吉林省长春市榆树市九年级上册集体备课：《第21章 二次根式》《第22章 一元二次方程》《第23章 图形的相似》课件(共137张PPT)

(共137张PPT)
2023—2024学年度上学期
---------新课标下九年级数学集体备课
重基础 强能力
回归教材 链接中考
2022年版的新课标提出的新课程理念
1.确立素核心素养导向的课程目标.
2.设计体现结构化特征的课程内容.
3.实施促进学生发展的教学活动.
4.探索激励学习和改进教学的评价。
5.促进信息技术与课与数学课程性融合.
--------《义务教育数学课程标准》（ 2022年版）
四能
四基
核心素养
发现和提出问题
（创新意识）
创新意识
分析和解决问题能力
（实践能力 ）
课程标准
课程
三会
获得
提高
发展
表现
知识
基础知识
基本技能
基础思想
基本活动经验
应用意识
数据观念
运算能力
空间观念
模型能力
推理能力
抽象能力
几何直观
会用数学的眼光观察现实世界.
会用数学的思维思考现实世界.
会用数学的语言表达现实世界.
观察
思考
表达
教师的教学理念对学生的影响
1.教师若只重视知识解析，则学生就会缺少对学科课程整体构建的认识。
2.教师若只关注教学技能，不关注学科思想方法，则学生在应试时就依赖于信息再现，而不会迁移解决新问题。
新课程标准对教师的要求
1.新课标的出台，明确了学科目标，从关注学科知识技能转变为学科核心素养的关键能力、必备品质与价值观念的培育。这就要求我们的教学必须超越具体知识和技能，深入到思维的层面，由具体的方法与策略过渡到一般性思维策略的教学与思维品质的提升；
2.教师要设立引领性的学习主题、挑战性的学习任务，使学生实现、“一般观念”引领下的深度学习，由“学会”到“会学”，成为会思考、有担当、高素质的青年一代。
一、概念教学设置合理、真实的问题情境，采用“既见树木，又见森林”的思想，即把知识置于系统之中
把知识置于系统之中，既能看到这段知识的全貌，又能知道它的组成部分和相互联系，使学生理解透彻。
二、教学过程中，通过“比较”“类比”“转化”等手段
来夯实数学基础
三、现在的中考试题既注重考察基础知识、基本技能，还注重考察思维过程、创新意识和分析能力、解决问题的能力。试题背景问法很新颖。一题多变，一题多解的类型题很多。题目的问题与背景紧密结合，机械性记忆和客观性试题比例降低，探究性、开放性、综合性试题比例提高。所以我们的习题配备也应该有一定的提高与改变。
（1）从真实的情境中提炼数学问题
（2）设计揭示知识本质的习题
（3）设计跨学科的习题
（4）从知识或方法迁移的视角设计习题
（5）设计开放型的习题
（6）设计操作类的习题
（7）设计探索性的习题
华师版九年级上教学内容
第21章 二次根式
第22章 一元二次方程
数与式
方程
图形与几何
第23章图形的相似
图形的变化
统计与概率
随机事件的概率
数与代数
第24章解直角三角形
第21章二次根式
〔课标要求〕
了解二次根式，最简二次根式的概念。
了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用他们进行简单的四则运算。
《课程标准》对二次根式的运算规定“根号下仅限于数”的情形，二次根式被列入“数与式”中的“实数”之下，而非“代数式”之下
《课程标准》对二次根式定位是数的开方运算的延续，而不是作为代数式中无理式来进行系统研究的。
理解《课程标准》，关注教学中“度”的把握。
概念的性质的研究应在“式”的整体结构下展开。
本章的二次根式运算在“根号下仅限于数”的情况下实质是一种实数的运算
基本要求 略 高 要 求
二次根式及其性质 了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件 会利用二次根式的性质进行化简；能根据二次根式的性质对代数式做简单变形，在特定条件下确定字母的值
二次根式的化简和运算 理解二次根式的加减乘除运算法则 会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化）
中考的要求
二次根式
概念
最简二次根式
同类二次根式
性质
运算
加减：合并同类二次根式
乘法：
除法：
，分母有理化
知识结构
（同类二次根式是运算单位。
同类项是整式加减的运算单位）
实数运算顺序，运算律，乘法公式都适用
为什么要研究二次根式？
对二次根式有哪些方面的研究
二次根式可以按怎样的思路去研究
