第一章集合与常用逻辑用语 新定义创新题（含解析）

集合新定义创新题
1．设全集U＝{1，2， ，n}（n∈N*），集合A是U的真子集．设正整数t≤n，若集合A满足如下三个性质，则称A为
U的R（t）子集：
①t∈A； ② a∈A， b∈ UA，若ab∈U，则ab∈A； ③ a∈A， b∈ UA，若a+b∈U，则a+b A．
（Ⅰ）当n＝6时，判断A＝{1，3，6}是否为U的R（3）子集，说明理由；
（Ⅱ）当n≥7时，若A为U的R（7）子集，求证：2 A；
（Ⅲ）当n＝23时，若A为U的R（7）子集，求集合A．
2．设集合A为含有n个元素的有限集．若集合A的m个子集A1，A2，…，Am满足：
①A1，A2，…，Am均非空；
②A1，A2，…，Am中任意两个集合交集为空集；
③A1∪A2∪…∪Am＝A．
则称A1，A2，…，Am为集合A的一个m阶分拆．
若A＝{1，2，3}，写出集合A的所有2阶分拆（其中A1，A2与A2，A1为集合A的同一个2阶分拆）；
若A＝{1，2，3，…，n}，A1，A2为A的2阶分拆，集合A1所有元素的平均值为P，集合A2所有元素的平均值为Q，求|P﹣Q|的最大值；
设A1，A2，A3为正整数集合A＝{a1，a2， ，an}（n∈N*，n≥3）的3阶分拆．若A1，A2，A3满足任取集合A中的一个元素ai构成A1＝{ai}，其中i∈{1，2，3，…，n}，且A2与A3中元素的和相等．求证：n为奇数．
3．已知实数集A＝{a1，a2，…，an}（n≥3），定义φ（A）＝{aiaj|ai，aj∈A，i≠j}．
（Ⅰ）若A＝{﹣2，0，1，2}，求φ（A）；
（Ⅱ）若φ（A）＝{0，﹣6，﹣8，﹣12，12，18，24}，求集合A；
（Ⅲ）若A中的元素个数为9，求φ（A）的元素个数的最小值．
4．设有限集合E＝{1，2，3， ，N}，对于集合A E，A＝{x1，x2，x3， ，xm}，给出两个性质：
①对于集合A中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj（i≤j），使得xk＝xi+xj，则称A为E的封闭子集；
②对于集合A中任意两个元素xi，xj（i≠j），都有xi+xj A，则称A为E的开放子集．
（Ⅰ）若N＝20，集合A＝{1，2，4，6，8，10}，B＝{x|x＝3k+1，k≤6，k∈N*}，判断集合A，B为E的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论）
（Ⅱ）若N＝100，1∈A，100∈A，且集合A为E的封闭子集，求m的最小值；
（Ⅲ）若N∈N*，且N为奇数，集合A为E的开放子集，求m的最大值．
5．对于正整数集合A＝{a1，a2， ，an}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素ai（i＝1，2， ，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为平衡集．
（Ⅰ）判断集合B＝{1，3，5，7，9}是否为平衡集，并说明理由；
（Ⅱ）若集合A是平衡集，并且a1为奇数，求证：集合A中元素个数n为奇数；
（Ⅲ）若集合A是平衡集，并且a1为奇数，求证：集合A中元素个数n≥7． 6．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”．同
时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”；
试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断点是否是点（a，b）的“下位点”，证明你的结
论；
设正整数n满足以下条件：对集合{t|0＜t＜2022，t∈Z}内的任意元素m，总存在正整数k，使得点（n，k）既
是点（2022，m）的“下位点”，又是点（2023，m+1）的“上位点”，求满足要求的一个正整数n的值，并说明理由．
7．对于任意有限集S，T，定义集合S﹣T＝{x|x∈S，x T}，|S|表示S的元素个数．已知集合A，B为实数集R的非空有限子集，设集合C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}．
若A＝{1，2，3}，B＝{﹣1，1}，求集合C和|C|；
已知D为有限集，若D （0，+∞），证明：|A﹣D|+|B﹣D|+|D﹣C|≥1．
若|C|＝3，求|A| |B|的值．
8．定义两个非空数集A，B的“和集”为A+B＝{a+b|a∈A，b∈B}，对有限集合X，记card（X）＝|X|．
已知A＝{1，2，3}，B＝{﹣a|a∈A}，求出A+B与|A+B|；
任取非空有限数集A，B，证明：|A+B|≥|A|+|B|﹣1；
（3）S＝{﹣2022，﹣2021，…，2021，2022}的非空子集T满足： a，b，c∈T，都有a+b+c≠0，求|T|max．
