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相似三角形归纳总结
相似三角形是我们初中几何又一难点，常在几何综合题当中作为一种求线段长度的工具，当我们要求线段长度的时候，我们就要想到等面积，勾股定理，相似。相似比全等要难锁定两个三角形，因为三角形相似图形的大小不一。但是我们也有方法可以搞定。通过探讨研究，让几何也会和代数一样有规律！
首先来看看相似三角形的知识要点
本章知识要点
01
01本章知识要点
相似图形三角形的判定方法
01
02
03
04
相似三角形的预备定理
平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形的判定定理二
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
相似三角形的判定定理一
两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形的判定定理三
三边成比例的两个三角形相似
对应角相等。
对应边成比例。
对应高的比等于相似比。
对应中线的比等于相似比。
对应角平分线的比等于相似比。
周长的比等于相似比。
面积的比等于相似比的平方。
相似三角形的性质：
01本章知识要点
中考考点剖析
02
中考考点解读解读1:相似三角形的判定，主要考查灵活选择相似三角形的判定方法判定两个三角形相似,多以选择题、填空题的形式出现,属基础题。解读2:相似三角形的性质,主要考查运用相似三角形的性质求线段长或图形面积等,多以选择题、填空题或解答题的形式出现,属中档题。解读3:相似三角形的判定与性质的综合应用,主要考查运用判定定理证明两三角形相似，再利用性质得到比例式,进一步求比值或线段长或转化为乘积式,属中档题。解读4:相似三角形的应用,主要考查利用相似三角形的性质进行测量等,多以选择题、填空题或解答题的形式出现,属高档题。02中考考点剖析2022年长春市中考18题02中考考点剖析2023年长春市中考12题02中考考点剖析判定三角形相似的基本思路
03
(1)有平行截线--用平行线的性质,找“等角”.(2)有一对等角--找“另一对等角”或“夹边对应成比例”(3)有两边对应成比例--找“夹角相等”或“第三边也对应成比例”或“有一对直角”.(4)直角三角形--找“一对锐角相等”或“两直角边对应成比例”.(5)等腰三角形--找“顶角相等”或“一对底角相等”或“底和腰对应成比例”.五大常考相似模型及典型例题
04
【主干必备】把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想。
常见的有如下两种,DE∥BC,则△ADE∽__________.
△ABC
A型 X型
（1）平行线型
1. 如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC.若AD＝1，BD＝2，则 的值为( )
A. B. C. D.
B
典型例题：
2. 如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
C
常见的有如下两种情形,如图,已知∠1=∠B,则由公共
角∠A得,△ADE∽__________.
△ABC
(2)相交线型
2、如图，在⊿ABC中，D为AC边上一点，∠DBC= ∠A，BC=，AC=3，则CD的长为（ ）（A）1（B）2（C） （D）.典型例题：1、如图，已知CA=8,CB=6，AB=5，CD=4(1)若CE= 3，则DE=____.(2)若CE=，则DE=____.2.5BCADBEADCB3. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB于点D.
(1)求证：△ACB∽△ADE；
(2)求AD的长．
(1)证明：∵DE⊥AB，∠C＝90°，
∴∠EDA＝∠BCA＝90°，
∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ACB∽△ADE；
(2)解：∵△ACB∽△ADE，
∴AD＝4.
已知∠BAD=∠CAE,∠B=∠D,则△ADE∽__________,下图
为常见的基本图形.
△ABC
(3)旋转型
典型例题:
1.(2019·烟台模拟)如图,△ABC与△ADE都是等腰三角形,AD=AE,AB=AC,∠DAB=∠CAE,求证:△ABC∽△ADE
【自主解答】∵∠DAB=∠CAE,
∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE,
即∠DAE=∠BAC,
∵AD=AE,AB=AC,
∴∠D=∠E= ,
∠B=∠C= ,
∴∠D=∠E=∠B=∠C,
∴△ABC∽△ADE.