研究二次根式有什么用途
二次根式
1.为什么要研究二次根式？运算作为数与式的研究内容，在研究过程中不断地产生新的数学对象，使得数与式的研究对象得扩充
数
自然数
负整数和分数
有理数
无理数
实数
式
单项式
多项式
整式
分式
有理式
二次根式
代数式
第21章二次根式
加减
除法
开方
2.对二次根式有哪些方面研究,类比前面研究过的整式、分式，引导学生提出问题，学生会想到：
（1）二次根式的概念
（2）二次根式有意义的条件
（3）二次根式的性质
（4）二次根式的计算
3.二次根式可以按怎样的思路去研究
双重非负性
从互逆运算角度理解
对化简和运算至关重要
二次根式的意义
二次根式的性质
二次根式的化简
二次根式的运算
4.研究二次根式有什么用途
后续学习方程，不等式，函数，解析几何的基础。
在后续学习一元二次方程时，无论是开平方还是公式中根号部分的化简，都用到二次根式的化简。
课时安排
根据学校、班级的情况，划分适时学情的课时，我们经常说要尊重教材，但是尊重教材并不是指完全按照教材的顺序 和课时安排，在深刻领会课程理念的前提下，理解教材文本背后专家的编写意图，对教材进行创造性的重构，是对教材的最大尊重
定义
二次根式
性质
双重非负性
有意义
第1课时
形如
的式子
第2--4课时二次根式的运算
二次根式运算是二次根式的核心内容运算的学习可分为以下四步：
理解运算对象
掌握运算法则
探究运算思路
求得运算结果
1.运算对象是谁？2.它有什么特征？
怎么算？
算法、算理
确定运算顺序
是否最简
不同运算对象的关注度不同
依据运算性质调整运算顺序
运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。
二次根式
概念
最简二次根式
同类二次根式
性质
运算
加减：合并同类二次根式
乘法：
除法：
，分母有理化
（同类二次根式是运算单位。
同类项是整式加减的运算单位）
实数运算顺序，运算律，乘法公式都适用
第5课时
1.回顾二次根式研究的逻辑框架
2.选取核心内容，在问题解决中回顾知识
同类二次根式 同类项
所指对象不同 几个二次根式之间的关系 几个单项式之间的关系
判断标准不同 化简二次根式后看被开方数 看字母和相应的指数
判断方法不同 先化简在看被开方数 先看所含字母是否相同，再看相同字母的指数是否相同
判断同类二次根式的方法
不是同类二次根式
一化
化成最箭二次根式
二看
看被开方数是否相同
相同
不同
是同类二次根式
教 学 建 议
二次根式加减
同类二次根式
合并同类二次根式
化箭后被开方数相同的二次根式
系数相加减
被开方数和根指数不变
步骤
混合运算
化：化为最箭二次根式
找：找出同类二次根式
合：合并同类二次根式
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的
运算律，乘法公式仍适用
二次根式加减法法则巧记忆
二次根式相加减，运算之前先化简，
再观察被开方数，相同才能被合并，
二次根式根指数，被开方数均不变，
系数之和为系数，符号判断记心间。
题型1根据二次根式的非负性求值
已知实数x,y满足
+
=0，则以x,y为两边长的等腰三角形的周长
题型2根据利用二次根式的性质
化简求值
1.根据给定字母的取值范围进行化简求值
当3+
的值是
A-9 B9 C2a-5 D5-2a
2.借助二次根式的化简结果确定字母取值范围
a+
=2,则a的取值范围是
3.结合数轴进行化简
已知表示实数a,b,c的点在数轴上的位置如图所示，化简
.
.
.
c
a
0
b
-|a+c|+
-|b|
|a|-|a+c|+|c-b|-|b|
巩固提高
由"形"到"数"的转化步骤
观察数轴,确定点的位置
确定字母的符号
确定代数式的符号
化简求值
形
数
式
4.结合三角形的三边关系进行化简
在△ABC中,已知a,b,c是三角形的三边形，化简：
-2|c-a-b|
5.逆用 在实数范围内分解因式.
(1)
(2)
- 5
- 2x
掌控学生易错的环节，及时分析错因，不断巩固提高.
1.
2.
计算结果学生可能出现的问题：
（1）不化简
（2）较大数不会开方
-
【课标要求】
理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.
会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个是根是否相等.