9．已知，集合Sn＝{X|X＝（x1，x2，…，xn），xi＝0或1，i＝1，2，…，n}（n≥2），对于A＝（a1，a2，…，an）∈Sn，
B＝（b1，b2，…，bn）∈Sn，定义A与B之间的距离为：d（A，B）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|an﹣bn|．
对任意的A∈S2，B∈S2，请写出d（A，B）可能的值（不必证明）；
设P S4，且P中有4个元素，记P中所有元素间的距离的平均值为（P），求（P）的最大值；
对A＝（a1，a2，…，an）∈Sn，B＝（b1，b2，…，bn）∈Sn，定义：A﹣B＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…，|an﹣bn|）．求证：对任意的A，B，C∈Sn，有以下结论成立：
①d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B）；
②d（A，B）、d（B，C）、d（A，C）三个数中至少有一个是偶数．
10．已知集合A＝{1，2，3，…，n}（n∈N，n≥3），W A，若W中元素的个数为m（m≥2），且存在u，v∈W（u≠v），使得u+v＝2k（k∈N），则称W是A的P（m）子集．
（Ⅰ）若n＝4，写出A的所有P（3）子集；
（Ⅱ）若W为A的P（m）子集，且对任意的s，t∈W（s≠t），存在k∈N，使得s+t＝2k，求m的值；
（Ⅲ）若n＝20，且A的任意一个元素个数为m的子集都是A的P（m）子集，求m的最小值．
集合新定义创新题
参考答案与试题解析
1．设全集U＝{1，2， ，n}（n∈N*），集合A是U的真子集．设正整数t≤n，若集合A满足如下三个性质，则称A为
U的R（t）子集：
①t∈A； ② a∈A， b∈ UA，若ab∈U，则ab∈A； ③ a∈A， b∈ UA，若a+b∈U，则a+b A．
（Ⅰ）当n＝6时，判断A＝{1，3，6}是否为U的R（3）子集，说明理由；
（Ⅱ）当n≥7时，若A为U的R（7）子集，求证：2 A；
（Ⅲ）当n＝23时，若A为U的R（7）子集，求集合A．
【分析】（Ⅰ）取a＝1，b＝2，由ab＝2 A，不满足性质②，可得A不是U的R（3）子集；
（Ⅱ）通过反证法，分别假设1∈A，2∈A的情况，由不满足R（7）子集的性质，可证明出2 A；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得1∈ UA，2∈ UA，7∈A，再分别假设3∈A，4∈A，5∈A，6∈A四种情况，可得出3，4，5，6 A，再根据性质②和性质③，依次凑出8～23每个数值是否满足条件即可求出集合A．
【解答】解：（Ⅰ）当n＝6时，U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}， UA＝{2，4，5}，取a＝1，b＝2，则ab＝2∈U，但ab＝2 A，不满足性质②，
∴A＝{1，3，6}不是U的R（3）子集；
（Ⅱ）证明：当n≥7时，A为U的R（7）子集，则7∈A，
假设1∈A，设x∈ UA，即x A，取a＝1，b＝x，则ab＝x∈U，但ab＝x A，不满足性质②，
∴1 A，1∈ UA；假设2∈A，
取a＝2，b＝1，a+b＝3∈U，且a+b＝3 A，则3∈ UA，再取a＝2，b＝3，ab＝6∈U，则ab＝6∈A，
再取a＝6，b＝1，a+b＝7∈U，且a+b＝7 A，但与性质①7∈A矛盾，∴2 A．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当n≥7时，若A为U的R（7）子集，
1∈ UA，2∈ UA，7∈A，
∴当n＝23时，U＝{1，2， ，23}，
若A为U的R（7）子集，1∈ UA，2∈ UA，7∈A，若3∈A，取a＝3，b＝1，a+b＝4∈U，则4 A，4∈ UA，取a＝3，b＝4，a+b＝7∈U，则7 A，与7∈A矛盾，
则3 A，3∈ UA；若4∈A，取a＝4，b＝3，a+b＝7∈U，则7 A，与7∈A矛盾，则4 A，4∈ UA；若5∈A，取a＝5，b＝2，a+b＝7∈U，则7 A，与7∈A矛盾，则5 A，5∈ UA；若6∈A，取a＝6，b＝1，a+b＝7∈U，则7 A，与7∈A矛盾，则6 A，6∈ UA；取a＝7，b＝1，2，3，4，5，6，a+b＝8，9，10，11，12，13∈U，
则8，9，10，11，12，12 A，8，9，10，11，12，13∈ UA；取a＝7，b＝2，ab＝14∈U，则14∈A；取a＝14，b＝1，2，3，4，5，6，a+b＝15，16，17，18，19，20∈U，则15，16，17，18，19，20 A，15，16，17，18，19，20∈ UA；取a＝7，b＝3，ab＝21∈U，则21∈A；
