第26章 二次函数课件

课件13张PPT。
试一试:
要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎么样围法才能使围成的花圃的面积最大？26.1 二次函数第26章 二次函数试一试:
要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设与墙垂直的一边为xm,矩形的面积为y试(1)写出y关与x的函数关系式.
(2)当x=3时,矩形的面积为多少?(0（1）正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2）是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关系式．观察上面两个函数,与一次函数比较,你能发现有什么区别的地方吗?注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.想一想:函数的自变量x是否可以取任何值呢?称：a为二次项系数， b为一次项系数， c为常数项，做一做:下列函数中，哪些是二次函数？
( )
( )
( ) 否
是否否( )是( )
例1.若函数 为二次函数，求m的值。解：因为该函数为二次函数，
则解（1）得：m=2或-1解（2）得：所以m=2注意:二次函数的二次项系数不能为零
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．（2）由题意得 其中y是x的二次函数；（3）由题意得 其中S是x的
二次函数解: （1）由题意得 其中S是a的二次函数；在实践中感悟1.下列函数中,哪些是二次函数？ (1) y=3(x-1)2+1 (3) s=3-2t2 (5)y=(x+3)2-x2 (6)v=10πr2（是）（否）（是）（否）（否）（是）(7) y=x2+x3+25(8)y=22+2x（否）（否）(2)驶向胜利的彼岸2.当m取何值时，函数是y= (m+2)x
分别 是一次函数？
反比例函数？ m2-2二次函数？知 识 运 用 如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,则k的值一定是______
敢于创新0如果函数y= +kx+1是二次函数,
则k的值一定是______
0,3知识的升华已知函数

(1) k为何值时，y是x的一次函数？
(2) k为何值时，y是x的二次函数？称：a为二次项系数， b为一次项系数， c为常数项课件27张PPT。26.2 二次函数的
图象与性质 第2课时复习:1.二次函数 的图象及性质：(1)图象是 ；(2)顶点为 ，
对称轴为 ；复习(3)当a>0时，抛物线
开口向 ，顶点是
最 点，在对称轴
的左侧，y随x的增大
而 ，在对称轴
的左侧，y随x的增大
而 ，a值越大，
开口越 ；复习(4)当a<0时，抛物线
开口向 ，顶点是
最 点，在对称轴
的左侧，y随x的增大
而 ，在对称轴
的左侧，y随x的增大
而 ，a值越大，
开口越 .一、在同一平面直角坐标系中画出下列二次函数的图象：探究探究-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 49
8
7
6
5
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3
2
1
-1xy-2二、关于三条抛物
线，你有什么看法？上下平移得到归纳用平移观点看函数：xyo 抛物线 可以看作是由
抛物线 平移得到。(1)当c>0时，向上平移
个单位；(2)当c<0时，向下平移
个单位；巩固2、二次函数 是由二次函
数 向 平移 个单位得到的。3、二次函数 是由二次函
数 向上平移5个单位得到的。探究-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 49
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-1xy-2三、观察三条抛物线：(1)开口方向是什么？开口都向上探究-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 49
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-1xy-2三、观察三条抛物线：(2)开口大小有没有
变化？没有变化探究-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 49
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-1xy-2三、观察三条抛物线：(3)对称轴是什么？对称轴是y轴探究-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 49
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-1xy-2三、观察三条抛物线：(4)顶点各是什么？(0，3)(0，0)(0，-2)探究-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 49
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-1xy-2三、观察三条抛物线：(5)增减性怎么样？对称轴左侧递减对称轴右侧递增二次函数 的图象及性质：归纳1.图象是一条抛物线，对称轴为y轴，顶点为(0，c)。二次函数 的图象及性质：归纳2.当a>0时，开口向上；
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；
当x=0时，y取最小值为c。二次函数 的图象及性质：归纳3.当a<0时，开口向下；
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；
当x=0时，y取最大值为c。巩固4、说出下列函数图象的性质：开口方向、对称轴、顶点、增减性。范例巩固5、已知一次函数 的图象如图
所示，则二次函数 的图象大
致是如下图的( )小结二次函数 的图象及性质：(1)形状、对称轴、顶点坐标；(2)开口方向、极值、开口大小；(3)对称轴两侧增减性。
1.把抛物线 向下平移2个单位，可以得到抛物线 ，再向上平移5个单位，可以得到抛物线 ；
2.抛物线 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时， y随x的增大而增大， 当x 时， y随x的增大而减小.向下y轴（0，-3）＜0＞0练习
3.函数y＝3x2+5与y＝3x2的图象的不同之处是( )
A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状
4.对于函数y= –x2+1，当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数取得最 值,为 。＜0＞0=0大0C5．将抛物线 向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ，并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 。
6.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1 ) ,(x1，y1 )且x1＜x2＜0，则y1 y2(填“＜”或“＞”)
＜（0，-2）（0，1）巩固6、如图，某桥洞的抛物线形，水面宽
AB=1.6m，桥洞顶点C到水面的距离为
2.4m，求这个桥洞所在抛物线的解析
式。范例例2、如图，隧道的截面由抛物线和长
方形构成：长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可用 表示。(1)一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过隧道吗？范例例2、如图，隧道的截面由抛物线和长
方形构成：长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可用 表示。(2)如果隧道内设双行道，
那么这辆货运卡车是否
可以通过？范例例2、如图，隧道的截面由抛物线和长
方形构成：长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可用 表示。(3)如果隧道内设双行道，
为安全起见，你认为2m
宽的卡车应限高多少比
较合适？课件14张PPT。26.2 二次函数的
图象和性质温故知新向上向下(0 ,0)(0 ,0)y轴y轴当x<0时，
y随着x的增大而减小。
当x>0时，
y随着x的增大而增大。 当x<0时,
y随着x的增大而增大。
当x>0时，
y随着x的增大而减小。 x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.y=x2y=x2+15 2 1 2 5函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到.操作
与
思考函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?相同y=x2y=x2-22 -1 -2 -1 2函数y=x2-2的图象可由y=x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.函数y=x2-2的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?操作
与
思考函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?相同 函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象形状 ，只是位置不同；当c>0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位得到，当c〈0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象
向 平移 个单位得到。y=-x2-2
y=-x2+3
y=-x2
函数y=-x2-2的图象可由y=-x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.函数y=-x2+3的图象可由y=-x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到.图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?上加下减相同上c下|c| (1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象
向 平移 个单位得到；y=4x2-11的图象
可由 y=4x2的图象向 平移 个单位得到。（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的
抛物线的函数式是 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的
抛物线的函数式是 。(2)将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得
y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 平移 个
单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象
向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象。
上5下11下4上7上9y=4x2+3y=-5x2-4小试牛刀 当a>0时，抛物线y=ax2+c的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 ，
当x= 时，取得最 值，这个值等于 ；
当a<0时,抛物线y=ax2+c的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 。y=-x2-2
y=-x2+3
y=-x2
y=x2-2
y=x2+1
y=x2
向上y轴(0,c)减小增大0小c向下y轴(0,c)增大减小0大c观
察
思
考（4）抛物线y=-3x2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，
当x= 时，取得最 值，这个值等于 。6.二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B（2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 。若点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐标为 点D的坐标为 .（5）抛物线y=7x2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，
当x= 时，取得最 值，这个值等于 。下y轴(0,5)减小增大0大5上y轴(0,-3)减小 增大 0小-3y=2x2-3(-2,5)或小试牛刀及时小结向上向下(0 ,c)(0 ,c)y轴y轴当x<0时，
y随着x的增大而减小。
当x>0时，
y随着x的增大而增大。 当x<0时,
y随着x的增大而增大。
当x>0时，
y随着x的增大而减小。 x=0时,y最小=cx=0时,y最大=c抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.大显身手(1)已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1), B(x2,y2),
C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上,且x2< x4<0,
0|x1|, |x3|>|x4|, 则 ( )x1x2x3x4y1y4y3y2A.y1>y2>y3>y4B.y2>y1>y3>y4C.y3>y2>y4>y1D.y4>y2>y3>y1B（2）已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1≠x2,
x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等，
则当x取x1+x2时，函数值为 （ ）
A. a+c B. a-c C. –c D. c
D大显身手(3) 函数y=ax2-a与y=在同一直角坐标系中的图象可能是 （ ）A大显身手大显身手(4) 一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入蓝筐内，已知蓝筐的中心离地面的
距离为3.05m。
1、球在空中运行的最大高度是多少米？
2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度 为2.25m ，