了解一元二次方程根与系数的关系.（ 2022版，课标去掉了※ ）
能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，能根据实际意义检验方程解的合理性。
第22章一元二次方程
基本要求 略高要求 较高要求
一元二次方程 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项的系数；了解一元二次方程根的意义 能由一元二次方程的概念确定二次项系数所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值
一元二次方程的解法 理解配方法，会用直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法、解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据 能选择适当的方法解一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判断根的情况 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会应用一元二次方程解决简单的实际问题
中 考 的 要 求
知 识 结 构
实际问题
数学问题（一元二次方程）
设未知数，列方程
实际问题的答案
一元二次方程的解
解 方 程
降 次
开平方法
因式分解法
配方法
公式法
检 验
①一般到特殊（演绎思维）：
从方程概念演绎得出一元二次方程概念；
②特殊到特殊（类比思维）：
从一元一次方程或二元一次方程概念类比
得出一元二次方程概念；
形成一元二次方程的概念有三种教学方式：
教 学 建 议
③特殊到一般（归纳思维）：
若干现实问题→数学模型→概括归纳得出一元二次方程概念.
课本提供的教学方式是第三种教学方式这种教学方式：不但符合认知同化理论，而且最能反映内容的数学本质和最有利于学生的认知发展. 这就是课本的意图.
教 学 建 议
教 学 建 议
一元二次方程的解法
x(3x+2)-6(3x+2)=0
活动，请同学们观察列举出一元二次方程例子选择会解的方程解
(1)
教 学 建 议
(3)
形式简单
需要观察
需要构造
一般性
(4)
(2)
学生通过自己发现问题，主动寻找在已有知识和能力范围内能解决的 问题。在不断解决问题并寻找新问题的过程中，学生感受到数学知识之间的联系。感受到学习的内容和知识脉络在自己的掌握之中，并体验到不断挑战的乐趣。同时也培养学生在遇到问题时先观察问题，再选择适当方法，再尝试把新问题转化为原有问题解决的思维方式。
四种解法
一元二次方程的解法
（mx+n） =p（p>0或p=0）
直接开平方
用于方程一边可化为0，另一边可因式分解的方程
（mx+n） =p（p>0或p=0）
将方程化为
的形式，可用于所有方程
配方法
利用求根公式直接求解，可用于所有方程
公式法
前提是方程有实数根
根的判别式
根与系数的关系
两个不相等实根
两个相等实根
无实根(无解)
若一元二次方程的两根为
则
x1+x2=
-
x1x2=
因式分解法
方法 适用方程 关键步骤 主要特点
直接开平方法 （mx+n） =p（p>0或p=0）型 开平方 对缺少一次项的一元一次方程求解迅速
因式分解法 适用于一边为0，另一边能分解为两个一次因式乘积形式的方程 因式分解 对缺少一次项或常数项的一元一次方程求解迅速
配方法 所有一元一次方程 配方 解法繁琐，当二次项系数为1，一次项系数为偶数时用此方法简单
公式法 所有一元一次方程 代入求根公式 计算量大，易出现符号错误
首选直接开平方法.
其次考虑因式分解法.
再次对任何一元二次方程均可用公式法.
特殊要求时，采用配方法.
在灵活选用具体解法时，要把重点放在分析方程的形式特征上，并结合这些特征提出具体的有针对性的解法，强调其中的关键步骤所起的重要作用让学生自己感受这样选择的优势.
教 学 建 议
四种解法
一元二次方程的解法
（mx+n） =p（p>0或p=0）
直接开平方
用于方程一边可化为0，另一边可因式分解的方程
（mx+n） =p（p>0或p=0）
将方程化为
的形式，可用于所有方程
配方法
利用求根公式直接求解，可用于所有方程
公式法
前提是方程有实数根
根的判别式
根与系数的关系
两个不相等实根
两个相等实根
无实根(无解)
若一元二次方程的两根为
则
x1+x2=
-
x1x2=
因式分解法
不解一元二次方程，判断根的情况
根据方程根的情况，确定其中字母的值或取值范围
证明字母系数方程有无实数根
应用判别式判断三角形形状
一元二次方程
判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式.
一元二次方程根的判别式的应用
活动与探究（温馨提示：规范操作、注意安全）
知识讲解
难点突破
例1:不解方程x2+x=1，下列判断正确的是( )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
应用1：不解方程，判断一元二次方程根的情况
题型1
知识讲解
难点突破
例2:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A.k>-1 B.k>-1且k≠0
C.k<1 D.k<1且k≠0
根据方程根的情况，确定其中字母的值或取值范围
题型2
知识讲解
难点突破
解析：这一应用有两个难点：
1、忽略m=0的情况；
2、忽略根的判别式使用条件是：方程是一元二次方程。
应用3：证明方程根的情况
例3:求证：无论m为任何实数，关于x的方程mx2-(3m-1）x+2 (m -1）=0总有实数根。
题型3
题型4
例4. 已知方程 有两个相等的实数根, a,b,c为三角形的三条边，判断此三角形的形状.