取a＝21，b＝1，2，∈U，则22，23 A，22，23∈ UA．综上所述，集合A＝{7，14，21}．
【点评】本题考查集合中元素的性质、元素与集合的关系、A为U的R（t）子集等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
2．设集合A为含有n个元素的有限集．若集合A的m个子集A1，A2，…，Am满足：
①A1，A2，…，Am均非空；
②A1，A2，…，Am中任意两个集合交集为空集；
③A1∪A2∪…∪Am＝A．
则称A1，A2，…，Am为集合A的一个m阶分拆．
若A＝{1，2，3}，写出集合A的所有2阶分拆（其中A1，A2与A2，A1为集合A的同一个2阶分拆）；
若A＝{1，2，3，…，n}，A1，A2为A的2阶分拆，集合A1所有元素的平均值为P，集合A2所有元素的平均值为Q，求|P﹣Q|的最大值；
设A1，A2，A3为正整数集合A＝{a1，a2， ，an}（n∈N*，n≥3）的3阶分拆．若A1，A2，A3满足任取集合
A中的一个元素ai构成A1＝{ai}，其中i∈{1，2，3，…，n}，且A2与A3中元素的和相等．求证：n为奇数．
【分析】（1）根据给定的定义直接写出所有2阶分拆作答．
令P＞Q，设出集合A1及所其元素和，根据定义求出A2的元素和，求出P﹣Q结合不等式性质求解作答．
设A2、A3及A中元素的和，按ai为奇数、偶数推理判断作答．
【解答】解：（1）A＝{1，2，3}，集合A的所有2阶分拆是：{1，2}，{3}；{1，3}，{2}；{2，3}，{1}．
依题意，不妨设P＞Q，A1＝{a1，a2， ，ap}，T＝a1+a2+ +ap，
(
，
，
当
且
仅
当
所
以
|
P
﹣
Q
|
的
最
大
值
是
．
)则 ，而
所以 时取等号，
证明：依题意，A2∩A3＝ ，A2∪A3＝{a1，a2， ，ai﹣1，ai+1， ，an}，A2与A3中元素的和相等，设A2与A3中元素的和为mi，集合A中所有元素之和为S，于是S＝2mi+ai（i＝1，2， ，n），
①当集合A中存在元素aj（1≤j≤n）为奇数时，
因为S＝2mj+aj，2mj是偶数，于是S是奇数，对于任意ai（i＝1，2， ，n），均有ai＝S﹣2mi，因此此时集合A中的元素均为奇数，因为S为奇数，且只有奇数个奇数的和为奇数，所以n为奇数；
②当集合A中存在元素aj（1≤j≤n）为偶数时，
因为S＝2mj+aj，2mj是偶数，于是S是偶数，对于任意ai（i＝1，2， ，n），均有ai＝S﹣2mi，
因此此时集合A中的元素均为偶数，对于一个偶数a（ii＝1，2， ，n），均存在正整数pi和奇数ki，使得，
显然集合A中的元素除以2，仍然满足条件，将集合A中的元素不断除以2，直至有一个奇数，此时，由①可得n为奇数，综上得：n为奇数．
【点评】本题考查集合新定义问题，解题的关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义进行集合的分拆并结合集合元素的性质，分类讨论，进行推理判断解决，属于难题．
3．已知实数集A＝{a1，a2，…，an}（n≥3），定义φ（A）＝{aiaj|ai，aj∈A，i≠j}．
（Ⅰ）若A＝{﹣2，0，1，2}，求φ（A）；
（Ⅱ）若φ（A）＝{0，﹣6，﹣8，﹣12，12，18，24}，求集合A；
（Ⅲ）若A中的元素个数为9，求φ（A）的元素个数的最小值．
【分析】（Ⅰ）根据定义φ（A）＝{aiaj|ai，aj∈A，i≠j}，即可求解；
（Ⅱ）根据题意0∈A，其次A中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负，记A＝{0，a，b，c，d}，不妨设a
＜0＜b＜c＜d或者a＜b＜c＜0＜d，分情况讨论即可；
（Ⅲ）先证明|φ（A）|≥13，考虑到将A中的所有元素均变为原来的相反数时，集合φ（A）不变，故不妨设A中正
数个数不少于负数个数，接下来分类讨论，情况一：A中没有负数，情况二：A中至少有一个负数，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）φ（A）＝{﹣4，﹣2，0，2}；
（Ⅱ）首先，0∈A；
其次A中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负，
记A＝{0，a，b，c，d}，不妨设a＜0＜b＜c＜d或者a＜b＜c＜0＜d，
bd，cd}＝{12，18，24}，相乘可知bcd＝72，abcd＝﹣576，从而a＝﹣8 a＝﹣2，
从而{b，c，d}＝{3，4，6}，所以A＝{0，﹣2，3，4，6}；
②当a＜b＜c＜0＜d时，与上面类似的方法可以得到d3＝8 d＝2，进而{b，c，d}＝{﹣3，﹣4，﹣6}，从而A＝{0，2，﹣3，﹣4，﹣6}，
所以A＝{0，﹣2，3，4，6}或者A＝{0，2，﹣3，﹣4，﹣6}；
