吉林长春市九年级上册集体备课：核心素养下的几何模型教学策略 课件（65张PPT）

(共65张PPT)
核心素养下的几何模型教学策略
（九年级数学）
一、数学核心素养
会用数学的眼光观察现实世界
抽象能力、几何直观、
空间观念、创新意识
一、数学核心素养
会用数学的思维思考现实世界
运算能力、推理能力
一、数学核心素养
会用数学的语言表达现实世界
数据意识、模型意识、应用意识
二、相似三角形模型
1.平行线分线段成比例模型
我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：
这就是如下的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.（简称：平行线分线段成比例）
【模型证明】
连接AE、DF、DC、BF
作出下图点A关于线段BC的对称点
A’
【2023长春市模22题】
当图中的点A、F重合时，就形成了一个三角形的特殊情形.
当图中的直线m、n相交于第二条直线上某点时，也构成了一种特殊情形.
2. A、X模型
A型
X型
已知：DE∥BC
结论：△ADE∽△ABC
在相似三角形的判定中，我们常通过作平行线、从而得出A型或X型相似.
【模型证明】
过D作DF∥AC，交BC于点F
【模型证明】
过E作EF∥BC，交CB延长线于点F
已知：
求：BE的长（用含a、b、m、n的式子表示）
令
【模型拓展：梯形中位线证明】
【模型拓展：倒数模型】
【模型拓展：角平分线分线段成比例】
【模型拓展：角平分线分线段成比例】
过点C作AD的平行线，与BA延长线交于点E
【模型拓展：角平分线分线段成比例】
15°的各个三角函数值也可以利用此方法计算
【模型拓展：12345模型】
【模型拓展：12345模型】
以15°为例，简单介绍一下计算方法
【模型拓展：梅氏定理】
【模型拓展：梅氏定理】
过D作DH∥CF交AB于点H
【模型拓展：重心模型】
在△ABC中，D、E、分别是BC、AC中点，连结AD、
BE交于点F，证明：
【模型拓展】证明三角形三条中线交于一点
【模型拓展】
模型结论：
3. 反A、X模型
模型结论：
黄金三角形
顶角为36°的等腰三角形，底边与腰长的比∠C的平分线，交AB于D，D为AB的黄金分割点。
模型结论：
模型结论：
反“X”模型
条件：∠A=∠C
【模型拓展：托勒密定理】
【与圆有关的相似】
相交弦定理
割线定理
切割线定理
4. 一线三等角模型
模型结论：
【锐角型】
如图，等腰△ABC，∠DEF=∠B=∠C
【模型证明】
4. 一线三等角模型
模型结论：
【钝角型】
如图，四边形ABCD中，∠DEC=∠A=∠B
【模型证明】
4. 一线三等角模型
【直角型】
如图，A、B、C三点共线，∠A=∠C=∠DBE=90°，用同样的方法，易证△ABD∽△CEB，直角型的一线三等角我们又叫做“三垂直模型”，它的应用更加广泛，考试出现概率最大
4. 一线三等角模型
同样可以证明两个三角形相似
正方形ABCD边长为5，点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、B重合），且保持∠APQ=90°.当CQ=1时，求线段BP的长.
针对点P在直线CB上的位置进行分类讨论
点P在线段BC上
点P在线段CB延长线上
点P在线段BC延长线上
【模型应用】
5. 旋转相似模型
如图，已知DE∥BC，将△ADE绕点A旋转一定角度，连接BD、CE.
旋转△ADE
△ADE∽△ABC
△ABD∽△ACE
如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°，连接BF.
（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）若BE=1，AE=2，求CE的长.
【模型应用】直接应用旋转相似
【模型应用】构造旋转相似模型
如图，在△ABC中，∠BAC=2∠DBC=60°，D为△ABC内一点，连接DA、DB、DC，若∠BDC=90°， ，AC=6，则AB的长为？
将△ADC绕点D顺时针旋转90°，并放大 倍.
【模型应用】构造旋转相似模型
如图，在△ABC中，∠BAC=2∠DBC=60°，D为△ABC内一点，连接DA、DB、DC，若∠BDC=90°， ，AC=6，则AB的长为？
将△ADC绕点C顺时针旋转90°，并放大2倍.
【模型拓展】瓜豆模型
△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当点P在直线l上运动时，Q的轨迹是？
【模型拓展】瓜豆模型
△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当点P在圆O上运动时，Q的轨迹是？
三、圆的相关模型
1.连半径构造等腰三角形模型
已知AB是圆O的一条弦，连结OA、OB，则∠A=∠B.
在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件，我们通常可以连结半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题.