已知∠ACB=90°,AB⊥CD,则△CBD∽__________∽
__________.
△ABC
△ACD
(4)子母型
ADCBADCB典型例题：3、如图，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，DC=4 ，AD=9，则BD的长为（ ）（A）36 （B）16（C）6（D） .C
三个等角顶点在同一直线上，如图中，∠1＝∠2＝∠3，可根据三角形内角和定理及补角的性质得另一组等角，从而得三角形相似．
1. 点P在线段AB上(同侧型)
锐角一线三等角
一线三垂直
钝角一线三等角
【微点警示】 无论是哪种类型的三角形,判定相似时要注意隐含条件的挖掘.
(5）一线三等角型(K型)
2.点P在线段AB的延长线上(异侧型)
锐角一线三等角
一线三垂直
钝角一线三等角
拓展：一线三垂直常存在的图形背景
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.
求证：AC·CD＝CP·BP.
证明：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠APC＝∠B＋∠BAP，∠APC＝∠APD＋∠CPD，
∴∠B＋∠BAP＝∠APD＋∠CPD，
∵∠APD＝∠B，∴∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
2. 如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.若AB＝12，AE＝3，CF＝4，求CG的长．
解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BEF＋∠EFB＝90°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠EFB＋∠CFG＝180°－90°＝90°，
∴∠BEF＝∠CFG，∴△EBF∽△FCG.
由题意得，BE＝AB－AE＝9，FC＝4，BF＝BC－CF＝8，
∴CG＝ .
相似三角形中的常见结论
05
1.若DE//AB，则=2.若AD平分∠BAC，则=3.若四边形ABCD是平行四边形，则AE =EF·FG4.若∠DAC=∠DBC，则△ADE∽△BCE ,可推导出△AEB∽△DEC即上下相似可得左右相似同理，左右相似可得上下相似相似三角形的解题方法和技巧
06
题型1：证明等积式(比例式)策略1、直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法2、间接法：⑴3种代换 ：①等积代换； ②等比代换； ③等线段代换；⑵创造条件：①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型； ②先证其它三角形相似——创造边、角条件相似终极策略：遇等积，化比例，横看竖看找关系；四共线，无等边，射影平行用等比；四共线，有等边，必有一条可转换；两共线，上下比，过端平行条件边；彼相似，我角等，两边成比边代换；利用平行和相似，结论一定能达到；图形已知活运用，方法熟练早知道。1、三点定形法即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。例题1：已知∠ABC=∠ADE．求证：AB·AE=AC·AD例题2：在△ABC中，AB=AC，△DEF是等边三角形，求证：BD CN=BM CE．例题3：等边三角形ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。求证：BP PC=BM CN例题4：已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:2、等量过渡法（等线段代换法）分析：遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。 四共线，看条件，其中一条可转换；例题6：如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交AC于H，交BC的延长线于点F．求证：FD2=FB FC．例题5：Rt△ABC中四边形DEFG为正方形。求证：EF2=BE FC3、等比过渡法（等比代换法）分析：当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。 有射影，或平行，等比传递我看行例题7：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E为AC的中点，求证：AB AF=AC DF例题8：图片ABCD，连接AC，延长BE分别交AC、CD于点F、E，延长AD与BE交于点G,求证:=4、等积代换法(1)总体思路:“等积”变“比例”“比例”找“相似”(2)找相似:通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3)找中间比:若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)。即:找相似找不到，找中间比。方法:将等式左右两边的比表示出来。（4）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。例题9：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．求证：CD2＝DF·DG．分析：在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作重线(即得平行线)构造相似三角形或比例线段。主要的辅助线有以下几种： 两共线，上下比，过端平行条件边。题型2：相似三角形中常见的辅助线例题10：AD是△ABC的角平分线.求证：AB:AC=BD:CD.