（Ⅲ）估值+构造，需要分类讨论A中非负元素个数，先证明|φ（A）|≥13，考虑到将A中的所有元素均变为原来的相反数时，集合φ（A）不变，故不妨设A中正数个数不少于负数个数，接下来分类讨论：情况一：A中没有负数，
不妨设0≤a1＜a2＜…＜a9，则0≤a1a2＜a2a3＜a2a4＜…＜a2a9＜a3a9＜…＜a8a9，
上式从小到大共有1+7+6＝14个数，它们都是φ（A）的元素，这表明|φ（A）|≥14；情况二：A中至少有一个负数，设b1，b2，…，bs是A中的全部负元素， c1，c2，…，ct是A中的全部非负元素．
不妨设bs＜bs﹣1＜…＜b1＜0≤c1＜c2＜…＜ct，其中s，t为正整数，s+t＝9，s≤4，t≥5，
则0≥b1c1＞b1c2＞…＞b1ct＞b2ct＞…＞bsct，
以上是φ（A）中的s+t﹣1＝8个非正数元素，另外，注意到c2c3＜c2c4＜c2c5＜c3c5＜c4c5，它们是φ（A）中的5个正数，这表明|φ（A）|≥13；综上可知，总有|φ（A）|≥13，
另一方面，当A＝{0，±1，±2，±22，±23}时，φ（A）＝{0，﹣1，±2，±22，±23，±24，±25，﹣26}中恰有13个元素，综上所述，φ（A）中元素个数的最小值为13．
【点评】本题考查了集合与元素的综合应用，属于难题．
4．设有限集合E＝{1，2，3， ，N}，对于集合A E，A＝{x1，x2，x3， ，xm}，给出两个性质：
①对于集合A中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj（i≤j），使得xk＝xi+xj，则称A为E的封闭子集；
②对于集合A中任意两个元素xi，xj（i≠j），都有xi+xj A，则称A为E的开放子集．
（Ⅰ）若N＝20，集合A＝{1，2，4，6，8，10}，B＝{x|x＝3k+1，k≤6，k∈N*}，判断集合A，B为E的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论）
（Ⅱ）若N＝100，1∈A，100∈A，且集合A为E的封闭子集，求m的最小值；
（Ⅲ）若N∈N*，且N为奇数，集合A为E的开放子集，求m的最大值．
【分析】（Ⅰ）利用封闭子集，开放子集定义可得答案；
（Ⅱ）A＝{1，x2，x3， ，xm﹣1，100}，设1＜x2＜x3＜ ＜xm﹣1＜100，因集合A中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj（i≤j），使得xk＝xi+xj，则xn﹣1+1≤xn≤2xn﹣1，其中2≤n≤m，n∈N*，据此可得7≤x7≤64＜
100，得m＞7，后排除m＝8，再说明m＝9符合题意即可；
（Ⅲ）因为N∈N*，且N为奇数，当N＝1时，得m＝1，当N≥3，将E＝{1，2，3， ，N}里面的奇数组成集合A，说明集合A为E开放子集，且m＝为最大值即可．
【解答】解：（Ⅰ）对于A，∵2＝1+1，4＝2+2，6＝2+4，8＝2+6，10＝2+8，且A E，则A为E的封闭子集．
对于B，由题可得B＝{4，7，10，13，16，19}，
其中任意两个元素相加之和都不在集合B中，任意元素也不是其他两元素之和，且B E，
∴B是E的开放子集．
（Ⅱ）由题意，A＝{1，x2，x3， ，xm﹣1，100}，设1＜x2＜x3＜ ＜xm﹣1＜100，
∵集合A中任意一个元素中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj（i≤j），使得xk＝xi+xj，则xn﹣1+1≤xn≤2xn﹣1，其中n∈[2，m]，n，xn∈N*，得x2＝2，3≤x3≤4，4≤x4≤8，5≤x5≤16，6≤x6≤32，7≤x7≤64，
∵7≤x7≤64＜100，则m＞7，
若m＝8，则x8＝100，则在A中存在元素xi，xj（i≤j），使它们的和为100，又1＜x2＜x3＜ ＜xm﹣1＜100，
则当i＜j时，xi+xj≤x6+x7≤96＜100，得x8＝2x7，解得x7＝50，
∴在A中存在元素xi，xj（i≤j），使它们的和为50，又当i＜j时，xi+xj≤x4+x5≤24＜25，
∴不存在元素xi，xj（i≤j），使x6＝xi+xj，
这与集合A为E的封闭子集矛盾，故m≠8，
当m＝9，取A＝{1，2，4，8，16，32，64，96，100}，
∴其符合E的封闭子集的定义，∴m的最小值为9．
（Ⅲ）∵N∈N*，且N为奇数，当N＝1时，得m＝1，
当N≥3时，将E＝{1，2，3， ，N}里面的奇数组成集合A，则A＝{1，3，5，7， ，N}，
∵A中每个元素都是奇数，而任意两个奇数之和为偶数，且A E，则A为E开放子集，此时集合A元素个数为，下面说明为m最大值，
N＝1，成立；当N≥3时，若m＞，则A中至少有一个属于E＝{1，2，3， ，N}的偶数，
