反比例函数解题策略讲稿
各位老师上午好，今天我要和大家分享的是反比例函数解题策略。
反比例函数的计算型问题不仅考察反比例函数的性质，还与几何图形相结合，是数形结合思想的重要体现，也是历年中考的热门考点。而且从历年中考来看，题目更多的时候会出现在选择或者填空。
当然这都不妨碍它的重要性。
解决此类问题的方法，可分为两类，具体需要哪一种方法，还要从题设入手。
①如果题设条件中有图形的面积，首选k的几何意义解题，找出面积与k之间的关系。
②如果题设条件是线段的比例关系、三角函数值、平行、点的坐标等，选用设点的坐标方法，根据图形的性质或者题设条件转化点的坐标。
简单地说，两种方法，一种利用k的几何意义；第二种设点的坐标。当缺乏转化条件时，就需要作辅助线，我们常用的辅助线：作坐标轴的平行线或者垂线构造全等三角形、相似三角形等。
反比例函数因其内容丰富，涉及知识点广，可以挖掘的地方多，特别是反比例函数与面积问题比较常见，准确把握反比例函数中K的几何意义是关键，也是反比例函数的精髓所在。若能用好“K”值，会给解题带来很多方便，所以对反比例函数中常见的几种面积问题做了大致总结。
下面是常见的六种反比例函数模型，能够帮助我们理解和解决反比例函数与几何图形综合问题。
运用转化思想，图2和图3两个小三角形，都和图1三角形同底等高，所以它们的面积都相等，都等于1/2|k|。
方法：连结OP，那么 PAB的面积就和以转化成 PAO的面积,等于1/2 K的绝对值等于3，所以当点A的横坐标逐渐增大时， PAB的面积将会不变.
接下来看变式：
当问题复杂时，找对解题思路尤为重要。变式１中，这道题在题设中出现了图形的面积，所以我们首选用图形的面积来解决问题。从想要求出K的值,想到求出 AMO的面积。而在题设中，给出的是四边形AMNB的面积是３，通过观察四边形AMNB发现 BCN和 ACM是相似三角形，相似比是1 : 2，面积比是1 : 4。进而可以求出 ACM它的面积是4。得到这个结论后，再比较 AMO和 AMC，是等高的两个三角形，那么面积之比就等于底之比。从而得出 AMO的面积，进而求出k的值。
变式２，３可供练习时选用。
这一类型中我归结为四边形和三角形两中类型，其中每种类型又分为两支双曲线在同一象限和不同象限内两种情况。两双曲线在同一象限内与平行线相交由平行线段和坐标轴上线段所构成的矩形或是平行四边形的面积等于|k1-k2｜，即图1，矩形ABCD的面积等于两个矩形面积差。若两双曲线在不同象限内，则面积为|k1l+|k2|;两双曲线在同一象限内与平行线相交，由平行线段和坐标轴上任意一点所构成的 的面积＝二分之一倍lk1-k2l，如图2，
AOB的面积等于两个小三角形的面积差。若两双曲线在不同象限内，则面积为=1/2|k1l+1/2|K2|。如图3，S ABC=S AOB等于两个小三角形的面积和。
直接运用模型，三角形AOB的面积可以转化成两个三角形的差，即三角形AOH的面积减去三角形BOH的面积等于5/2减去3/2等于1。
反比例函数作为中考的小压轴题，难度在中等偏上，当问题没有思路时，可以做辅助线来帮助我们解决问题，过双曲线上的点做坐标轴的平行线。因题设中给了隐含的点的坐标关系。从提设入手，PA平行于y轴，那么点P、A的横坐标相同；同理PB平行于X轴，那么点P、B的纵坐标相同。那我们选择设点的坐标来解决问题，设点A的横坐标为t，那么，点A、B、P的坐标都可以用t来表示，再用t来表示线段PA、PB的长度。三角形PAB的面积就可以求出来了。
学生已经学习了单支双曲线上任意一点向两坐标轴引垂线，这一点和两垂足以及坐标原点所构成的矩形面积是固定值|k|，然后继续探讨几个矩形排除掉重合部分后剩余部分的面积仍相等的情况。
这道题中提到了图形的面积，可以鼓励学生先尝试用图形的面积解决它，发现行不通，便可换成设点的坐标。因为正方形ADEF的面积是4，所以正方形的边长是２，那么BF＝２AF=4，从而我们可以得到B点的纵坐标和E点的纵坐标。设B（ｔ，６），E（ｔ－２，２），求出ｔ的值，从而得出ｋ的值。