如图，AB是圆O的直径，弦PQ交AB于M，且PM=MO.求证：
如图，连接OP、OQ
∵PM=OM，
∴∠P=∠MOP.
∵OP=OQ，
∴∠P=∠Q.
∵∠QMO=2∠MOP，
∴∠BOQ=3∠MOP.
∴∠AOP=∠BOQ.
∴
2.构造直角三角形模型
当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解决问题的重要思路，在证明有关问题中注意90°圆周角的构造.
在解决求弦长，弦心距，半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算
如图，AB是圆O的直径，AB=AC，BC交圆O于点D，AC交圆O于点E，∠BAC=45°.
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证：BD=CD.
（1）
（2）
连接AD
已知圆O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，BE=6，∠DEB=60°.求CD的长
过点O作OF⊥CD于点F，连接OD.
3.与圆的切线有关的辅助线
（1）已知切线：连接过切点的半径.如图，已知直线AB是圆O的切线，点C是切点.连接OC，则OC⊥AB.
（2）证明切线：
①当已知直线经过圆上的一点时，连半径，证垂直.
②如果不知道直线与圆是否有交点时，作垂直，证明 垂线段长度等于半径.
如图，OA、OB是圆O的半径，且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交圆O于点Q，过Q点的切线交OA延长线于R点.求证：RP=RQ.
如图，连接OQ.
∵OQ=OB，
∴∠OQB=∠OBQ.
∵RQ为圆O的切线，OA⊥OB，
∴∠BPO=90°－∠OBQ，∠BQR=90°－∠OQB.
∴∠BPO=∠QPR=∠BQR.
∴RP=RQ
如图，△ABC内接于圆O，过点A作直线DE，当∠BAE=∠C时，试确定直线DE与圆O的位置关系，并证明你的结论.
直线DE与圆O相切，理由如下：
如图，连接AO并延长，交圆O于点F，连接BF.
∵∠BAE=∠C，∠C=∠F，
∴∠BAE=∠F.
∵AF为直径，
∴∠ABF=90°.
∴∠F+∠BAF=90°.
∴∠BAE+∠BAF=90°.
∴FA⊥DE.
∵AO是圆O的半径，
∴直线DE与圆O相切.
如图，AB是圆O的直径，AC是它的切线，CO平分∠ACD.求证：CD是圆O的切线.
如图，过点O作OE⊥CD于点E.
∵AC是圆O的切线，
∴OA⊥AC.
∵CO平分∠ACD，OE⊥CD，
∴OA=OE.
∴CD是圆O的切线.
辅助圆模型
【模型一】共端点，等线段模型
图①
图②
图③
如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆的定义构造辅助圆.
如图②，若OA=OB=OC，则A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上.
如图③，∠ACB=1/2∠AOB，∠BAC=1/2∠BOC.
如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB=AC，AC=AD，连接BD.
求证：∠1+∠2=90°.
∵AB=AC=AD，
∴B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆A上.
∴∠BAC=2∠1.
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠2.
在△ABC中，
∵∠BAC+∠ABC+∠2=180°，
∴2∠1+2∠2=180°.
∴∠1+∠2=90°.
辅助圆模型
【模型二】直角三角形共斜边模型
（1）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆.
（2）四点共圆后，可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系转化，是证明角度相等的重要途径之一。
如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE.
连接DB、DF.
∵四边形ABCD是正方形，且BF是∠CBA的外角平分线，
∴∠CBF=45°，∠DBC=45°，
∴∠DBF=90°.
又∵∠DEF=90°，
∴D、E、B、F四点共圆.
∴∠DFE=∠DBE=45°.
∴△DEF是等腰直角三角形.
∴FE=DE.
如图，BE、CF为△ABC的高，且交于点H，连接AH并延长交BC于点D.求证：AD⊥BC.
【模型拓展】三角形三条高线交于一点
连接EF.
∵Rt△AFH和Rt△AEH共斜边AH，
∴A、F、H、E四点共圆.
∴∠1=∠2.
∵Rt△BCF和Rt△BEC共斜边BC，
∴F、B、C、E四点共圆.
∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3
∵∠3+∠ABD=90°，
∴∠2+∠ABD=90°
∴AD⊥BC.
总之，几何是数学教学的重要组成部分，也是数学教学的难点。在几何教学中采用模型教学具有重要意义，能将复杂抽象的几何概念具象化，让学生更容易理解，能培养学生的语言转化能力和空间想象能力，为学生的学习奠定基础。因此，教师要不断优化模型教学的应用方式，提高教学效率和教学质量，提升学生的数学核心素养。
四、总结
感谢聆听