中解题过程的解读，帮助学生
理解基本概念。
2.强化情景设计和问题提出，培养学生抽象
能力、运算能力、应用意识等核心素养。
动手能力
合作交流意识
数学语言表述能力
寻求问题解决多样性
2.强化情景设计和问题提出，培养学生抽象
能力、运算能力、应用意识等核心素养。
2.强化情景设计和问题提出，培养学生抽象
能力、运算能力、应用意识等核心素养。
3. 关注相关有趣的数学史小故事
由无理数引发的持续2000多年的数学史上的第一次大危机。（毕达哥拉斯、希帕苏斯）
培养学生学习数学的抗挫能力，树立学好数学的信心。
3. 关注相关有趣的数学史小故事
1.教学思考：
（1）课堂内要适度留白
留出充足的思考时间;
不是所有问题都要在一节课内解决，学习不能成为快餐。
（2）避免教学的套路化、程式化，用多样性丰富学生的思维。
五 教学反思
第12章 整式的乘除
同底数幂的除法
代数式-
有理式
整式
分式（八下）
整式的加减
（七上）
整式的乘除
整式乘法
幂的运算
同底数幂乘法
幂的乘方
单×单
积的乘方
多×单
多×多
整式除法
乘法公式与
因式分解
（八上）
全章知识
本章的地位作用
承前：
有理数的四则混合运算；
整式的加减；
幂的运算性质等。
启后：
分式的运算；函数；
二次方程等。
高中进一步学习幂函数、指数函数、对数及对数函数的必备知识。
03
02
01
3
12.1 幂的运算
12.5 因式分解
12.2整式的乘法
12.3乘法公式
12.4整式的除法
第12章 整式的乘除
第12章 数的开方
第一部分：12.1 幂的运算
课标要求
课时安排
教学反思
教学建议
一 《课标》中的内容要求
2011版
2022版
了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学计数法表示数（包括在计算器上表示）
2011版《数学课程标准》28页
了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学计数法表示数（包括在计算器上表示）
2022版《数学课程标准》55页
12.1 幂的运算共4课时
12.1.1 同底数幂的乘法 1课时
12.1.2 幂的乘方 1课时
12.1.3 积的乘方 1课时
12.1.4 同底数幂的除法 1课时
二 课时安排
引导学生在实践中体验它们之间的相互联系与转化，尤其是4种法则的逆用，这是难点。
三 教学建议
幂的四个运算法则的教学安排，都通过“试一试”让学生自己动手进行探索、概括；
四 教学反思
数学思想的渗透
（1）特殊——一般——特殊的归纳推理
整式中的字母表示数，因此，数的运算律和运算性质对于整式运算仍然成立。教材通过运用归纳推理，由数的运算引出式的运算规律，体现了数学知识之间具体与抽象之间的内在联系和数学的内在统一性。
具体特殊
归纳推理
具体特殊
归纳推理
抽象一般
抽象一般
转化
同底数幂的除法亦如此
四 教学反思
（2）转化思想
积的乘方：结合运算律转化成乘方的定义或同底数幂相乘；
第12章 数的开方
第二部分：12.2 整式的乘法
12.4 整式的除法
12.3 乘法公式
课标要求
课时安排
教学反思
教学建议
一 《课标》中的内容要求
2011版
2022版
能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）。
能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）。
一 《课标》中的内容要求
2011版
2022版
能推导乘法公式:（a+b）(a-b)=a2-b2， (a±b)2=a2±2ab+b2 ，
了解公式的几何背景，能利用公式进行简单计算。
2011版《数学课程标准》28页
理解乘法公式
（a+b）(a-b)=a2-b2，(a±b)2=a2±2ab+b2 ，
了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。
2022版《数学课程标准》55页
12.2 12.3 12.4 共11课时
12.2 整式的乘法 4课时
12.2.1 单项式与单项式相乘 1课时
12.2.2 单项式与多项式相乘 1课时
12.2.3 多项式与多项式相乘 2课时
二 课时安排
12.2 12.3 12.4 共11课时
12.3 乘法公式 4课时
12.3.1 两数和乘以这两数的差 2课时
12.3.2 两数和（差）的平方 2课时
二 课时安排
12.2 12.3 12.4 共11课时
12.4 整式的乘法 3课时
12.4.1 单项式除以单项式 1课时
12.4.2 多项式除以单项式 2课时
二 课时安排
三 教学建议之一
1.可否安排一个或几个学生来讲课；
2.开放性的课堂。
mb
na
nb
(m＋n)(a＋b)
ma＋mb＋na＋
=
ma
某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积，可得到：
nb
华师版教材本章导图中的问题
mb
na
nb
n
b
m
a
ma
三 教学建议之二
为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长pm，宽bm的长方形绿地，向两边分别加宽am和cm(如图）.你有几种方法表示扩大后的绿地面积？
p(a+b+c)
pa+pb+pc
=
b
p
c
p
p
a
整式乘法
因式分解
p
b
c
p
a
p(a+b+c)
pa+pb+pc
=
人教版教材本章导图
三 教学建议之二
m(a+b+c)= ma+mb+mc
计算：m(a+b+c)
用乘法分配律得：
用面积得：
m(a+b+c)= ma+mb+mc
a b c
m
ma
mb
mc
三 教学建议之二
如图1，是一个长为2m、宽为2 n的 长方形，沿中间虚线剪开，均分成4块小长方形，拼成如图2的长方形。
（1）阴影正方形的边长是多少？
（2）请用不同的两中方法计算阴影正方形的面积
（3）观察图2，你能写出（m+n）2，（m-n）2，mn三个代数式之间的关系？
如图1
如图2
2m
2n
三 教学建议之二
1、我们可以用几何图形来解释一些代数恒等式，例如图甲可以用来解释（2a） =4a
图乙可以用来解释(a+b)(a+2b)=a +3ab+2 b
则图丙可以解释哪个恒等式
甲
乙
a
a
b
b
b
a
a
a
a
b
b
b
请你试着画个图形解释(2a+b) =4a +4ab+b
丙
a
a
a
a
三 教学建议之二
一题多变,发散思维
1.若（2x－1)(x + 3) = 2x + mx +n ，请求出m、n的值 .