证明：整理原方程得：
方程有两个相等的实数根
难点突破
知识讲解
应用根的判别式判断三角形的形状
例5 若关于a的二次三项式 是一个完全平方式，则k的值可能是（ ）.
题型5
解：令
　　　
　 ∵方程有两个相等的实数根，

∴Δ= -4×16×25=0

∴k=40或者-40
难点突破
判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式
【课堂小结】
求根公式中根
的判别式应用
应用1：不解方程，判断一元二次方程根的情况
应用2：已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件
应用3：证明方程根的情况
通过以上例题介绍了求根公式中判别式的五种应用，其实它的应用不仅仅是这些，比如与几何知识的问题，在解决二次函数的相关问题、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解以及求最值问题等都有应用。因此可以看出一元二次方程的判别式在初中数学中占有非常重要的地位，也是学习某些知识的基础。
应用4：应用跟的判别式判断三角形的形状
应用5：判断当字母的值为何值时，二次三项式时完全平方式
四种解法
一元二次方程的解法
（mx+n） =p（p>0或p=0）
直接开平方
用于方程一边可化为0，另一边可因式分解的方程
（mx+n） =p（p>0或p=0）
将方程化为
的形式，可用于所有方程
配方法
利用求根公式直接求解，可用于所有方程
公式法
前提是方程有实数根
根的判别式
根与系数的关系
两个不相等实根
两个相等实根
无实根(无解)
若一元二次方程的两根为
则
x1+x2=
-
x1x2=
因式分解法
根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系
不解方程说出下列各方程的两根之和与两根之积：
(1) x2 - 2x - 1=0
(3) 2x2 - 6x =0
(4) 3x2 = 4
(2) 2x2 - 3x + =0
x1+x2=2
x1x2=-1
x1+x2=
x1+x2=3
x1+x2=0
x1x2=
x1x2=0
x1x2= -
突出重点夯实基础
几种常见的求值（推论）
14
12
求：
＝
＝
1.求对称式的值
巩固提高
以 为两根的一元二次方程(二次项系数为1)为:
2.　已知两根求作新的方程（中考新考法）
例:求作以2和3为根 的一元二次方程
已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
3.已知一根求另一个根及字母系数
已知关于x的方程
当m= 时,此方程的两根互为相反数.
当m= 时,此方程的两根互为倒数.
4、已知方程两根的特殊关系求字母系数
实际问题
一般 步骤
常见类型
审、设、列、验、答
几何图形问题：边框类、小路类、栅栏类
增长率问题
利润问题
数字问题
其他问题
实际问题的答案
一元二次方程的根
建立一元二次方程模型
解方程
分析数量关系，设未知数
传播问题
循环问题
几何图形面积问题
平均增长率（降低率）问题 a为起始量，b为终止量，n为增长（或降低）的次数，
平均增长率公式：
利润问题
数字问题 100a+10b+c
传播问题
循环问题 单循环，如握手问题、单循环比赛（每两队之间一场比赛）等，进行的次数为
存款利息问题
常见问题
等量关系
设计常见计算有三角形的三边关系、勾股定理、各种规则图形的面积和周长等
(x为平均增长率）
平均降低率公式：
（x为平均降低率)
利润=售价-进价；利润率=
×
总利润=总售价-总成本=单价利润×总销售量
百位上的数是a十位上的数是b个位上的数是c
设a为传染源，x为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染总个数为
本息和=本金+利息
利息=本金×利率×期数
当所涉及的图形是不规则图形时，其关键是将不规则图形分割或组合程规则图形
例1.我校要在校园内墙边的空地上修建一个平面图为矩形的存车处，要求存车处的一面靠墙(墙长22m，如图所示），另外三面用90m的铁栅栏围起来，如果矩形存车处的面积为700m2，求矩形存车处的长和宽.
22m
存车处
解：设长方形平行于墙的一边长为xm，
则垂直于墙的一边长为_________，
根据题意，得
_______________
整理这个方程，得
_______________
解这个方程，得
_______________
______________(舍去）
答：这个长方形存车处的长和宽分别为_______________.
互助探究一
x
35m和20m
巩固练习
如图，有一矩形空地，一边靠墙，这堵墙的长为30m，另三边由一段总长度为35m的铁丝网围成．已知矩形空地的面积是125m2，设垂直于墙的一边长为xm,则x满足的方程为 ．
变式练习
如图，要利用一面墙（墙长为25m）建羊圈，用100m的围栏围成总面积为400 m2的三个大小相同的矩形羊圈，则AB= m ,BC= m.