设为at，则2≤at≤N﹣1，得at+1为属于集合{1，3，5，7， ，N，at}中的奇数，这与E开放子集的定义矛盾，故m≤，
综上，m的最大值为．
【点评】本题考查封闭子集、开放子集的定义及应用等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
5．对于正整数集合A＝{a1，a2， ，an}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素ai（i＝1，2， ，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为平衡集．
（Ⅰ）判断集合B＝{1，3，5，7，9}是否为平衡集，并说明理由；
（Ⅱ）若集合A是平衡集，并且a1为奇数，求证：集合A中元素个数n为奇数；
（Ⅲ）若集合A是平衡集，并且a1为奇数，求证：集合A中元素个数n≥7．
【分析】（Ⅰ）利用平衡集的定义直接判断求解．
（Ⅱ）设集合A＝{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥3），所有元素之和为M，推导出ai（i＝1，2，3...，n）同为奇数或同为偶数．当M为奇数时，则ai（i＝1，2，3...，n）也均为奇数，从而n为奇数；当M为偶数时，则ai（i＝1，2， 3...，n）也均为偶数，设a1＝2b1，推导出{b1，b2，…，bn}（n∈N*，n≥3）为“平衡集”，由此能证明集合A中元素个数为奇数．
（Ⅲ）集合A＝{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥3）中元素个数为奇数，当n＝3时，任意集合{a1，a2，a3}都不是“平衡集”；当n＝5时，推导出不存在“平衡集”；当n＝7时，推导出集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}是“平衡集”，由此能证明集合A中元素个数n≥7．
【解答】（Ⅰ）解：对于正整数集合A＝{a1，a2， ，an}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素ai（i＝1，2， ，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为平衡集．根据“平衡集”的定义知，当集合为{1，3，5，7，9}时：去掉元素3，则不可拆分成符合题意的平衡集，所以集合B＝{1，3，5，7，9}不是平衡集．
（Ⅱ）证明：设集合A＝{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥3），所有元素之和为M．由题意可知，M﹣ai（i＝1，2，3...，n）均为偶数，因此ai（i＝1，2，3...，n）同为奇数或同为偶数．（1）当M为奇数时，则ai（i＝1，2，3...，n）也均为奇数，由于M＝a1+a2+...+an，所以n为奇数．
（2）当M为偶数时，则ai（i＝1，2，3...，n）也均为偶数，此时可设a1＝2b1，因为{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥3）为“平衡集”，所以{b1，b2，…，bn}（n∈N*，n≥3）也为“平衡集”．
重复上述有限次操作后，便可得到一个各元素均为奇数的“平衡集”，且对应新集合之和也为奇数，由（Ⅰ）可知此时n也为奇数．综上所述，集合A中元素个数为奇数．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知集合A＝{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥3）中元素个数为奇数，不妨假设：当n＝3时，显然任意集合{a1，a2，a3}都不是“平衡集”；
当n＝5时，设集合{a1，a2，a3，a4，a5}，其中a1＜a2＜a3＜a4＜a5}，
将集合{a1，a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有a1+a5＝a3+a4①或a5＝a1+a3+a4②；
将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有a2+a5＝a3+a4③或a5＝a2+a3+a4④，
由①，③可得a1＝a2，矛盾；由①，④可得a1＝a2，矛盾；由②，③可得a1＝a2，矛盾；由②，④可得a1＝a2，矛盾．因此当n＝5时，不存在“平衡集”；当n＝7时，设集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，去掉元素1，3+5+7+9＝11+13；去掉元素3，1+9+13＝5+7+11，去掉元素5，9+13＝1+3+7+11；去掉元素7，1+9+11＝3+5+13，去掉元素9，1+3+5+11＝7+13；去掉元素11，3+7+9＝1+5+13，