则他离篮筐中心的水平距离AB是多少？谈谈你的收获小结：课件16张PPT。26.2 二次函数的
图象和性质知识回顾:二次函数y=ax2的图象及其特点？1、顶点坐标？（0，0）2、对称轴？y轴（直线x=0）3、图象具有以下特点：一般地，二次函数y=ax2 （ a≠0 ）的图象是一条抛物线；
当a>0 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；
抛物线在x轴的上方（除顶点外）。
当a<0 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
抛物线在x轴的下方（除顶点外）请比较所画三个函数的图象,它们有什么共同的特征?在同一坐标系中作出二次函数y=?x2 ;y = ?(x+2)2 ;y = ?(x-2)2
向右平移2个单位顶点坐标(0,0)(2,0)对称轴:直线x=0直线x=2向左平移2个单位顶点坐标(0,0)(-2,0)对称轴:直线x=0直线x=-2xyo二次函数y=a(x–h)2的图象和性质做一做:向上直线x=-3( -3 , 0 )直线x=1直线x=3向下向下( 1 , 0 )( 3, 0)请你总结二次函数y=a(x+ m)2的图象和性质. 当m>0时,向左平移当m<0时,向右平移a＞0时，开口________, 最 ____ 点是顶点; a＜0时，开口________, 最 ____ 点是顶点;
对称轴是 _____________，
顶点坐标是 __________。直线x=-m(-m,0)的图象例题学习:例1: 对于二次函数
请回答下列问题：1、把函数 的图象作怎样的平移

变换，就能得到函数 的图象。2、说出函数 的图象的顶点坐标
和对称轴。范例例2、已知抛物线 经过点
(1，3)，求：
(1)抛物线的关系式；
(2)抛物线的对称轴、顶点坐标；
(3)x=3时的函数值；
(4)当x取何值时，y随x的增大而增大。提高题：将抛物线 向左平移后，所得
新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物
线经过点(1，3)，求a的值。小结(1)形状、对称轴、顶点坐标；(2)开口方向、极值、开口大小；(3)对称轴两侧增减性。二次函数 的图象及性质：1.函数y= –5(x–3)2,当x 时,y随x的增大而增大；
2.对于函数y=2x2+8x+8，当x= 时，函数值y有最 值，为 。
＜3–2小0试一试：求抛物线 的对称轴
方程和最大值(或最小值)，然后画出图
象。学过哪些二次函数的特殊形式？这节课你有什么收获和体会？练一练：已知函数y = – 4x2+4x–1
(1)求出函数图像的对称轴和顶点坐标；
(2)讨论函数的性质；
练：若抛物线y =3x2–6x+c的顶点在x轴上,你能否求出该顶点的坐标?并求出c的值。思考题：将抛物线 左右平移，使得
它与x轴相交于点A，与y轴相交于点B。
若△ABO的面积为8，求平移后的抛物线的解析式。课件16张PPT。第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质26.2二次函数的
图象和性质二次函数y=ax2+c的性质开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减c>0c<0c<0c>0(0,c)探究解: 先列表描点 画出二次函数 、 的图像,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.:-2…0-0.5-2-0.5-8…-4.5-8…-2-0.50-4.5-2…-0.5x=－1讨论抛物线
与 　　　　 的开口方向、对称轴、顶点?(2)抛物线
有什么关系？以及增减性是怎么变化的？ 抛物线 与抛物线 有什么关系? 向左平移1个单位讨论向右平移1个单位即:在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
一般地,抛物线y=a(x－h)2 有如下
特点:(1)对称轴是x=h;(2)顶点是(h,0).（3）抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.h>0，向右平移;
h<0，向左平移归纳顶点(0,0)顶点(2,0)直线x=－2直线x=2向右平移2个单位向左平移2个单位顶点(－2,0)对称轴:y轴
即直线: x=0练习在同一坐标系中作出下列二次函数:观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.向右平移2个单位向右平移2个单位向左平移2个单位向左平移2个单位二次函数y=a（x-ｈ）2的性质开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
直线ｘ＝ｈ顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减h>0h<0h<0h>0(ｈ,0)试一试例1. 填空题
（1）二次函数y=2（x+5）2的图像是 ，开 口 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 .
（2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y= -3x2 向 平移 个单位得到的；开口 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 .
抛物线向上直线x= -5-5小0右4向下直线x= 44大0（3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函数 的图像，其对称轴是 ，顶点是 ，当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小. （4）将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3个单位后得到函数 的图像，其顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 .y=2（x-3）2直线x=3（3，0）＞3＜3y= -3（x+1）2（-1，0）直线x=-1-1大0(4)抛物线y=4（x-3）2的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，抛物线是最 点，
当x= 时，y有最 值，其值为 。
抛物线与x轴交点坐标 ，与y轴交点坐标 。 向上直线x=3（3，0）低3小0（3，0）（0,36）如何平移：向上直线x=-3( -3 , 0 )直线x=1直线x=3向下向下( 1 , 0 )( 3, 0)不画图直接填空2、按下列要求求出二次函数的解析式：
（1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2）（-1，0）求该抛物线线的解析式。（2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解析式。（3）已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像经过点（2，-2）与（-1，-8）。求此函数解析式。用配方法把下列函数化成y=a（x-h）2的形式，并说出开口方向，顶点坐标和对称轴。小结3.抛物线y=ax2+k有如下特点:当a>0时, 开口向上;当a<0时,开口向上.(2)对称轴是y轴;(3)顶点是(0,k).抛物线y=a(x－h)2有如下特点:(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上;(2)对称轴是x=h;(3)顶点是(h,0).2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到. 抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.(k>0,向上平移;k<0向下平移.)(h>0,向右平移;h<0向左平移.)1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2的形状完全相同,开口方向一致;(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下;课堂小结:1、本节课我学会了……
２、我的体会是……结束寄语再 见感谢指导！课件27张PPT。26.2 二次函数的图象与性质第1课时函数y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠ 0) 叫做x的二次函数.什么叫二次函数?我们学过用什么方法画函数
的图象?主要有哪些步骤?观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：用描点法画二次函数y=x2的图象0123…0149…描点,连线y=x2观察前面所画的图象,回答下列问题串(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.(3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)在对称轴左侧,随着x值的增大,y 的值如何变化？在对称轴右侧呢？(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？喷泉(1)www.1230.org 初中数学资源网抛物线y=ax2的图象和性质这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴. 对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.二次函数y=x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.在对称轴的左
侧时,y随着x的
增大而减小. 在对称轴的右
侧时, y随着x的
增大而增大. 抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),
顶点是它的最低点,开口向上,并且向
上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,
最小值是0.在刚才的平面直角坐标系中，画出函数y=2x2 的图象. …………-2-1.5-1011.5284.52024.58讲授新知解:(1) 列表(2) 描点、连线观察:函数y=x2 的图象与函数y=2x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？小结二次函数 的图象及性质：(1)形状、对称轴、顶点坐标；(2)开口方向、极值、开口大小；(3)对称轴两侧增减性。探究新知 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=－x2， y=－2x2 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.(１)二次函数y=-x2的图象是什么形状？(2)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？你能根据表格中的数据作出猜想吗？xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点,连线y=-x2这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴. 对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.yy在对称轴的左侧
时,y随着x的增大
而增大. 在对称轴的右侧
时, y随着x的增大
而减小. y抛物线y= -x2在x轴的下方(除顶点外),
顶点是它的最高点,开口向下,并且向下
无限伸展;当x=0时,函数y的值最大,
最大值是0.抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y= -x2（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方( 除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 应用新知1.填空：(1)抛物线y= x2的开口方向是 ，顶点坐标是 ,
对称轴是 .下增大而增大增大而减小0（0，0）y轴向上①应用新知2、函数y＝ax2和函数y＝ax＋a的图象在同一坐标系中大致是图中（ ）B例1.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8)
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上;
(3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标;
(4)若点(m,n)在此抛物线上,那么点
(-m,n)是否在此抛物线上?点(m，-n)呢?2.填空:
(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是_____;
对称轴是______;在___________ 侧,
y随着x的增大而增大;在_________侧,
y随着x的增大而减小;当x= 时,函数y的值最小,最小值是 ;抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).（0，0）y轴对称轴的左0对称轴的右0上(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外),
当x_____时,y随着x的增大而增大；
当x_____时,y随着x的,增大而减小
当x=0时,函数y的值最大,最大值是_____,
当x 0时,y<0.下0<0>0巩固若抛物线 的开口
向下，求n的值。二次函数y=ax2的图象性质位置在x轴上方(除顶点外)开口向上开口向下|a|越大，开口越小开口对称轴顶点顶点坐标是原点（0，0）关于y轴对称顶点是最低点顶点是最高点在x轴下方(除顶点外)1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.二次函数y=ax2的性质课件21张PPT。华师大版九年级下
§26．2二次函数 （a≠0）的图象与性质说课稿返回教学流程图6．收获与体会（3分钟） 5．随堂练习，及时巩固矫正（5分钟） 2．温故知新，导入新课（5分钟）4.实例研讨（动画演示）（5分钟） 1、教具,学具准备 7．独立作业（2分钟） 8．教学反思 ⑵探究活动
（动画演示）⑴观察、对比
函数图象分析 3．探索新知（25分钟） 　　９．板书设计 表格归纳动画
演示 2．温故知新，导入新课
①用多媒体课件在同一直角坐标系内，画出函数 、
与 和 、 与 的图象；②说出下列二次函数图象 、 、 说出各函
数的开口方向、顶点坐标、对称轴、性质，并指出它们之间的关系； ③二次函数 的图象和它们图象关系如何？它的开口方向、顶点坐标、对称轴、性质又分别是什么呢？这就是今天这节课所要学习的内容。1、教具、学具准备
教具：多媒体演示课件.