A
B
D
C
如图，我校要建一个面积为150 m2的长方形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18m），并在与墙平行的一边上开一道1m宽的门.现在可用的材料为34m，设长方形仓库垂直于墙的一边长为xm，则x满足的方程为 .
变式练习
例题2： 如图，一块长为80cm,宽为60cm的长方形硬纸片，在四角各剪去一个同样的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求剪去的小正方形的边长.
互助探究二
解：设剪去的小长方形的边长xcm，根据题意，得
（80-2x）(60-2x)=1500.
整理这个方程，得
x2-70x+825=0 .
解这个方程，得
x1=15,x2=55(不合题意，舍去)
答：剪去的小长方形的边长15cm.
如图、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是______________________________.
巩固练习
如图，已知一本数学书长为26cm宽为18.5cm，厚为1cm，一张长方形包书纸如图所示，它的面积为1260cm2，虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围城的四角均为大小相同的正方形. 求正方形的边长.
解：设正方形的边长为xcm，根据题意，得
（_______）（_________）=1260
整理，得：_________________________.
解这个方程，得___________________
答：正方形的边长为_______cm.
变式练习
勤老伯
x
X
32 -x
20 -x
解 :设水渠的宽为 x米 .根据题意得
(32 -x)(20 -x)=540
解得 x1 =2, x2 =50(舍)
答 :水渠的宽为 2米.
勤老伯承包了一块长方形土地, 长 32米, 宽 20 米 .为了便于灌溉 , 他在土地上修筑了两条一样宽的水渠, 为使余下部分面积还有 540 平方米, 问 :水渠的宽 应为多少米
互助探究三
巧妙平移，转化图形
变式 1:若设计了如图 所示的水渠, 则水渠的宽又为多少米 长32米，宽20米。剩余空白面积还是540平方米。(只列方程, 不求解)
(32 -2х)(20 -х)=540
变式 2:若把水渠由直改为斜（水渠 宽不变，剩余面积不变） , 那么水渠的宽又是多少米
变式3
如图1，我校要在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为54m2，设道路的宽为xm，那么满足x的方程是 .
巩固练习
如图，我校计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是(　　)
A．(32－2x)(20－x)＝570
B.32x＋2×20x＝32×20－570
C.(32－x)(20－x)＝32×20－570
D.32x＋2×20x－2x2＝570
勤老伯在该土地上种植土豆, 喜获丰收, 经计算土豆成本 2元 /千克 , 若以 3元 /千克的价格出售 , 每天可售出 200千克, 为了促销, 勤老伯决定降价销售 .经调查发现, 这种土豆每降价 0.1元 /千克 , 每天可多售出 40千克 .
(1)勤老伯要想每天盈利 224 元, 应将每千克土豆的售价降低多少元
讨论1：已知量有哪些？利润、售价、进价三者之间有什 么关系？总利润、一件商品利润、销售量三者之间的关系？
讨论2：每降价X元，可多卖土豆多少千克？
讨论3：降价改变了什么？
讨论4：等量关系是什么？
总利润=（原利润-降幅）X（原销量+多卖的）
400x
(3-2-x)(200+400x)=224
勤老伯的土豆成本 2元 /千克 , 若以 3元 /千克的价格出售 ,则1千克的利润是 ；每天销售200千克，则一天的总利润是
利润=1件售价-1件进价
总利润=1件利润X销售量
返回
1元
200元
（一）商品定价问题
商店要进一批小家电，单价40元，经市场预
测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每
增加1元，销售量就减少10个。商店若准备获利
2000元，则应进货多少个？定价为多少？
（1）如何设未知数比较合适？
（2）需列哪些代数式？方程的解都符合题意吗？
中考
某市按国民经济发展规划要求，2010年的社会总
产值要比2008年增长21% ，求平均每年增长的百分率．（提示：基数为2008年的社会总产值，可视为a）
设每年增长率为x，2008年的总产值为a，则
2008年
a
2009年
a（1+x)
2010年
a(1+x) 2
增长21%
a
a+21%a
a(1+x) 2 =a+21%a
分析：
（二）增长率问题
中考
增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式。
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量
是b,则它们的数量关系可表示为
注意：
在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标。经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙两队合作24天可以完成。
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天，需付工程款2万元，若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还 是 由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
（三）工程问题
中考
知识梳理
列一元二次方程解实际应用题的步骤
审：审清题意
答：写出答案
检：检验所得的解是否符合题意
解：解一元二次方程
列：列一元二次方程
设：设未知数
明确已知、未知找到他们之间的等量关系，注意（等量关系往往体现在关键语句中）
设未知数，一种是直接设元法，另一种是间接设元法。注意（有单位的带单位）
用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程.注意（方程两边单位要统一）
根据方程的特点，选择适当的方法求出未知数的值。注意（一般不必写出解方程的过程）
检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义（一般两个根中只有一个符合实际意义）如人数必须为自然数，几何图形的边长为正数，商品成本的下降率小于1，银行存款利率不能为负等）
1.通过生活中的实例认识物体和图形的相似，知道相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一种变换.