去掉元素13，1+3+5+9＝7+11，所以集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}是“平衡集”．因此集合A中元素个数n的最小值是7．故集合A中元素个数n≥7．
【点评】本题考查平衡集的定义、元素与集合的关系、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
6．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”．同
时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”；
试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断点是否是点（a，b）的“下位点”，证明你的结
论；
设正整数n满足以下条件：对集合{t|0＜t＜2022，t∈Z}内的任意元素m，总存在正整数k，使得点（n，k）既是点（2022，m）的“下位点”，又是点（2023，m+1）的“上位点”，求满足要求的一个正整数n的值，并说明理由．
【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标；
先由点（a，b）是点（c，d）的“上位点”得 ＞ ，作差化简得ad﹣bc＞0，结合所得结论、定义，利用作差
法可判断出点P（）是否是点（a，b）的“下位点”；
借助（2）的结论，证明点P（a+c，b+d）既是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”，再利用所证结论即可得到满足要求的一个正整数n的值．
【解答】解：（1）根据题设中的定义可得点（3，5）的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为（3，4）和（3，
7）．
（2）点P（ ， ）是点（a，b）的“下位点”．
证明：∵点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，∴，
∵a，b，c，d均大于0，∴ad＞bc，∴ad﹣bc＞0，
(
∴
﹣
＝
＝
∴
点
P
（
）
是
点
（
a
，
b
）
的
“
下
位
点
”
．
)＜0，∴，
（3）可证点P（a+c，b+d）既是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”．证明：∵点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，∴，
∵a，b，c，d均大于0，∴ad＞bc，∴ad﹣bc＞0，
∴ ﹣ ＝ ＝ ＝ ＞0，即 ＞ ，∴点P（a+c，b+d）是点（c，d）的“上位点”，同理得 ＝ ＝ ，
即 ，∴点P（a+c，b+d）是点（a，b）的“下位点”，
∴点P（a+c，b+d）既是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”，
根据题意知点（n，k）既是点（2022，m）的“下位点”，又是点（2023，m+1）的“上位点”对m∈{t|0＜t＜2022，t∈Z} 时恒成立，
根据上述的结论知，当n＝2022+2023＝4045，k＝2m+1时，满足条件，故n＝4045．
【点评】本题考查“上位点”“下位点的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
7．对于任意有限集S，T，定义集合S﹣T＝{x|x∈S，x T}，|S|表示S的元素个数．已知集合A，B为实数集R的非空有限子集，设集合C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}．
若A＝{1，2，3}，B＝{﹣1，1}，求集合C和|C|；
已知D为有限集，若D （0，+∞），证明：|A﹣D|+|B﹣D|+|D﹣C|≥1．
若|C|＝3，求|A| |B|的值．
【分析】（1）根据给定的定义，求出集合C及其元素个数作答．
分A∪B中至少含有一个不在D中的元素，（A∪B） D两种情况分别推理作答；
根据给定条件，确定集合A，B中元素个数即可计算作答．
【解答】解：（1）集合C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，而A＝{1，2，3}，B＝{﹣1，1}，
∴C＝{0，1，2，3，4}，|C|＝5．
（2）证明：依题意，|A﹣D|≥0，|B﹣D|≥0，|D﹣C|≥0，
|A﹣D|+|B﹣D|≥|（A∪B）﹣D|，当且仅当A∩B＝ 时，取等号，
若A∪B中至少含有一个不在D中的元素，则有|A﹣D|+|B﹣D|≥|（A∪B）﹣D|≥1，当（A∪B） D时，则有|A﹣D|＝|B﹣D|＝0，