学具：方格纸。 返回y=a(x-h)2y=ax2＋ky=ax2二次函数图象与性质XX>h, x↗ y↘XX>h, x↗ y ↗X<0, x ↗ y ↘
X>0, x↗ y ↗X<0, x ↗ y ↘
X>0, x↗ y ↗X<0 ,x ↗ y↗
X>0, x↗ y↘X<0 ,x ↗ y↗
X>0, x↗ y↘返回（3）探究活动问题2： 问题3： 问题4： 你能画出二次函数 的图象是什么？并说出这个函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。 问题1： 几何画板（3）探究活动问题1： 问题2： 问题3： 问题4： 几何画板（3）探究活动问题1： 问题2： 问题3： 问题4： 你能找到在同一直角坐标系中找到二次函数 、 、 与 图象的关系吗？
几何画板（0，0）（2，0）y轴（直线x=0）直线x=2在x轴(直线y=0)的上方
（除顶点外）向上当x=0 时，最小值为0。当x=2 时，最小值为0。（2，1）直线x=2在x轴(直线y=0)的上方
（除(2,0)点外）在x轴(直线y=1)的上方
（除(2,1)点外）向上向上当x=2 时，最小值为1 。右21上X<0 ,x ↗ y ↘
X>0, x↗ y ↗ ↘X<1, x ↗ y ↘
X>1, x↗ y ↗ X<1, x ↗ y ↘
X>1, x↗ y ↗（0，0）（0，1）y轴（直线x=0）y轴（直线x=0）在x轴(直线y=0)的上方
（除顶点外）向上当x=0 时，最小值为 0。当x= 0 时，最小值为 1。（2，1）直线x=2在x轴(直线y=1)的上方
（除顶点(0,1) 外）在x轴(直线y=1)的上方
（除顶点(2,1)外）向上向上当x=2 时，最小值为 1 。上12右X<0 ,x ↗ y ↘
X>0, x↗ y ↗X<0, x ↗ y ↘
X>0, x↗ y ↗X<2, x ↗ y ↘
X>2, x↗ y ↗返回当x=2 时，最大值为 1 。（0，0）（2，0）y轴（直线x=0）直线x=2在x轴(直线y=0)的下方
（除顶点外）向下当x=0 时，最大值为 0。当x=2 时，最大值为 0。（2，1）直线x=2在x轴(直线y=0)的下方
（除顶点(2,0) 外） 直线y=1的下方
（除顶点(2,1) 外）向下向下右21上X<0 ,x ↗ y↗
X>0, x↗ y↘X<2, x ↗ y↗
X>2, x↗ y↘X<2, x ↗ y↗
X>2, x↗ y↘当x=2时，最大值为1 。（0，0）（0，1）y轴（直线x=0）y轴（直线x=0）在x轴(直线y=0)的下方
（除顶点外）向下当x=0时，最大值为0。当x=0时，最大值为1。（2，1）直线x=2在直线y=1的下方
（除顶点(0,1) 外）在直线y=1的下方
（除顶点(2,1) 外）向下向下上12右X<0 ,x ↗ y↗
X>0, x↗ y↘X<0, x ↗ y↗
X>0, x↗ y↘X<2, x ↗ y↗
X>2, x↗ y↘返回例：把抛物线 向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到抛物线 ，求h , k的值，并说出它的性质。 设计目的：为了加深对新知识的理解和应用，我通过板书示范,让学生注意解题的规范性。返回5．随堂练习，及时巩固矫正 设计目的：为了及时巩固，根据学生认知规律，设计成两组有梯度的课堂练习题，并针对学生的解答，正确地进行评价，出现问题及时矫正。返回①本课学习了什么形式的二次函数？
②画二次函数图象时，列表应注意什么？
③它与前面所学的二次函数有何关系？
④它的图象的开口方向、顶点坐标、对
称轴、性质分别是什么？设计目的：我利用师生互动的方式，
帮助学生全面的理解、掌握所学知识，
进一步落实教学目标。返回设计目的：为了关注学生的个体差异，我设置必做题和提高题，使每一个学生都有成功的体验，得到相应的提高与发展，体现了“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学” 的新课改理念这一宗旨.返回①学生的课堂作图作品不理想，有必要老师自己黑板画一副；
②画二次函数图象时，列表取值时学生不会选或随便选，此时应建议根据二次函数图象的对称性选用计算简单的数据，随后体验；
③为提高师生互动时，调节好少部分学生反映过于活跃。
④学生难于适应由生动、具体、形象向抽象概括的思维转变。返回设计目的：我通过反思在教学活动中的事件，理性检查与总结，进一步提高教学效果和教学水平，推动新课程改革。
　　屏幕３、例题　：
　（解题过程略）。１、回顾二次函数　　　　、　　　　、　　　　　　
的图象与性质； ２、探索二次函数　　　　　　　　图象与性质； 返回祝:
老师们工作顺利!