例题11：在△ABC中，AB=AC，求证：GE:DG=CE:BD.例题12：在△ABC中，AB>AC，D为AB上一点，E为AC上一点，AD=AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP:CP=BD:CE.例题13：如图，△ABC中，E、D是BC边上的三等分点，F是AC的中点，BF交AD、AE于G，H，试求BG：GH：HF．二、作延长线例题14. 如图，Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G. 求证：FG2=CFBF.例题15．如图，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，FG⊥AB，连E、F交AC于G．求AG：AC的值．三、作垂线例16：已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求证：BC2＝2CD·AC．例题17：在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，O是AB上的一点，且图片，点P是AC上的一个动点，PQ⊥OP交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），设AP=x,CQ=y，试求关于x的函数关系，并写出定义域。三角形的可解性在一个三角形中，必然存在三角、三边、三高、周长、面积这十一个量，若已知其中任意三个不全为角的条件，则可求出其他八个条件（简称知三求八）。常见辅助线做法：作三角形边上的高遵循原则：①特殊角原则，即作高时常常把特殊角放在直角三角形中进行求解②最长边原则，即作高时常常选择作最长边上的高，使得高在内部③偶数边原则，即常常将偶数边作为直角三角形的斜边，方便计算三角形叉叉图（即三角形内部画一把叉）此类题目常常考察求线段比例或者线段长度。图中四对线段比、、、，知二求二。常用辅助线做法：过点作三角形边的平行线遵循原则：所做辅助线不能破坏原有线段比例题型3：线段长度求法①计算比：直接计算线段长度做法：利用可解性直接求出所求比例线段的数值②共线比：所求比例的两条线段在同一条直线上做法：利用三角形叉叉图，构造平行线求解③共三角形比：所求比例的两条线段在同一三角形中做法：寻找或者构造与之相似且知内比的三角形进行求解④相似比：所求比例的两条线段在两个相似三角形中做法：找到两条线段所在的两个相似三角形，利用相似比求例17：如下图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO.
例18：如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度.
解析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，则可得△AEM∽△ACN.
A
E
C
D
F
B
N
例19.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米
E
D
6.4
1.2
？
1.5
1.4
A
B
C
解：作DE⊥AB于E
得
∴AE=8米，
∴AB=8+1.4=9.4米
物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
构造相似图形间接求已知相似图形直接求相似基本图形的运用方程思想分类思想学会从复杂图形中分解出基本图形整体思想转化思想感谢各位领导、老师的聆听讲稿
各位领导，老师，大家上午好！
很荣幸今天作为备课教师跟大家进行汇报！接下来请允许我开始我的备课！
今天我备课的内容是，微专题相似三角形相关知识与应用的相关内容。
相似三角形是我们初中几何又一难点，常在几何综合题当中作为一种求线段长度的工具，当我们要求线段长度的时候，我们就要想到等面积，勾股定理，相似。相似比全等要难锁定两个三角形，因为三角形相似图形的大小不一。但是我们也有方法可以搞定。通过探讨研究，让几何也会和代数一样有规律！
首先来看看相似三角形的知识要点
本章知识要点1. 相似图形三角形的判定方法：相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形的判定定理一：两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形的判定定理二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
相似三角形的判定定理三：三边成比例的两个三角形相似
2.相似三角形的性质：对应角相等。对应边成比例。对应高的比等于相似比。对应中线的比等于相似比。对应角平分线的比等于相似比。周长的比等于相似比。面积的比等于相似比的平方
中考考点解读
解读1:相似三角形的判定，主要考查灵活选择相似三角形的判定方法判定两
个三角形相似,多以选择题、填空题的形式出现,属基础题
解读2:相似三角形的性质,主要考查运用相似三角形的性质求线段长或图形面积等,多以选择题、填空题或解答题的形式出现,属中档题
解读3:相似三角形的判定与性质的综合应用,主要考查运用判定定理证明两三角形相似，再利用性质得到比例式,进一步求比值或线段长或转化为乘积式,属中档题
解读4:相似三角形的应用,主要考查利用相似三角形的性质进行测量等,多以选择题、填空题或解答题的形式出现,属高档题口中考典题剖析
2022年长春市中考第18题（3）（4）问，2023年长春市中考12题都考察了相似三角形的相关知识。
判定三角形相似的基本思路
(1)有平行截线--用平行线的性质,找“等角”.
(2)有一对等角--找“另一对等角”或“夹边对应成比例”
(3)有两边对应成比例--找“夹角相等”或“第三边也对应成比例”或“有一对直角”.
(4)直角三角形--找“一对锐角相等”或“两直角边对应成比例”.