∵D为有限集，且D （0，+∞），令D的最小元素为d，此时集合A中最小的元素为a≥d，集合B中最小的元素b≥d，
∴集合C中最小的元素为a+b≥2d，∴d C，
∴|D﹣C|≥1，有|A﹣D|+|B﹣D|+|D﹣C|＝|D﹣C|≥1， ∴|A﹣D|+|B﹣D|+|D﹣C|≥1．
（3）|C|＝3，∵集合C＝{x\x＝a+b，a∈A，b∈B}，若|A|≥4或|B|≥4，则|C|≥4，不合题意，
∴|A|≤3或|B|≤3，
当集合A，B中有存在3元素的集合时，令|A|＝3，令A＝{a1，a2，a3}，a1＜a2＜a3，若B＝{b1，b2}，b1＜b2，则有a1+b1＜a2+b1＜a2+b2＜a3+b2，若c2﹣c1＝d2﹣d1，则c2+d1＝c1+d2，满足|C|＝3，此时|A| |B|＝4．若c2﹣c1≠d2﹣d1，则c2+d1≠c1+d2，此时|C|＝4，不合题意，
∴|A| |B|的值为3或4．
【点评】本题考查元素与集合的关系、集合新定义、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
8．定义两个非空数集A，B的“和集”为A+B＝{a+b|a∈A，b∈B}，对有限集合X，记card（X）＝|X|．
已知A＝{1，2，3}，B＝{﹣a|a∈A}，求出A+B与|A+B|；
任取非空有限数集A，B，证明：|A+B|≥|A|+|B|﹣1；
S＝{﹣2022，﹣2021，…，2021，2022}的非空子集T满足： a，b，c∈T，都有a+b+c≠0，求|T|max．【分析】（1）首先确定集合B，由A+B和|A+B|定义可得结果；
设A＝{a1，a2，a3， ，an}，B＝{b1，b2，b3， ，bm}，可知|A+B|min＝m+n﹣1，由此可得结论；
分别在0∈T和0 T的情况下，确定|T|的范围，进而得到最大值．
【解答】解：（1）∵B＝{﹣a|a∈A}＝{﹣3，﹣2，﹣1}，∴A+B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴|A+B|＝5．
（2）证明：设A＝{a1，a2，a3， ，an}，B＝{b1，b2，b3， ，bm}，
则当|A+B|最小时，A+B＝{a1+b1，a1+b2，a1+b3， ，a1+bm，a2+bm，a3+bm， ，an+bm}，∴|A+B|min＝m+n﹣1，又|A|＝n，|B|＝m，∴|A+B|≥m+n﹣1＝|A|+|B|﹣1．（3）∵ a，b，c∈T，都有a+b+c≠0，若0∈T，则a≠﹣b，若|T|最大，则T＝{﹣2022，﹣2021， ，﹣1，0}或T＝{0，1，2， ，2021，2022}，∴|T|max ＝2023；若0 T，若a∈[﹣2022，﹣1]且a∈Z，则﹣（b+c） T，∴|T|≤2022，综上所述：|T|max＝2023．
【点评】本题考查集合中的新定义问题；证明不等式的关键是能够确定|A+B|取得最小值的情况；求解|T|max的关键是能够通过对于集合中元素规律的分析，采用分类讨论的方式确定不同情况下|T|的最大值，从而得到结论．属于较难题．
9．已知，集合Sn＝{X|X＝（x1，x2，…，xn），xi＝0或1，i＝1，2，…，n}（n≥2），对于A＝（a1，a2，…，an）∈Sn，
B＝（b1，b2，…，bn）∈Sn，定义A与B之间的距离为：d（A，B）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|an﹣bn|．（1）对任意的A∈S2，B∈S2，请写出d（A，B）可能的值（不必证明）；
设P S4，且P中有4个元素，记P中所有元素间的距离的平均值为（P），求（P）的最大值；
对A＝（a1，a2，…，an）∈Sn，B＝（b1，b2，…，bn）∈Sn，定义：A﹣B＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…，|an﹣bn|）．求证：对任意的A，B，C∈Sn，有以下结论成立：
①d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B）；
②d（A，B）、d（B，C）、d（A，C）三个数中至少有一个是偶数．
【分析】（1）（2）由新定义计算；
（3）由新定义与反证法证明．
【解答】解：（1）由题意得S2＝{（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}，A∈S2，B∈S2，
则由已知定义可知，d（A，B）可能的值为0，1，2共3个值；