身体健康!问题1： 课件62张PPT。二次函数的图象和性质二次函数y=a(x–h)2的图象和性质. 当h>0时,向左平移当h<0时,向右平移y=ax2y=a(x–h)2复习回顾1.如何同y=-x2的图象得到y=-x2-3的图象。并说明后者图象的顶点，对称轴，增减性。2.如何y=2x2的图象得到y=2(x-3)2的图象。并说明后者图象的顶点，对称轴，增减性。在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和 y=3(x-1)2的图象． 复习导入观察图象,回答问题(1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? (2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？ 我思考，我进步 把二次函数y=3(x-1)2 加上+2所得函数y=3(x-1)2+2的图象是怎样的呢？y=3(x-1)2 +2 我思考，我进步 探讨1、 二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看． 二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么? 他们的形状是不是相同呢？ 在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.挑战记忆y=3(x-1)2y=3x2向右 y=3(x-1)2+2向上二次函数y=3(x-1)2+2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
上平移2个单位后得到的.二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x2,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?对称轴仍是平行于y轴的直
线(x=1);增减性与y=3x2类似. 二次函数y=3(x-1)2+2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
上平移2个单位后得到的.二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x2,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?X=1对称轴仍是平行于y轴的直
线(x=1);增减性与y=3x2类似. 顶点是(1,2).二次函数y=3(x-1)2+2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
上平移2个单位后得到的.二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x2,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?X=1对称轴仍是平行于y轴的直
线(x=1);增减性与y=3x2类似. 顶点是(1,2).二次函数y=3(x-1)2+2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
上平移2个单位后得到的.二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x2,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向上,当
X=1时有最小
值:且最小值=2.X=1探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象y=3x2探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y=3x2类似. 二次函数y=3(x-1)2-2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
下平移2个单位后得到的.探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? X=1对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y=3x2类似. 顶点是(1,-2).二次函数y=3(x-1)2-2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
下平移2个单位后得到的.探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 开口向上,
当x=1时y有
最小值:且
最小值= -2.X=1对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y=3x2类似. 顶点是(1,-2).二次函数y=3(x-1)2-2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
下平移2个单位后得到的.探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 开口向上,
当x=1时y有
最小值:且
最小值= -2.想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x2,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看．X=1挑战记忆y=3(x-1)2y=3x2向右 y=3(x-1)2+2向上y=3(x-1)2y=3x2向右 y=3(x-1)2-2向下我思考，我进步 探讨3、 在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x2和
y=-3(x-1)2的图象 二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x2,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小? 对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y= -3x2类似. 二次函数y=-3(x-1)2+2与
y=-3(x-1)2-2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向右平移1个
单位,再沿直线x=1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物
线y=-3x2,y=-3(x-1)2有什
么关系? 它的开口方向,对
称轴和顶点坐标分别是什
么?yX=1对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y= -3x2类似. 顶点分别是
(1,2)和(1,-2).二次函数y=-3(x-1)2+2与
y=-3(x-1)2+2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向右平移1个
单位,再沿直线x=1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物
线y=-3x2,y=-3(x-1)2有什
么关系? 它的开口方向,对
称轴和顶点坐标分别是什
么?开口向下,
当x=1时y有
最大值:且
最大值= 2
(或最大值=-2).yX=1挑战记忆y=3(x-1)2y=3x2向右 y=3(x-1)2+2向上y=3(x-1)2y=3x2向右 y=3(x-1)2-2向下y=-3(x-1)2y=-3x2向右 y=-3(x-1)2+2向上y=-3(x-1)2y=-3x2向右 y=-3(x-1)2-2向下 探讨4、二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x2,y=-3(x+1)2有什么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?我思考，我进步对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=-1);增减性与y= -3x2类似. 二次函数y=-3(x+1)2+2
与y=-3(x+1)2-2的图象
可以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向左平移1个
单位,再沿直线x=-1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质. x=1对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=-1);增减性与y= -3x2类似. 顶点分别是
(-1,2)和(-1,-2)..二次函数y=-3(x+1)2+2
与y=-3(x+1)2-2的图象
可以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向左平移1个
单位,再沿直线x=-1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质. x=1对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=-1);增减性与y= -3x2类似. 顶点分别是
(-1,2)和(-1,-2)..二次函数y=-3(x+1)2+2
与y=-3(x+1)2-2的图象
可以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向左平移1个
单位,再沿直线x=-1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.开口向下,
当x=-1时y有
最大值:且
最大值= 2
(或最大值= - 2).先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质. x=1对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=-1);增减性与y= -3x2类似. 顶点分别是
(-1,2)和(-1,-2)..二次函数y=-3(x+1)2+2
与y=-3(x+1)2-2的图象
可以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向左平移1个
单位,再沿直线x=-1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.开口向下,
当x=-1时y有
最大值:且
最大值= 2
(或最大值= - 2).先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质. x=1挑战记忆y=3(x-1)2y=3x2向右 y=3(x-1)2+2向上y=3(x-1)2y=3x2向右 y=3(x-1)2-2向下y=-3(x-1)2y=-3x2向右 y=-3(x-1)2+2向上y=-3(x-1)2y=-3x2向右 y=-3(x-1)2-2向下y=-3(x+1)2y=-3x2 y=-3(x+1)2+2y=-3(x+1)2y=-3x2向左 y=-3(x+1)2-2向下向上向左(1)二次函数y=3(x+1)2的图象可以把二次函数y=3x2的图象向左平移1个单位得到，它的对称轴是x=-1 (即x+1=0),顶点坐标是(-1,0)
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象可以把二次函数y=-3x2的图象先向右平移2个单位，再向向上平移4个单位得到，它的对称轴是x=2(即x-2=0)，顶点坐标是(2, 4) 我知道了 y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系一般地, y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关. 简单归纳二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表： 1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:
　　　　2．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢? 2.不同点: (1) 只是位置不同、顶点不同:分别是(h,k)和(0,0).
(2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴.
(3)最值不同:分别是k和0.
3.联系: y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.
a<0时, 开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系知识整理1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.2.填写下表:课堂练习
1.抛物线y=0.5(x+2)2–3可以由抛物线 先向 平移2个单位，在向下平移 个单位得到。
2.已知s= –(x+1)2–3，当x为 时，s取最 值为 。
3.顶点坐标为(1,1)，且经过原点的抛物线的函数解析式是( )
y=(x+1)2+1 B. y= –(x+1)2+1
C.y=(x–1)2+1 D. y= –(x–1)2+1y=0.5x2左3 –1 大 –3 D4.已知一条抛物线的形状与开口方向都与抛物线y= –x2相同，它的顶点在直线y=2x+1上，且经过这条直线与x轴的交点，求这条抛物线的解析式。5.如何来求与坐标轴的交点？求y=x2+2x-8与坐标轴的交点。根据图象回答
何时y<0?
何时y>0?考点训练6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示
（1）求解析式
（2）何时 y=3？
（3）根据图象回答：
当x 时，y>0。练习1:指出下面函数的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值。
1) y=2(x+3)2+5
2) y=4(x-3)2+7
3) y=-3(x-1)2-2
4) y=-5(x+2)2-6
练习2:对称轴是直线x=-2的抛物线是( )
A y=-2x2-2 B y=2x2-2 C y=-1/2(x+2)2-2
D y=-5(x-2)2-6C牛刀小试1. 抛物线的顶点为(3,5) 此抛物线的解析式可设为( )
Ay=a(x+3)2+5 By=a(x-3)2+5
Cy=a(x-3)2-5 Dy=a(x+3)2-5
2.抛物线c1的解析式为y=2(x-1)2+3抛物线c2与抛物线c1关于x轴对称,请直接写出抛物线c2的解析式_____
3.二次函数y=a(x-m)2+2m,无论m为何实数,图象的顶点必在( )上
A)直线y=-2x上 B)x轴上 C)y轴上 D)直线y=2x上
4.对于抛物线y=a(x-3)2+b其中a>0,b 为常数,点( ,y1) 点( ,y2)点(8,y3)在该抛物线上,试比较y1,y2,y3的大小活学活用你答对了吗?
1.B
2.y=-2(x-1)2-3
3.D
4. y3> y1 > y2
延伸题1)若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是________
2)如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得到抛物线y=2(x+2)2-1
4). 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______
重点把握中考语录 中考是人生的第一个十字路口，车辆很多，但要勇敢地穿过去。 课件12张PPT。26.2 二次函数的
图象与性质1、抛物线y=x2-8x+m的顶点在 x轴上则c= .2、抛物线 y=x2+bx+1的顶点在 y轴上则b= ________ 3、抛物线 y=x2+bx+1对称轴是直线x=2则b= ________ 试一试：驶向胜利的彼岸4、请写出如图所示的抛物线的解析式： 课 前 练 习（0，1）（2，4）xyO 对于二次函数y=ax2+bx+c （ a≠0 ）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？通过变形能否将y=ax2+bx+c转化为
y = a(x+m)2 +k的形式 ？二次函数二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与a,b,c得符号问题知识点一：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：与y轴的正半轴相交c>0与y轴的负半轴相交 c<0经过坐标原点c=0（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定小结：知识点二：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（5）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定点在x轴上方点在x轴下方点在x轴上a+b+c>0a+b+c<0a+b+c=0（6）a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定点在x轴上方点在x轴下方点在x轴上a-b+c>0a-b+c<0a-b+c=0试一试：已知;二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1).
