人教A版高中数学必修二6.3.1平面向量的基本定理 同步教学课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
平面向量的基本定理
PART
平面向量的基本定理
01
复习
复行向量基本定理
如果=,则;反之,如果,
且,则一定存在唯一一个实数,使=.即
与共线=().
思考
如图,设、是同一平面内两个不共线的向量,试用
、表示向量,,,
H
E
B
G
A
F
C
D
思考
=2+3 =-+4
=4-4 =-2+5
问题:(1)任何向量是否都可以用含有、的式子来表
示呢？
(2)若向量能够用、表示,这种表示是否唯一？请说
明理由.
平面向量基本定理
如果、是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任意向量,存在唯一的一对实数、,使得=+
把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.记为{,},+叫做向量关于基底{,}的分解式.
注： ① 、是两个不共线的向量；
② 是平面内的任一向量；
③ ,实数,唯一确定.
证明
存在实数,使=,=.于是
=+.
设存在实数,使=+,只要证=且=
+=+,
(-)+(-)=0
N
O
M
A
快问快答
(1) 能与另外一个向量构成基底吗？
(2)平面向量的基底是唯一的吗？
(3)如果,是共线向量,那么向量能否用,
表示,为什么？
例1
已知设,是表示平面内所有向量的一组基底,那么
下面四组向量中,不能作为一组基底的是( )
A.,+ B.-2,-2
C.-2,4-2 D.+,-
答案：C
例2
设向量与不共线,若
3+=+2,
则实数,的值分别为( )
A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4
答案：D
例3
如图所示,已知在平行四边形ABCD中,E,F分别是BC,DC
边上的中点,若=,=,试用,为基底表示向量
,.
A
B
C
D
E
F
=
=
例4
在平行四边形ABCD中,E和F分别是CD和BC的中点,若=+,其中和R,则+的值为 .
答案：
例4
用基底表示向量的两种方法：
1.运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直
至能用基底表示为止；
2.通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的
唯一性求解．
三点共线的推论
复习:如何证明A,P,B三点共线？
已知A,B是直线上任意两点,O是外一点,求证:对直线上任一点P,存在实数,使关于基底的分解式为=+,并且满足上式的点P一定在直线上.
三点共线的推论
A
B
P
O
三点共线的推论
根据平面向量基本定理,同一平面内任一向量都可以用两
个不共线的向量表示,再由已知可得
=+=+
=+(-)
=(1-)+t
设点P满足等式=(1-)+t
则=,即P在上.
三点共线的推论
由此可知,对直线上任意一点P,一定存在唯一的实数满
足向量等式(1);反之,对每一个实数,在直线上都有唯一
的一个点P与之对应.向量等式(1)叫做直线的向量参数
方程式,其中实数叫做参变数,简称参数.
令=,点M是AB的中点,则
=+
特征:与的系数之和是1.
用途:判断点P在直线AB上,即是判定三点共线的依据.
例5
对于空间任意一点O,若A、P、B三点共线,
则=+,求=？
答案:
下节课再见 谢谢！