2. 若（2x－a)(x + 3) = 2x + 5x － 3 ，请求出a的值.
三 教学建议之三
一题多变,发散思维
3.若（2x－a)(x + 3) 中，不含x的一次项，请求出a的值 .
4.（2x－a)(x + 3) 中，你能否直接说出它的二次项、一次项和常数项？
三 教学建议之三
一题多变,发散思维
5.（2x－1)(x + 3 x +2）中，请不通过逐项展开的方式直接写出它的三次项系数、二次项系数、一次项系数及常数项.
三 教学建议之三
3
一题多变,发散思维
6.已知多项式 x3 +ax2 +bx+c能够被 x2 + 3x －4整除，请求出4a +c的值 .
三 教学建议之三
三 教学建议之四
对于乘法公式的证明和认识，充分借助几何图形背景。
三 教学建议之四
借助几何图形背景理解公式
三 教学建议之四
借助几何图形背景理解公式
数学思想方法的渗透之一 ——“转化”的思想
（1）多项式×多项式 单项式×多
项式 单项式×单项式 有理数
乘法与同底数幂乘法。
（2）多项式÷单项式 单项式÷单项式
四 教学反思
转化
转化
转化
转化
四 教学反思
数学思想方法的渗透之二 ——
“数形结合”思想、“以数解形”的方法
用乘法分配律时的“整体”思想
四 教学反思
数学思想方法的渗透之三 ——
四 教学反思
是否作为公式介绍 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+b2 ？
后续利用十字相乘分解因式及因式分解法解一元二次方程经常用到。
第12章 数的开方
第三部分：
12.5 因式分解
课标要求
课时安排
教学反思
教学建议
一 《课标》中的内容要求
2011版
2022版
能用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）。
2011版《数学课程标准》28页
能用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）。
2022版《数学课程标准》55页
12.5 因式分解 共4课时
12.5.1 因式分解与提公因式法 1课时
12.5.2 平方差公式法分解因式 1课时
12.5.3 完全平方公式法分解因式 1课时
二 课时安排
三 教学建议
因式分解教学中，重视与整式乘法的联系与区别，这也既是本节教学的重点，也是难点。
教学方法上仍可借助图形面积的直观解释，来重点突出因式分解与整式乘法之间的互逆变形关系，以及与整数的因数分解的类比。
四 教学反思
1.注重基本知识与技能训练,对多种因式分解方法的适用范围，要看清条件特征来选择,要做到理解,而不是死记硬背去模仿。
2.因式分解的不同方法不要割裂或孤立起来,要帮助学生树立因式分解的目标就是把多项式化成整式乘积的本质。
补充 说明 之一
《课标》初中阶段，“数与代数”领域明确提出代数推理的要求。
“了解代数推理” （新版《课标》新增内容）
2022版《数学课程标准》56页
补充 说明 之一
补充 说明 之一
1. 什么是代数推理？
2. 为什么新课标增加了“代数推理”？
《教材》(50页)的12章复习题 C组18题
补充 说明 之一
《课标》中的教学提示指出：数与式的教学，教师应把握数与式的整体性。
一方面，通过负数、有理数和实数的认识，帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象，知道绝对值是对数量大小和线段长度的表达，进而体会实数与数轴上的点一一对应的数形结合的意义，会进行实数的运算；
补充 说明 之二
《课标》中的教学提示指出：数与式的教学，教师应把握数与式的整体性。
另一方面，通过代数式和代数式运算的教学，让学生进一步理解字母表示数的意义，通过基于符号的运算和推理，建立符号意识，感悟数学结论的一般性，理解运算方法与运算律的关系，提升运算能力。
补充 说明 之二
2023-08-15
谢
谢
欢迎品评、指正！