(1)求证:不论m为何值时,函数的图像与x轴总有交点,并指出m为何值时,只有一个交点；
(2)当m为何值时,函数图像过原点,并指出此时函数图像与x轴的另一个交点；
(3)若函数图像的顶点在第四象限,求m的取值范围.(2)另一个交点坐标为(1，0) (3)当m＞-1且m≠3时,抛物线的顶点在第四象限 抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定小结课件7张PPT。26.2二次函数的
图象与性质课前热身：1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
则a、b、c的符号为　　　　　　yxo2、如果抛物线y=x2+px+q 的顶点坐标是（2，-1），
则p= q=3、二次函数 y=x2-４x+3 的对称轴是４、一抛物线y=-2x2的形状和开口方向相同，顶点为（1，-4），则它的函数解析式为5、抛物线y=x2-5x+4与坐标轴的交点个数为（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的个数由什么决定的？６、说出下列抛物线与x轴的交点的个数：⑴y=2x２-x-1 ⑵y=4x2+4x+1 ⑶y=3x2+2x+5课中同步：xoyxyo(0,c)(0,c)..y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c..观察与归纳：1、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 ，顶点是 。当b2-4ac﹥0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0=ax2+bx+c的两个根 与 ；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2-4ac﹤0时，抛物线与x轴没有交点。2、当a ﹥0时，抛物线的开口向上，并且向上无限伸展；当a ﹤0时，抛物线的开口向下，并且向下无限伸展。3、当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当 时，函数y有最小值 。当a ﹤0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。当 时，函数y有最大值 尝试成功：1、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：
⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个-110xy2、下列函数何时有最大值或最小值，并求出最大值或最小值⑴y=2x2-8x-3 ⑵y=-5x２＋３√２x-43、二次函数y=x2＋bx+8的图像顶点在x轴的负半轴上，那么b等于多少？D例题教学已知函数
⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图像的草图；
⑵根据第⑴题的图像草图，说出取哪些值时， ①y=0 ②y﹤0 ③y﹥0(-15,0)(1,0)(0,7.5)(7,32)(-14,7.5).0xy巩固提高：请完成课本练习：想一想课件8张PPT。 二次函数y=a(x+m)2+k的图象与性质26.2 二次函数的
图象与性质（第4课时）温故知新1.y=a(x+m)2的图象与y=ax2的图象之间的位置关系是怎样的?
2.函数y=-2(x+1)2的图象可以由抛物线y=-2x2经过怎样的平移得到的?它的对称轴、顶点坐标、开口方向及最大值分别是什么？画一画 在同一坐标系内画出函数
的图象 x-5-4-3-2-1012020-20xyoX=-2平移规律向左平移两个单位向下平移两个单位性质比较对称轴顶点坐标最大值或最小值直线x=0(0,0)直线x=-2(-2,0)直线x=-2(-2,-2)当X=0时,函数y有最小值,当x=-2时，函数y有最小值当x=-2时，函数y有最小值　y=a(x+m)2+k的图象性质１．顶点坐标是(-m,k),对称轴是直线x=-m
2.　平移规律是：

当m<0向右（或m>0向左）平移ImI个单位当k>0向上（或k<0向下）平移IkI个单位尝试训练１．对于函数y=-x2-2x+1,请回答下列问题：
（１）函数y=-x2-2x+1的图象可以由什么抛物线经怎样的平移得到的？
（２）函数图象的对称轴、顶点坐标各是什么？
（３）x为何值时函数有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？oxyy=-x2-2x+1课件31张PPT。26.2二次函数的
图象与性质4.将二次函数y=x2+6x+10配方化成y=a(x-h)2+k的形式为____,开口方向_____，对称轴是________，顶点坐标是_______.
【解析】∵y=x2+6x+10=x2+6x+9+1
=(x+3)2+1,
∴对称轴是直线x=-3,顶点坐标为（-3，1）.
∵a=1>0,∴开口向上.
答案：y=(x+3)2+1 向上 直线x=-3 (-3,1)2. 如图，在平面直角坐标系中，
两条抛物线有相同的对称轴，
下列关系不正确的是( )
(A)h=m
(B)k=n
(C)k>n
(D)h>0,k>0
【解析】选B.由图象可知k>n,故选B.3.二次函数y=2(x-2)(x+3)图象的顶点坐标是______，对称轴是______，开口方向________.5.已知抛物线y=4x2-11x-3.
（1）求它的对称轴.
（2）求它与x轴、y轴的交点坐标.6.分别在下列范围内求函数y=x2-2x-3的最值.
(1)0【解析】因为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
所以顶点坐标为（1，-4）.
（1）因为x=1在00.
所以当x=1时，y有最小值,y最小值=-4.(2)方法一：因为x=1不在2≤x≤3的范围内，所以函数y=x2-2x-3(2≤x≤3)的图象是抛物线y=x2-2x-3的一部分.又因为a=1>0,抛物线开口向上，当x>1时,y随x的增大而增大，所以当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，所以当x=3时，y最大值=32-2×3-3=0;当x=2时，y最小值=22-2×2-3=-3.
方法二：函数y=x2-2x-3（2≤x≤3)
的图象是图中的实线部分.由图象可
知：当x=3时，y最大值=32-2×3-3=0;
当x=2时，y最小值=22-2×2-3=-3.已知y关于x的函数：y=(k-2)x2-2(k-1)x+k+1中满足k≤3.
(1)求证：此函数图象与x轴总有交点.
（2）当关于z的方程 有增根时，求上述函数图象与x轴的交点坐标.【解析】(1)当k=2时，函数为y=-2x+3，图象与x轴有交点.
当k≠2时，Δ=4(k-1)2-4(k-2)(k+1)=-4k+12,
当k≤3时，Δ≥0，此时抛物线与x轴有交点.
因此,k≤3时，y关于x的函数y=(k-2)x2-2(k-1)x+k+1的图象与x轴总有交点.
(2)关于z的方程去分母得：z-2=k+2z-6,k=4-z.
由于原分式方程有增根，其增根必为z=3.这时k=1,
这时函数y=-x2+2,它与x轴的交点是课件20张PPT。（第6课时）
求二次函数的表达式26.2 二次函数的
图象与性质练习1练习2思想方法应用举例一般式顶点式交点式例2 应用例1尝试练习二次函数的几种解析式及求法前　言二次函数解析式练习3小　结平移式例3 平移式练习4 二次函数是初中代数的重要内容之一，也是历年中考的重点。这部分知识命题形式比较灵活，既有填空题、选择题，又有解答题，而且常与方程、几何、三角等综合在一起，出现在压轴题之中。 因此，熟练掌握二次函数的相关知识，会灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的解析式是解决综合应用题的基础和关键。一、二次函数常用的几种解析式的确定已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。 已知抛物线与x轴的交点坐标或对称轴，选择交点式。1、一般式2、顶点式3、交点式 4、平移式 将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐标， 可将原函数用顶点式表示，再根据“左加右减，上加下减“的法则，即可得出所求新函数的解析式。 二、求二次函数解析式的思想方法 1、 求二次函数解析式的常用方法： 2、求二次函数解析式的 常用思想： 3、二次函数解析式的最终形式：待定系数法、配方法、数形结合等。转化思想 解方程或方程组 无论采用哪一种解析式求解，最后结果都化为一般式。例1、已知二次函数 的图像如图所示，
求其解析式。解法一： 一般式设解析式为∵顶点C（1，4），∴对称轴 x=1.∵A(-1,0)关于 x=1对称，∴B（3，0）。∵A(-1,0)、B（3，0）和
C（1，4）在抛物线上，∴ 即 三、应用举例例1、已知二次函数 的图像如图所示，
求其解析式。解法二：顶点式设解析式为∵顶点C（1，4），∴又∵A(-1,0)在抛物线上，∴ ∴ a = -1即∴∴ h=1, k=4. 三、应用举例解法三：交点式设解析式为∵抛物线与x 轴的两个交点坐标
为 A (-1,0)、B（3，0）∴ y = a (x+1) (x- 3)又 C（1，4）在抛物线上∴ 4 = a (1+1) (1-3)∴ a = -1 ∴ y = - ( x+1) (x-3)即例1、已知二次函数 的图像如图所示，
求其解析式。 三、应用举例评析： 本题可采用一般式、顶点式和交点式求解，通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简便。同时也培养学生一题多思、一题多解的能力，从不同角度进行思维开放、解题方法开放的培养。注重解题技巧的养成训练，可事半功倍。近年中考数学命题趋势，贴近学生生活，联系实际，把实际问题转化为数学模型，培养学生分析问题、解决问题的能力，增强学以致用的意识。例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。
（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时，高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。 三、应用举例即 ∴ 　EFa = -0.1解：（1）、由图可知：四边形ACBO是等腰梯形过A、C作OB的垂线，垂足为E、F点。∴ OE = BF =（12-8）÷2 = 2。∴O（0，0），B（-12，0），A（-2，2）。设解析式为又 ∵A（-2，2）点在图像上， 三、应用举例例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。
（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时，高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。PQ(2) 分析：船能否通过，只要看船在拱桥正中间时，船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标。y = 水位+船高 =2.5+1.4 =3.9 ＞ 3.6解： ∵∴∴顶点（-6，3.6）,当水位为2.5米时，∴ 船不能通过拱桥。PQ是对称轴。复习二次函数四种平移关系例3、将抛物线 向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。解法：将二次函数的解析式 转化为顶点式得(1) 由 向左平移4个单位得：（左加右减）（2）再将 向下平移3个单位得 （上加下减） 即所求的解析式为 三、应用举例1、已知二次函数的图像过原点，当x=1时，y有最小值为