两点一垂线模型是指反比例函数与正比例函数两交点及向某一坐标轴作垂线所形成的三角形面积等于|k|，方法是把三角形用坐标轴分割成同底等高的两个小三角形。图1和图2都是OM把 ABM分成面积相等的两个小三角形。
反比例函数图像是一种特殊的图形，它的两个分支即关于原点对称，又关于直线y＝x对称，还关于直线y=-x对称，因此，我们做题时要充分利用反比例函数的对称性来解题。我们对反比例函数一些高级性质的探究，意在一是加强学生的解析法、面积法解决问题能力，二是对文中数学模型有一个更深刻及清醒的认识。例4中，吧A点的横坐标-4代入反比例函数 ，从而等到A点纵坐标，再由点A、C关于原点中心对称，得出C点的坐标，问题就迎刃而解了。
这类模型主要探讨了反比例函数与正比例函数不在同一象限的两交点向两坐标轴引垂线形成的三角形的面积和两交点向同一坐标轴引垂线两垂线形成的四边形的面积都等于2|k|。
因反比例函数与一次函数的交点分别在两支上，多采用割补法将图形分解成多个熟悉的小三角形或四边形进行解决问题。图1可由 AOD和 ABC相似得出结论，图2易知四边形ACBD是平行四边形
这道题中，三角形ABD被AO分割成的两个小三角形面积相等,都等于二分之|k|。
这类模型是一次函数与反比例函数的两交点和原点（或坐标轴上的一点）所构成的三角形面积，这种三角形的面积求法，基本都以坐标轴分割的几个小三角形面积之和为思路，往往需要用待定系数法求出一次函数表达式，得出点的坐标。
模型的应用，线段OD把 AOB分成两个小三角形。再通过求AB的函数表达式得到点D的坐标，进而就可以求出两个小三角形的面积。
通过分类讨论和数形结合的数学思想，总结了６类反比例函数中常见的面积问题。虽然函数的图像复杂多变，但只要我们用心思考，准确把握比例函数中K的几何意义，灵活应用，总能找到解决问题的方法。
今天，我的分享就到这里，非常感谢魏主任和张主任给我的这次机会，也感谢大家的聆听，谢谢大家！(共23张PPT)
反比例函数解题策略
当然，这些都不妨碍它的重要性。
反比例函数的计算型问题不仅考察反比例函数的性质，还与几何图形相结合，是数形结合思想的重要体现，也是历年中考的热门考点。而且从历年中考来看，题目更多的时候会出现在选择、填空。
解决此类问题的方法，可分为两类：
①若题设条件中有图形的面积，首选k的几何意义解题，找出面积与k之间的关系。
②若题设条件是线段的比例关系、三角函数值、平行、点的坐标等，选用设点的坐标方法，根据图形的性质或者题设条件转化点的坐标。
常用的辅助线：坐标轴的平行线或者垂线。
下面是常见的六种反比例函数模型，能够帮助我们解决反比例函数与几何图形综合问题。
① ② ③
3
1
① ② ③
H
① ②
① ②
① ②
D
① ② ③
D
通过分类讨论和数形结合的数学思想，总结了６类反比例函数中常见的面积问题。虽然函数的图像复杂多变，但只要我们用心思考，准确把握比例函数中K的几何意义，灵活应用，总能找到解决问题的方法。
谢谢大家！
内
内
模型1【一点一垂线模型】
特点：如过反比例函数图像上一点作坐标轴的垂线，该点、垂足与坐标轴上一点（含原点）构成的三角形面积等于k;
B
B
1
SAABC=Ik|
【例1】如图，已知动点A,B分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数=(>0)图象上，PA1x轴，
△PAB是以PA为底边的等腰三角形.当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会()
B
A.越来越小
B.越来越大
C.不变
D.先变大后变小
【解答】解：如图，过点B作BC⊥PA于点C,
B
则BC=OA,
设点P(x,-)
16
则S△PAB=
2PA-BC-3
当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会不变，始终等于3，
故选：C