2.探索并确认相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例及面积比的关系.
3.了解线段的比、成比例线段的概念，比例的基本性质，会判断已知线段是否成比例.
4.了解相似三角形的概念，探索两个三角形相似的条件及其主要性质.
5.能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题.
第23章图形的相似
【课标要求】
6.了解图形的位似，能利用位似的方法将一个图形放大或缩小.
7.了解三角形和三角形的中位线定理、三角形重心的概念以及有关应用.
8.能建立适当的坐标系，描述物体的位置.能灵活运用不同方式确定物体的位置.
9.在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化.
10.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，进一步培养学生演绎推理能力.
教 学 目 标
基本要求 略高要求
成比例 线段 了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割 会利用比例的基本性质解决有关问题
相似三 角形 了解两个三角形相似的概念 会利用相似三角形的性质和判定进行简单的推理和计算；会利用三角形相似解决一些实际问题
相似多边 形及位似 掌握相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似，了解图形的位似关系 会用相似多边形的性质解决简单的问题；能利用位似变换将图形放大或缩小
中考的要求
相似多边形的对应边成比例，对应角相等；对应边成比例，对应角相等的两个多边形是相似多边形
相似三角形的判
定方法和性质
相似三角形
相似多边形
相似
图形
坐标表示物
体的位置
坐标与图形的运动
三角形重心
三角形
中位线
梯形中位线
知 识 结 构
教 学 建 议
教学中要尽量从现实生活中的大量实例出发,设置丰富的问题情境,显示图形相似的有关内容,以直观的方式进行教学.
成比例线段
相似图形
成比例线段
平行线分线段成比例
基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所得的对应线段成比例。
推论
基本性质
其他性质
具有相同形状的图形
如果
那么ad=bc
如果ad=bc，那么
a,b,c,d都不等于0
如果
，那么
如果
那么
如果
，那么
（其中b+d+...+n
0)
【教材呈现】
（变背景）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同的音符来记载音乐。如图，A,B,C为直线I与五线谱的横线相交的三个点，若AB=6，则线段BC的长
学科融合
【2023长春市模22题】
相似三角形
A
C
B
B′
A′
C′
性质
应用
角
对应角相等
相关线段
对应边的比等于相似比
对应中线的比等于相似比
对应角平分线的比等于相似比
对应角平分线的比等于相似比
测量物高
测量物宽
周长比等于相似比
面积
周长
面积比等于相似比平方
利用影长、利用镜子的反射、利用标杆。
构造“A型”或“X”型相似三角形
对应边的比
平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所得的对应线段成比例。
两角相等
两边对应成比例且夹角相等
三边对应成比例
相似三角形模型
A
B
D
E
A型相似 条件：DE∥BC
所以: △ADE∽△ABC
A
B
C
D
E
X型相似
条件: DE∥BC
所以: △ADE∽△ABC
基 本 图 形
C
教学中要引导学生总结相似三角形的基本图形
及其变换
A
B
C
D
E
共角型相似
条件：∠AED=∠ABC
所以: △AED∽△ABC
A
B
C
D
(E)
共角共边型相似
条件：∠ACD=∠ABC
所以: △ACD∽△ABC
基 本 图 形
A
B
C
D
E
蝴蝶型相似
条件：∠D=∠C 或∠E=∠B 所以： △AED∽△ABC
双垂直三角形相似
条件：∠ADC=∠ACB=90°
所以：△ABC∽△ACD∽△CBD
基 本 图 形
相交弦定理
割线定理
切割线定理
1
2
A
B
C
D
P
A
B
C
D
P
1
2
条件：∠1=∠2, ∠A= ∠B= 900
所以： △APC∽△BPD
条件：∠A=∠CPD= ∠B= 900,
所以： △APC∽△DPB
基 本 图 形
M型相似
A
B
C
D
P
条件:∠A=∠CPD= ∠B
所以:△APC∽△DPB
基 本 图 形
一线三等角相似
一线三等角之相似篇
如图，已知DE∥BC，将△ADE绕点A旋转一定角度，连接BD、CE.