设P＝{A，B，C，D}，4个元素中第1个位置共t个1，4﹣t个0，下面对t的可能取值进行分类讨论如下：当t＝0时，s1＝|a1﹣b1|+|a1﹣c1|+|a1﹣d1|+|b1﹣c1|+|b1﹣d1|+|c1﹣d1|＝0，当t＝1时，s1＝|a1﹣b1|+|a1﹣c1|+|a1﹣d1|+|b1﹣c1|+|b1﹣d1|+|c1﹣d1|＝3，当t＝2时，s1＝|a1﹣b1|+|a1﹣c1|+|a1﹣d1|+|b1﹣c1|+|b1﹣d1|+|c1﹣d1|＝4，当t＝3时，s1＝|a1﹣b1|+|a1﹣c1|+|a1﹣d1|+|b1﹣c1|+|b1﹣d1|+|c1﹣d1|＝3，当t＝4时，s1＝|a1﹣b1|+|a1﹣c1|+|a1﹣d1|+|b1﹣c1|+|b1﹣d1|+|c1﹣d1|＝0，
若要使（P）最大，则t＝2，同理得第2，3，4个位置各有2个1，2个0，所以（P）的最大值为；
①由题意得ai，bi，ci∈{0，1}，i＝1，2， ，n，
若ci＝0，则|ai﹣ci|＝ai，|bi﹣ci|＝bi，||ai﹣ci|﹣|bi﹣ci||＝|ai﹣bi|，若ci＝1，则|ai﹣ci|＝1﹣ai，|bi﹣ci|＝1﹣bi，||ai﹣ci|﹣|bi﹣ci||＝|bi﹣ai|＝|ai﹣bi|，
故d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B），
②由①可设d（A，B）＝d（A﹣B，0）＝k，d（B，C）＝d（B﹣C，0）＝m，d（A，C）＝d（A﹣B，C﹣B）＝n，则|A﹣B|中有k个1，|C﹣B|中有m个1，设t是使得|ai﹣bi|＝|ci﹣bi|＝1成立的i的个数，
则n＝k+m﹣2t，
假设k，m，n均为奇数，则k+m﹣2t为偶数，矛盾，故假设不成立，
故d（A，B）、d（B，C）、d（A，C）三个数中至少有一个是偶数，即证．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了元素与集合的关系，考查了逻辑推理的能力，属于难题．
10．已知集合A＝{1，2，3，…，n}（n∈N，n≥3），W A，若W中元素的个数为m（m≥2），且存在u，v∈W（u≠v），使得u+v＝2k（k∈N），则称W是A的P（m）子集．
（Ⅰ）若n＝4，写出A的所有P（3）子集；
（Ⅱ）若W为A的P（m）子集，且对任意的s，t∈W（s≠t），存在k∈N，使得s+t＝2k，求m的值；
（Ⅲ）若n＝20，且A的任意一个元素个数为m的子集都是A的P（m）子集，求m的最小值．
【分析】（1）根据P（m）子集的定义的定义，即可容易求得．
取W＝{1，3}，求得m＝2，再利用反证法假设m≥3，推得a1＜0与a1≥1矛盾即可；
令W0＝{20，19，18，17，11，10，9，3，16，8，4，2}，讨论m≤12时不满足题意，再验证m≥13时的情况满足题意，即可求得m的最小值．
【解答】解：（1）当n＝4时，A＝{1，2，3，4}，
则当u＝1时，v＝3，k＝2时，，满足条件1+3＝22，即{1，3} W，故A的所有P（3）子集有{1，2，3}，{1，3，4}；
（2）当n≥3时，取W＝{1，3}，∵1+3＝22，∴W是A的P（2）子集，此时m＝2，若m≥3，设a1，a2，a3∈W，且1≤a1＜a2＜a3，
根据题意 (
，
，
)，∴k1＜k2＜k3，
∵k1，k2，k3∈N，∴k3≥k2+1，
(
，
∴
a
1
+
a
2
+
a
3
＝
（
∴
a
1
＝
（
）
﹣
＝
（
）
，
≤
，
＜
0
，
)∴2（a1+a2+a3）＝ ），
∵
∴
∴a1＜0，与a1≥1矛盾，综上，m＝2．
（3）设A1＝{20，12}，A2＝{19，13}，A3＝{18，14}，A4＝{17，15}，A5＝{11，5}，
A6＝10，6，A7＝9，7，A8＝{1，3}，B1＝{2}，B2＝{4}，B3＝{8}，B4＝{16}，设W的元素个数为m，
若W不是A的P（m）的子集，
则W最多能包含A1，A2，A3， ，A8中的一外元素以及B1，B2，B3，B4中的元素，
令W0＝{20，19，18，17，11，10，9，3，16，8，4，2}，验证W0不是A的P（12）子集，当m≤12时，W0的任意一个元素个数为m的子集都不是A的的P（m）子集，
∴A的任意一个元素个数为m的子集都是A的P（m）子集，则m≥13，
当m≥13时，存在i∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，使得W中必有两个元素属于A，同时Ai中两个元素之和为2的某个正整数指数幂，
∴W是A的P（m）子集，∴m的最小值为13．
【点评】本题考查集合新定义，处理问题的关键是充分把握题中对P（m）子集的定义、同时要熟练元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是难题．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/2613:41:39；用户：18355600522；邮箱：18355600522；学号：44053248