　　-1，求其解析式。∴ 四、尝试练习解：设二次函数的解析式为∵ x = 1, y= -1 , ∴顶点（1，-1）。又（0，0）在抛物线上， ∴ a = 1 即∴ ∴ 2、已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。解：设所求的解析式为∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0）∴ 又∵点（0，1）在图像上， ∴ a = -1即：∴∴∴四、尝试练习3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为3.6m，跨度为7.2m．一辆卡车车高3米，宽1.6米，它能否通过隧道？ 四、尝试练习 即当x= OC=1.6÷2=0.8米时，过C点作CD⊥AB交抛物线于D点，若y=CD≥3米，则卡车可以通过。 分析：卡车能否通过，只要看卡车在隧道正中间时，其车高3米是否超过其位置的拱高。四、尝试练习3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为3.6m，跨度为7.2m．一辆卡车车高3米，宽1.6米，它能否通过隧道？ 解：由图知：AB=7.2米，OP=3.6米，，∴A（-3.6，0），
B（3.6，0），P（0，3.6）。又∵P（0，3.6）在图像上，当x=OC=0.8时，∴卡车能通过这个隧道。四、尝试练习 4、将二次函数 的图像向右平移1个单位，再向上平移4个单位，求其解析式。解：∵ 二次函数解析式为（1）由 向右平移1个单位得（左加右减）（2）再把 向上平移4个单位得（上加下减） 即所求的解析式为五、小结1、二次函数常用解析式.已知图象上三点坐标，通常选择一般式。.已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。.已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2， 通常选择交点式。 3. 确定二次函数的解析式的关键是根据条件的特点，恰当地选择一种函数表达式，灵活应用。一般式顶点式交点式2、求二次函数解析式的一般方法：已知图象中发生变化的只有顶点坐标，通常选择平移式。平移式谢谢！课件18张PPT。 生活是数学的源泉，我们是数学学习的主人.26.3实践与探索第2课时 2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 ，它的对称
轴是 ，顶点坐标是 . 当a>0时，抛
物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，是 ；当
a<0时，抛物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，
是 。抛物线上小下大高低 1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 .抛物线直线x=h(h，k)基础扫描 3. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 ，顶点
坐标是 。当x= 时，y的最 值是 。

4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 ，顶点
坐标是 。当x= 时，函数有最 值，是 。

5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 ，顶点
坐标是 .当x= 时，函数有最 值，是 。直线x=3(3 ，5)3小5直线x=-4(-4 ，-1)-4大-1直线x=2(2 ，1)2小1
基础扫描
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。 如果你去买商品，你会选买哪一家的？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
如何获得最大利润问题
问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格?，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？分析：没调价之前商场一周的利润为 元；设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润可表示为 元，每周的销售量可表示为
件，一周的利润可表示为
元，要想获得6090元利润可列方程 。 6000 （20+x）（300-10x） (20+x)( 300-10x) (20+x)( 300-10x) =6090 自主探究 已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格?，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？ 若设销售单价x元，那么每件商品的利润可表示为 元，每周的销售量可表示
为 件，一周的利润可表示
为 元，要想获得6090元利润可列方程 . （x-40）[300-10(x-60) ](x-40)[300-10(x-60)] (x-40)[300-10(x-60)]=6090
问题2.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格?，每涨价一元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？合作交流
问题3.已知某商品的进价为每件40元。现在
的售价是每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：如调整价格?，每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？
问题4.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格?，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.y =(60-40+x)(300-10x)
=(20+x)(300-10x)
=-10x2+100x+6000
=-10(x2-10x ) +6000
=-10［(x-5)2-25 ］+6000
=-10(x-5)2+6250当x=5时，y的最大值是6250.定价:60+5=65（元）(0≤x≤30)怎样确定x的取值范围解:设每件降价x元时的总利润为y元.y=(60-40-x)(300+20x)
=(20-x)(300+20x)
=-20x2+100x+6000
=-20（x2-5x-300）
=-20（x-2.5）2+6125 （0≤x≤20）
所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元. 答:综合以上两种情况，定价为65元时可
获得最大利润为6250元.由(2)(3)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?怎样确定x的取值范围 某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则
y=(x+30-20)(400-20x)
=-20x2+200x+4000
=-20(x-5)2+4500
∴当x=5时，y最大 =4500
答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元我来当老板牛刀小试 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.若每个橙子市场售价约2元，问增种多少棵橙子树，果园的总产值最高，果园的总产值最高约为多少？创新学习反思感悟 通过本节课的学习，我的收获是？课堂寄语 二次函数是一类最优化问题的数学模型，能指导我们解决生活中的实际问题，同学们，认真学习数学吧，因为数学来源于生活，更能优化我们的生活。1.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格?，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？ 在上题中,若商场规定试销期间获利不得低于40%又不得高于60%，则销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？能力拓展 2.(09中考)某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价为x元(x≥50)，一周的销售量为y件．
(1)写出y与x的函数关系式(标明x的取值范围)(2)设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？
(3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
中考链接课件17张PPT。26.3实践与探索第3课时二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)向上向下,y随着x的增大而减小.
, y随着x的增大而增大. ,y随着x的增大而增大.
, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：(1).每个图象与x轴有几个交点？二次函数与一元二次方程 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点,
②有一个交点,
③没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,
交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一
元二次方程ax2+bx+c=0的根.(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac > 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac < 0例:已知抛物线y=x2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。例:已知二次函数y=x2－mx－4．设该函数的图象与x轴的交点坐标为(x1，O)、(x2，O)，且, 求m的值，并求出该函数图象的顶点坐标．解:因为该函数的图像与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)、 (x2，O)，所以x1、x2是方程x2－mx－4=0的两个实数根，所以x1+x2=m，x1·x2=－4．
所以二次函数的解析式为y=x2－4x－4=(x－2)2－8，因此坐标顶点为(2，－8)二次函数与一元二次方程综合题已知y关于x的函数：y=(k-2)x2-2(k-1)x+k+1中满足k≤3.
(1)求证：此函数图象与x轴总有交点.
（2）当关于z的方程 有增根时，求上述函数图象与x轴的交点坐标.【解析】(1)当k=2时，函数为y=-2x+3，图象与x轴有交点.
当k≠2时，Δ=4(k-1)2-4(k-2)(k+1)=-4k+12,
当k≤3时，Δ≥0，此时抛物线与x轴有交点.
因此,k≤3时，y关于x的函数y=(k-2)x2-2(k-1)x+k+1的图象与x轴总有交点.
(2)关于z的方程去分母得：z-2=k+2z-6,k=4-z.