(5)等腰三角形--找“顶角相等”或“一对底角相等”或“底和腰对应成比例”。
接下来我们从相似三角形的五大常考相似模型及典型例题进行探讨，
平行线型，常见的有如下两种,DE∥BC,则△ADE∽_________，包含A型与X型，与大家分享两个相关例题。
相交线型，常见的有如下两种情形,已知∠1=∠B,则由公共角∠A得,△ADE∽△ABC，典型例题如下。
旋转型，已知∠BAD=∠CAE,∠B=∠D,则△ADE∽__△ABC__,下图为常见的基本图形.典型例题如下。
子母型，已知∠ACB=90°,AB⊥CD,则△CBD∽_△ABC_∽_△ACD__，典型例题如下.
一线三等角型(K型)，三个等角顶点在同一直线上，如图中，∠1＝∠2＝∠3，可根据三角形内角和定理及补角的性质得另一组等角，从而得三角形相似．
1. 点P在线段AB上(同侧型) 2.点P在线段AB的延长线上(异侧型)
拓展：一线三垂直常存在的四种图形如下
一线三等角型的两个经典例题如下。
相似三角形中的常见结论
1.若DE//AB，则DG/AF=GE/BF
2.若AD平分∠BAC，则AB/AC=BD/CD
3.若四边形ABCD是平行四边形，则AE =EF·FG
4.若∠DAC=∠DBC，则△ADE~△BCE ，可推导出△AEB~△DEC ，即上下相似可得左右相似。同理，左右相似可得上下相似
相似三角形的解题方法和技巧
1、直接法：找同一三角形两条边
变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法
2、间接法：
⑴3种代换 ：①等积代换； ②等比代换； ③等线段代换；
⑵创造条件：
①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型； ②先证其它三角形相似——创造边、角条件
相似终极策略：遇等积，化比例，横看竖看找关系；四共线，无等边，射影平行用等比；
四共线，有等边，必有一条可转换；两共线，上下比，过端平行条件边；
彼相似，我角等，两边成比边代换；利用平行和相似，结论一定能达到；
图形已知活运用，方法熟练早知道。
1、三点定形法
即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。（例题如下）
2、等量过渡法（等线段代换法）
分析：遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。
四共线，看条件，其中一条可转换；（例题如下）
3、等比过渡法（等比代换法）
分析：当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。
有射影，或平行，等比传递我看行（例题如下）
4、等积代换法
(1)总体思路:“等积”变“比例”“比例”找“相似”
(2)找相似:通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.
(3)找中间比:若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)。即:找相似找不到，找中间比。方法:将等式左右两边的比表示出来。
（4）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。（例题如下）
题型2：相似三角形中常见的辅助线
分析：在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作重线(即得平行线)构造相似三角形或比例线段。主要的辅助线有以下几种：
两共线，上下比，过端平行条件边。
三角形的可解性
在一个三角形中，必然存在三角、三边、三高、周长、面积这十一个量，若已知其中任意三个不全为角的条件，则可求出其他八个条件（简称知三求八）。
常见辅助线做法：作三角形边上的高
遵循原则：
①特殊角原则，即作高时常常把特殊角放在直角三角形中进行求解
②最长边原则，即作高时常常选择作最长边上的高，使得高在内部
③偶数边原则，即常常将偶数边作为直角三角形的斜边，方便计算
三角形叉叉图（即三角形内部画一把叉）
此类题目常常考察求线段比例或者线段长度。
图中四对线段比AE/ED、AF/BF、CD/BD、CE/CF，知二求二。
常用辅助线做法：过点作三角形边的平行线
遵循原则：所做辅助线不能破坏原有线段比例
题型3：线段长度求法
①计算比：直接计算线段长度
做法：利用可解性直接求出所求比例线段的数值
②共线比：所求比例的两条线段在同一条直线上
做法：利用三角形叉叉图，构造平行线求解
③共三角形比：所求比例的两条线段在同一三角形中
做法：寻找或者构造与之相似且知内比的三角形进行求解
④相似比：所求比例的两条线段在两个相似三角形中
做法：找到两条线段所在的两个相似三角形，利用相似比求
例17.
例18.
例19.
相似基本图形的运用，包含方程思想，整体思想，转化思想，分类思想，要运用已知相似图形直接求或者构造相似图形间接求，学会从复杂图形中分解出基本图形。
以上就是相似三角形归纳总结，感谢各位老师的聆听 ！