旋转△ADE
△ADE∽△ABC
△ABD∽△ACE
【模型应用】构造旋转相似模型
如图，在△ABC中，∠BAC=2∠DBC=60°，D为△ABC内一点，连接DA、DB、DC，若∠BDC=90°， ，AC=6，则AB的长为？
将△ADC绕点D顺时针旋转90°，并放大 倍.
原题 有一块三角形废料ABC，把它加工成正方形零件,使它的两个顶点在BC上,另两个顶点分别在AB,AC上,BC=12cm,BC边上的高AD=8cm.求正方形的边长.
C
B
A
E
F
G
H
D
M
引导学生找准核心知识点，应对一题多变
(1)有一块三角形废料ABC，把它加工成矩形零件， 使它的两个顶点在BC上，另两个顶点分别在AB，AC上，且使EH:EF=2:1，BC=12cm，高AD=8cm.求矩形零件的面积.
C
B
A
E
F
G
H
D
变式训练:
M
教 学 建 议
引导学生找准核心知识点，应对一题多变
原题 如图△ABC中，AB＞AC，BC=5，且BC边上的高为AM=3，内有一内接正方形DEFH，求该正方形的边长．
△ABC中，AB＞AC，BC=5，且BC边上的高为AM=3，内有两个相同的正方形，如图所示摆放，求正方形的边长；如果有三个这样相同的正方形如此摆放，正方形的边长又是多少呢？如果是n个正方形呢？
变式训练:
(2)有一块三角形废料ABC，把它加工成矩形零件，使它的两个顶点在BC上，另两个顶点分别在AB，AC上，BC=12cm,高AD=8cm.当矩形的长和宽分别为多少时矩形EHGF的面积是24cm2？此时E，H在AB，AC边上什么位置？
C
B
A
E
F
G
H
D
变式训练:
M
情境杠杆原理撬动物体
在生活中我们常用杠杆原理撬动较重的物体，如图，有一圆形石块，要使其滚动，杠杆的端点C必须向上翘起5cm，若AB段的长为120cm,BC段的长为20cm,则要使该石块滚动，杠杆的另一端点A必须向下压多少cm
学科融合
B
C
△ABM~△CBN
∵
∴
∴
∴
当CN≥5cm时,AM≥30cm
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压30cm
学科融合
利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题
古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB．
教学中要引导学生如何利用相似三角形性质解决实际问题
古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法:如图所示,为了测量金字塔的高度OB,先竖一根已知长度的木棒O′B′,比较棒子的影长A′B′ 与金字塔的影长AB,即可近似算出金字塔的高度OB. 如果O′B′=1， A′B′ =2，AB=274，求金字塔的高度OB.
O
B
A
O′
B′
A′
利用物高和影长
一
┐
┐
F
E
B
O
平面镜
我们还可以利用平面镜来求金字塔的高度。把镜子放在距离O点67米处，然后沿着直线OA向后倒退到点F，这时恰好在镜子里看到金字塔顶点B，再用皮尺量得FA=0.8m，观察者目高EF=1.6m。这时金字塔的高度多少？
1
2
A
D
3
4
学科整合
OB
EF
=
OA
AF
OB =
OA · EF
AF
△ABO∽△AEF
利用平面镜反射测量物体的高度（求物高的方法二）
“影子上墙”问题
相似三角形的应用
互助探究一
课本例题
　　如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO．
同一时刻同一地点，定值
同一时刻同一地点，定值
例1 如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长 BD 为 4m，墙上的影子 CD 长为 1m，同一时刻一根长为 1m 的垂直于地面上的标杆的影长为 0.5m，则树的高度为 m．
方法一 延长光线
解：连接AC并延长，交AD的延长线于点E.
∴即.
∴DE=0.5m.
∴BE=BD+DE=4.5m.
∵即.
∴AB=9m.
例1 如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长 BD 为 4m，墙上的影子 CD 长为 1m，同一时刻一根长为 1m 的垂直于地面上的标杆的影长为 0.5m，则树的高度为 m．
方法二 平移光线
解：连接AC,过点D作ED∥AC于E，
∵CD∥AE，则四边形AEDC为平行四边形，
∴AE=CD=1m，
∵=，即=
∴BE=8m，
∴AB=AE+BE=9m.