由于原分式方程有增根，其增根必为z=3.这时k=1,
这时函数y=-x2+2,它与x轴的交点是例题教学已知函数(-15,0)(1,0)(0,7.5)(-7,32)(-14,7.5).0xy⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图像的草图；
(2)自变量x在什么范围内时， y随着x的增大而增大？何时y随着x的增大而减少；并求出函数的最大值或最小值。2、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：
⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个D1,已知抛物线y=ax2经过点(-2,2).(1)求这条抛物线的解析式.(2)求出这个二次函数的最大值或最小值.(3)在此抛物线上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2>0,试比较y1与y2的大小.2,若函数y=4x2,的图像与平行x轴的直线y=1.5交于两点,求这两点间的距离.综合练习3,如图直线l经过点A(4,0)和B(0,4)两点,它与二次函数y=ax2的图像在第一象限内相交于P点,若△AOP的面积为4.5,求二次函数的解析式.4,将抛物线y=x2向下平移后,使它的顶点C与它在x轴上的两个交点A,B组成等边三角形ABC,求此抛物线的解析式.5,已知二次函数y=2x2+8mx+2m+3,如果它的图像的顶点在x轴上,求m的值和顶点坐标.6,已知抛物线y=0.25x2,把它的顶点移到x轴上的点A, 所得的抛物线与y轴交于点B,且线段OA,OB满足关系OA-1 =OB,试说明平移方法.请用两种方法将二次函数
y=x2-4x+6化为y=a(x-h)2+k的形式.课件14张PPT。
§26．3实践与探索
（第1课时）
待定系数法求二次函数关系式几种方法
设一般式：设顶点式：设交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)x1,x2为函数图像与x轴交点的横坐标观察图象，你能从图中获取什么信息？230求出抛物线的函数解析式_______________ （1，3）顶点D开口向下与x轴交点为（0，0），（2，0）我们可以设二次函数解析式为y=
a（x-h）2+kh=1，k=3一个涵洞成抛物线形，xyO 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示，现测得，
当水面宽AB＝2米，涵洞顶点O与水面的距离为3米，
以O为原点，AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，1.直接写出A,B,O的坐标
2.求出抛物线的函数解析式3A(-1,-3) B(1,-3) O(0,0)探索一y=-3x2 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示，现测得，
当水面宽AB＝2米，涵洞顶点与水面的距离为3米，
以O为原点，AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，1.直接写出A,B,O的坐标
2.求出抛物线的函数解析式3.离开水面1.5米处，涵洞宽ED是多少
1.53－1.5OF=1.5→求D点的纵坐标由抛物线的对称性得ED=2FD求D点的横坐标yD=-1.5y= －3x2解方程一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示，现测得，
当水面宽AB＝2米，涵洞顶点D与水面的距离为3米，（1）建立适当的直角坐标系(几种建法）
（2）根据你建立的坐标系，求出抛物线的解析式y= -3x2探索二若水面上涨1米，则此时的水面宽MN为多少 以AB的中点为原点，以AB为x轴建立直角坐标系O哪一种坐标系建法比较简单建系方法不一样，但求出的实际宽度是一样的PABy=-3x2+3图象可通过平移而得到（3）又一个边长为1.6米的正方体木箱，能否通过此
涵洞，说明理由（木箱底面与水面同一平面）FEFNc1.6当通过的底为1.6时，能通过的最大高度为NF,比较NF与正方体的高（4）又一个边长为1.6米的正方体木箱，能否通过此
涵洞，说明理由（木箱底面与水面同一平面）FNc1.6当通过的底为1.6时，能通过的最大高度为NF,比较NF与正方体的高若箱子从涵洞正中通过，当通过的底为1.6时，能通过的最大高度为NF=1.5,小于正方体的高1.6，
所以不能通过
小结找点坐标建立变量与变量之间的函数关系式确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义,解决问题把实际问题转化为点坐标他做的对吗？1.一个运动员推铅球，铅球在A点处出手，铅球的
飞行线路为抛物线铅球落地点为B,则这个运动员的成绩为__________米2.
课后作业再见！课件21张PPT。26.3 实践与探索第3课时课前练习：1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
则a、b、c的符号为__________.　　　　　　2、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：
⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个c例题教学 已知函数
⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图像的草图；
⑵根据第⑴题的图像草图,说出取哪些值时,
①y=0 ②y﹤0 ③y﹥0(-15,0)(1,0)(0,7.5)(7,32)(-14,7.5).0xy课前热身：1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
则a、b、c的符号为　　　　　　yxo2、二次函数 y=x2 - ４x+3 的对称轴是3、一抛物线y=-2x2的形状和开口方向相同，顶点为（1，- 4），则它的函数解析式为4、抛物线y=x2-5x+4 与坐标轴的交点个数为（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的个数由什么决定的？5、说出下列抛物线与x轴的交点的个数：⑴ y=2x２-x-1 ⑵ y=4x2+4x+1 ⑶ y=3x2+2x+5a<0c>0b>0直线x = 2y=-2(x – 1)2 - 4D观察与归纳：⑴ y=2X２-X-1 ⑵ y=4X2+4X+1 ⑶ y=3X2+2X+5抛物线与x轴的交点的个数：2个1个0个b2- 4ac﹥0b2- 4ac=0b2- 4ac<0当b2-4ac﹤0时，抛物线与x轴没有交点。1、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 ，顶点是 。当b2- 4ac=0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac > 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac < 0求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。解：∵A、B在x轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0）你发现方程 的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？x2-3x+2=0举例:1.抛物线y=ax2+bx+c在x轴
上方的条件是什么？变式：不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是正值的条件是什么？你知道吗？不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是非负数的条件是什么？知识点二：a＞0b2-4ac＜0知识点二：2、抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的条
件是什么？＜变式：不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是负值的条件是什么？你知道吗？不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是非正数的条件是什么？练习1、二次函数 的值永远
为负值的条件是( )A.
B.

D.D2、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两
个交点，则a的取值范围是 ( )
A.a＞0 B.a＞- 4/9
C.a＞ 9/4 D.a＜9/4且a≠01、(青海省)如图所示，已知抛物线
y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(x1,0)，
B(x2，0)，且x1+x2=4，x1x2=3，
(1)求此抛物线的解析式；
(2)设此抛物线与y轴的交点为C，过点B、C作直线，求此直线的解析式；
(3)求△ABC的面积.
(1)y= -x2+4x-3 (2) y= x-3 (3) 3 三、综合应用 能力提升向上向上向下向下y轴y轴y轴y轴（0、0）（0、0）（0、k）（0、k）复习回顾向上y轴（0、0）向下y轴（0、0）向上向下x=h（h、0）x=h（h、0）二次函数:y=ax2 +bx + c (a ? 0)二次函数的图象:一条抛物线抛物线的形状,大小,开口方向完全由_____来决定.当a的绝对值相等时,其形状
完全相同,当a的绝对值越大,
则开口越小,反之成立.a 根据左边已画好的函数图象填空：
抛物线y= -2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而增大；
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而减小.
当x= 时，函数y最大值是____.
当x____0时,y<0
(0,0)直线x=0y轴右y轴左00<>?yx 根据左边已画好的函数图象填空：
抛物线y= 2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而减少；
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而增大.
当x= 时，函数y最小值是____.
当x____0时,y>0
(0,0)直线x=0y轴右y轴左00<>?抛物线y＝a(x+h)2+k的性质（1）对称轴是直线x＝_________（2）顶点坐标是___________(3)当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而_______；在对称轴的右侧y随x的增大而________。（4）当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而_________;在对称轴的右侧y随x的增大而___________-h(-h、k)减小增大增大减小观察与归纳： 1、当a ﹥0时，抛物线的开口向上，并且向上无限伸展；
当a ﹤0时，抛物线的开口向下，并且向下无限伸展。2、当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当 时，函数y有最小值 。当a ﹤0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。当 时，函数y有最大值 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下,y随着x的增大而减小.
, y随着x的增大而增大. ,y随着x的增大而增大.
, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：小结课件14张PPT。二次函数第26章复习目标理解二次函数概念掌握二次函数的图象和性质了解二次函数的符号特征会确定抛物线的顶点和对称轴，会对二次函数的图象进行平移1.定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数, a≠0)的函数叫做x的二次函数.知识回顾1、下列函数中，是二次函数的是 .
① ② ③
④ ⑤ ⑥
⑦ ⑧
2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是
二次函数？① ② ③ ⑦=2一般式：y=ax2+bx+c（a≠0)
顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0)
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) （a≠0)二次函数的表示形式思考二次函数 图象是______，开口_____，对称轴是________，顶点坐标是 _________，当x_____时，函数y有最_____值，是_____，当 x _____时， y随x 的增大而减小，当 x________时， y随x 的增大而增大。抛物线向下=－2（－2，4）直线x=－2大4＞－2＜－2若图象向下平移2个单位，再向右平移3个单位得解析式为__________二次函数图象平移：在顶点式中左加右减自变量,上加下减常数项 思考 确定抛物线 的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，并求出与两坐标轴的交点坐标，并求出图象向上平移1个单位,再向左平移3个单位后的解析式,并求出x为何值时,y＞0？
x为何值时,y＜0？小结直线x= 顶点坐标： 对称轴： 与x轴交点，令y=0; 与y轴交点，令x=0二次函数的图象及性质当a>0时开口向上，并向上无限延伸；
当a<0时开口向下，并向下无限延伸.(0,0)(0,c)(h,0)(h,k)直线y轴直线直线在对称轴左侧，y随x的增大而减小在对称轴右侧，y随x的增大而增大在对称轴左侧，y随x的增大而增大在对称轴右侧，y随x的增大而减小y轴已知抛物线 ，求
（1）抛物线的开口方向，顶点A的坐标，对称轴，函数的最值，当x为何值时,y随的增大而减小
（2）抛物线与x轴的交点B、C坐标，与y轴的交点D坐标。
（3）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0 ？练习1、a 、 b 、 c
2、2a+b,2a-b,
3、
4、a+b+c
5、a-b+c1二次函数y=aχ2+bχ+c的图象如下图所示,试判断下列各式的符号知识回顾开口方向大小 向上a>0 向下ao 下半轴c<0- 与1比较- 与-1比较与x轴交点个数令x=1，看纵坐标令x=-1，看纵坐标令x=2，看纵坐标令x=-2，看纵坐标小结练习 判断符号：a、b、c、2a+b、2a-b、b2-4ac、a+b+c、a-b+c、 4a+2b+c 、 4a-2b+c 2、将抛物线y=χ2+2χ-3向左平移4个单位,再向下平移3个单位,求平移后所得抛物线的解析式.1、（1）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是___________对称轴是_________。
（2）抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是___________
（3）已知函数y= -x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是___________
（4）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m= ____。巩固练习（5）已知y=（k+2）x 是二次函数，且当x>0 时，y随X增大而增大，则k=___.k2+k-43、已知抛物线y=x2－kx＋k＋1，根据下列条件，求k的值
（1）顶点在x轴上，k=_____。
（2）抛物线过点（-1，-2），k____。
（3）当x=-1时，函数有最小值，k=_____。
（4）抛物线的最小值为-1 , k=_____。
巩固练习课件35张PPT。第26章 二次函数 复习复习要点巩固训练能力训练例题讲解归纳小结退出二次函数（复习）一、定义二、顶点与对称轴三、解析式的求法四、图象位置与
a、b、c、 的
正负关系一、定义二、顶点与对称轴四、图象位置与
a、b、c、 的
正负关系一般地，如果
y=ax2+bx+c(a，b，c
是常数，a≠0)，那么，y
叫做x的二次函数。三、解析式的求法一、定义二、顶点与对称轴三、解析式的求法四、图象位置与
a、b、c、 的
正负关系y=ax2+bx+c 对称轴： x= – 顶点坐标：（– ， ）一、定义二、顶点与对称轴三、解析式的求法四、图象位置与
a、b、c、 的
正负关系y=ax2+bx+cy=a(x+h)2+ky=a(x-x1)(x-x2) (1)a确定抛物线的开口方向：a>0a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:c>0c=0c<0 (3)a、b确定对称轴 的位置:ab>0ab=0ab<0 (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：Δ>0Δ=0Δ<0 (1)a确定抛物线的开口方向： (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: (3)a、b确定对称轴 的位置: (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0a>0a<0c>0c=0c<0ab>0ab=0ab<0Δ>0Δ=0Δ<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴 的位置: (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：a>0a<0c>0c=0c<0ab>0ab=0ab<0Δ>0Δ=0Δ<0 (1)a确定抛物线的开口方向： (1)a确定抛物线的开口方向： (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: (3)a、b确定对称轴 的位置: (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0?(0,c)a>0a<0c>0c=0c<0ab>0ab=0ab<0Δ>0Δ=0Δ<0 (1)a确定抛物线的开口方向： (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: (3)a、b确定对称轴 的位置: (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0?(0,0)a>0a<0c>0c=0c<0ab>0ab=0ab<0Δ>0Δ=0Δ<0 (1)a确定抛物线的开口方向： (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: (3)a、b确定对称轴 的位置: (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0?(0,c)a>0a<0c>0c=0c<0ab>0ab=0ab<0Δ>0Δ=0Δ<0 (1)a确定抛物线的开口方向： (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: (3)a、b确定对称轴 的位置: (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数： xy0a>0a<0c>0c=0c<0ab>0ab=0ab<0Δ>0Δ=0Δ<0 (1)a确定抛物线的开口方向： (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: (3)a、b确定对称轴 的位置: (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0a>0a<0c>0c=0c<0ab>0ab=0ab<0Δ>0Δ=0Δ<0 (1)a确定抛物线的开口方向： (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: (3)a、b确定对称轴 的位置: (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0a>0a<0c>0c=0c<0ab>0ab=0ab<0Δ>0Δ=0Δ<0 (1)a确定抛物线的开口方向： (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: (3)a、b确定对称轴 的位置: (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：?(x1,0)?(x2,0)a>0a<0c>0c=0c<0ab>0ab=0ab<0Δ>0Δ=0Δ<0 (1)a确定抛物线的开口方向： (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: (3)a、b确定对称轴 的位置: (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0?(x,0)a>0a<0c>0c=0c<0ab>0ab=0ab<0Δ>0Δ=0Δ<0 (1)a确定抛物线的开口方向： (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: (3)a、b确定对称轴 的位置: (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0?a>0a<0c>0c=0c<0ab>0ab=0ab<0Δ>0Δ=0Δ<0例1：例1： 已知二次函数y=—x2+x-—
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）求ΔMAB的周长及面积。
（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？例1： 已知二次函数y=—x2+x-—
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）求ΔMAB的周长及面积。
（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？解:解0xy(3)解0?M(-1,-2)??C(0,-–)??A(-3,0)B(1,0)3 2yxD解解0xx=-1??(0,-–)??(-3,0)(1,0)3 2:(5)?(-1,-2)当x=-1时，y有最小值为
y最小值=-2
当x＜-1时，y随x的增大
而减小;解:0?(-1,-2)??(0,-–)??(-3,0)(1,0)3 2yx由图象可知(6)返回巩固练习（1）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是___________对称轴是_________。
（2）抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是___________
（3）已知函数y=—x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是___________
（4）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m= ____。12（0，0）（2，0）x<12返回如图，在△ABC中∠B=90o，AB=12cm，BC=24cm，动点P从A开始沿AB边以2cm/s的速度向B运动，动点Q从B开始沿BC边以4cm/s的速度向C运动，如果P、Q分别从A、B同时出发。
（1）写出△PBQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当t为何值时，△PBQ的面积S最大，最大值是多少？ 例2；BP=12-2t，BQ=4t
△PBQ的面积:
S=1/2(12-2t) ?4t
即S=- 4t2+24t=- 4(t-3)2+36
能力训练 二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式
中成立的个数是____________1-10xy返回①abc<0
②a+b+c < 0
③a+c > b
④2a+b=0
⑤Δ=b-4ac > 0
√2.如下表，a,b,c满足表格中的条件，那么抛物线
的解析式是( )思维拓展提示：仔细观察表中的数据，你能从中看出什么？①求k的值所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物线②求铅球的落点与丁丁
的距离③一个1.5m的小朋友跑到
离原点6米的地方(如图)，
他会受到伤害吗？学以致用①求k的值参考答案又因为对称轴是在y轴的右侧，
即x=k>0
所以，k=3①求k的值参考答案B①求k的值参考答案>1.5所以，这个小朋友不会受到伤害。B归纳小结： （1）二次函数y=ax2+bx+c及抛物线的性质和应用
注意：图象的递增性，以及利用图象求自变量x或函
数值y的取值范围返回再见