例1 如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长 BD 为 4m，墙上的影子 CD 长为 1m，同一时刻一根长为 1m 的垂直于地面上的标杆的影长为 0.5m，则树的高度为 m．
方法三：作垂直
解：连接AC，过点C作CE⊥AB于E.
则矩形EBDC中，EB=CD=1m，EC=DB=4m.
∵=，即=
∴AE=8m.
∴AB=AE+EB=9m.
例2 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上。如图，此时测得地面上的影长为 8 米，坡面上的影长为 4 米．已知斜坡的坡角为 30°，同一时刻，一根长为 1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米，则树的高度为______米.
方法一 延长光线
例2 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上。如图，此时测得地面上的影长为 8 米，坡面上的影长为 4 米．已知斜坡的坡角为 30°，同一时刻，一根长为 1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米，则树的高度为______米.
方法二 平移光线
例2 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上。如图，此时测得地面上的影长为 8 米，坡面上的影长为 4 米．已知斜坡的坡角为 30°，同一时刻，一根长为 1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米，则树的高度为______米.
方法三：作垂直
例3 兴趣小组的同学要测量树的高度。在阳光下，一名同学测得一根长为 1 米的竹竿的影长为 0.4 米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为 0.2 米，一级台阶高为 0.3 米，如图所示，若此时落在地面上的影长为 4.4 米，则树高为________米.
方法一 延长光线
例3 兴趣小组的同学要测量树的高度。在阳光下，一名同学测得一根长为 1 米的竹竿的影长为 0.4 米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为 0.2 米，一级台阶高为 0.3 米，如图所示，若此时落在地面上的影长为 4.4 米，则树高为________米.
方法二 平移光线
例3 兴趣小组的同学要测量树的高度。在阳光下，一名同学测得一根长为 1 米的竹竿的影长为 0.4 米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为 0.2 米，一级台阶高为 0.3 米，如图所示，若此时落在地面上的影长为 4.4 米，则树高为________米.
方法三：作垂直
总结：
1.构造相似直角三角形，确定直角三角形中的“物高”及所对应的“影长”；
2.运用同一时刻同一地点，物高与影长的比为定值，列出等式即可求解；
3.常用的方法有三种：延长光线、平移光线、作垂直.
一题多解，多解归一；
一题多变，万变同宗；
一题多问，众问同源。
问题：仅用无刻度的直尺，作线段AB的中点．
互助探究二
网格问题
做题：仅用无刻度的直尺，作线段AB的中点．
【思考】什么样的能？为什么能？
【结论】当点A、B满足 时，可以直接标记线段AB的中点．
做题：仅用无刻度的直尺，作线段AB的中点．
【思考】什么样的能？为什么能？
做题：仅用无刻度的直尺，作线段AB的中点．
【发现】当点A、B在两条平行的格线上时，能找到AB的中点。
做题：仅用无刻度的直尺，作线段AB的中点．
【探究】A，B不在两条平行的格线上呢？
做题：仅用无刻度的直尺，作线段AB的中点．
【探究】A，B不在两条平行的格线上呢？
做题：仅用无刻度的直尺，作线段AB的中点．
【探究】A，B不在两条平行的格线上呢？
做题：仅用无刻度的直尺，作线段AB的中点．
【探究】A，B不在两条平行的格线上呢？
1、标记中点
2、作出中线
3、平分面积
4、找重心
5、作△ABC的中位线
6、作2倍线段
。
【总结结论】经过三角形一边中点且平行于三角形另一边的直线，必平分第三边．
【结论应用】（1）如图①，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，点P是边BC上任意一点，连结AP交DE于点M，则M是AP中点，说明理由．
【结论应用】（2）如图②，只用无刻度是直尺，作线段AB的中点．
【拓展提升】图②，只用无刻度是直尺，作线段AB的三等分点．
类比教学法：利用学生已有的认知框架，帮助他们建立起新知识的联系和意义。
学科整合和融合 ：信息技术和课程适当整合，可以充分各种资源，提高教学质量和效率。学科融合可以将各个学科的知识和技能有机结合起来，创建一个更加全面和综合的课程体系
归纳总结：提升学习效率，避免遗忘；形成知识框架，促进知识消化；锻炼主动思考能力，发现薄弱环节，提高成绩
一题多变：变条件，变图形，变背景，培养学生思维的广阔性、灵活性、创造性。
长风破浪会有时，
直挂云帆济沧海。
让我们所有数学人乘风破浪，
携手远渡数学世界的碧海蓝天。
感谢各位的聆听！