2022-2023学年山东省烟台市招远市七年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市招远市七年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列命题中，属于假命题的是( )
A. 直角三角形两锐角互余
B. 两个互余的角不相等
C. 在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行
D. 对顶角相等
2. 下列方程组中是二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
3. 下列成语所描述的事件是随机事件的是( )
A. 水中捞月 B. 空中楼阁 C. 守株待兔 D. 瓮中捉鳖
4. 在下列图形中，由条件不能得到的是( )
A. B.
C. D.
5. 用代入法解方程组，使得代入后化简比较容易的变形是( )
A. 由得 B. 由得
C. 由得 D. 由得
6. 众所周知，由于三角板的特殊形状和特殊角的存在，可以与平行线相结合，利用平行线的性质求出相应角的大小；如图，直线，将一块含的直角三角板按如图方式放置，其中，两点分别落在直线，上，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
7. 一只不透明的袋子里装有个黑球，个白球，每个球除颜色外都相同，则“从中任意摸出个球，至少有个球是黑球”的事件类型是( )
A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 无法确定
8. 以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的位置是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9. 如图，这是小明训练飞镖的木板，由除颜色外都相同的小正方形组成小明站在距木板米的地方，将一个飞镖随机的投向该木板飞镖落在木板上，则飞镖落在阴影部分的概率是( )
A.
B.
C.
D.
10. 算法统宗中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤两还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问肉数和肉价各是多少？则该问题中，哑巴所带的钱共能买到的肉为( )
A. 两 B. 两 C. 两 D. 两
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 说明“互补的两个角一定是一个锐角一个钝角”是假命题，可举出的反例是______ ．
12. 小明发现家里瓶相同的饮料中有瓶过了保质期，他从这瓶饮料中任取瓶，恰好取到未过保质期的饮料的概率是______ ．
13. 已知方程组的解为，则 ______ ．
14. 如图，将沿折叠，使，点的对应点为点，若，，则的度数是______ ．
15. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法如图，直线和直线相交于点，根据图象可知，方程组的解是______ ．
16. 如图，、的角平分线交于点，若，，则的度数为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解方程组：
；
．
18. 本小题分
证明一个命题的正确性，要按“已知”“求证”“证明”的顺序和格式写出其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而证明则是由条件出发，根据已给定的定义、基本事实和已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论的过程请根据以上方法求证：四边形内角和等于．
19. 本小题分
已知关于、的二元一次方程组的解满足，求的值请用种方法解决问题
20. 本小题分
一个不透明的口袋里有个除颜色外都相同的球，其中有个红球，个黄球．
从中随意摸出一个球，摸出______ 球的可能性大；
若从中随意摸出一个球，摸出红球的概率是______ ；
若要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，袋子中需再加入______ 个红球；
若另外拿个同款的球放入口袋中球的颜色是红色和黄色，你认为怎样放才能使摸到的红球和黄球的可能性相同？请分别求出放入口袋中红球、黄球的个数．
21. 本小题分
某超市购进甲、乙两种类型的保温杯进行销售，已知购进个甲类保温杯和个乙类保温杯的价钱相同，购进个甲类保温杯比购进个乙类保温杯多用元．
求甲、乙两类保温杯每一个的进价分别是多少？
超市根据市场需求，决定购进这两种类型的保温杯共个进行销售，甲类保温杯每个售价元，乙类保温杯每个售价元，若超市购进的这两类保温杯全部售出后，共获利元，则该超市本次购进甲、乙两种类型的保温杯各多少个？
22. 本小题分
如图：点是的边上任意一点，，平分，，，求的度数．
23. 本小题分
【数学问题】解方程组．
【思路分析】小明观察后发现方程的左边是，而方程的括号里也是，他想到可以把视为一个整体，把方程直接代入到方程中，这样，就可以将方程直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程．
你还能用其他的方法来求得方程组的解吗？
【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组．
24. 本小题分
【问题背景】
一副三角板按图的形式摆放，其中两个直角顶点重合在点处，，，，把含角的三角板固定，含角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为在旋转过程中，点在直线的上方．
【操作发现】如图所示，若，则的度数为______ ．
直接写出和之间的数量关系：______ ．
【深入探究】三角板在旋转的过程中，这两块三角板是否存在有两边互相平行的情况？若存在，请直接写出所有可能平行的情况，若不存在，请说明理由；
选择中的一种情形，画出图形，求出的度数．
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与相交于点．
求直线的解析式；
求四边形的面积；
若点为轴上一动点，过点作垂直于轴的直线，与直线交于点若，请直接写出所有符合题意的点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直角三角形的两个锐角互余，正确，是真命题；
B.两个互余的角可以相等，错误，是假命题；
C.在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题；
D.对顶角相等，正确，是真命题；
故选：．
根据直角三角形的性质、平行线的判定、对顶角相等逐一判断即可
本题主要考查命题与证明，解题的关键是掌握直角三角形的性质、平行线的判定、对顶角相等．
2.【答案】
【解析】解：、该方程组中含有个未知数，不属于二元一次方程组，故本选项不符合题意．
B、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意．
C、未知数的次数为，不属于二元一次方程组，故本选项不符合题意．
D、分母含有未知数，不属于二元一次方程组，故本选项不符合题意．
故选：．
利用二元一次方程组的定义判断即可．
此题考查了二元一次方程组的定义，由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
3.【答案】
【解析】解：水中捞月是不可能事件，不正确；
空中楼阁是不可能事件，不正确；
守株待兔是随机事件，C正确；
瓮中捉鳖是必然事件，不正确；
故选：．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】
【解析】解：、的对顶角与的对顶角是同旁内角，它们互补，所以能判定；
B、的对顶角与是同旁内角，它们互补，所以能判定；
C、的邻补角，所以能判定；
D、由条件能得到，不能判定；
故选：．
在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此判断即可．
本题考查了平行线的判定，解题的关键是注意平行判定的前提条件必须是三线八角．
5.【答案】
【解析】解：观察可知，由得代入后化简比较容易．
故选：．
根据代入消元法解二元一次方程组，尽量选择两个方程中系数的绝对值是的未知数，然后用另一个未知数表示出这个未知数．
本题考查了解二元一次方程组，主要是对代入消元法转化方程的考查，需熟记．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，，，
，
，
故选：．
根据平行线的性质可得，即可求得结果．
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线相等，同旁内角互补是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：一只不透明的袋子里装有个黑球，个白球，每个球除颜色外都相同，
事件“从中任意摸出个球，至少有个球是黑球”的事件类型是必然事件．
故选：．
直接利用必然事件的定义得出答案．
此题主要考查了随机事件，正确掌握相关定义是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：由可得：，
解得，
，
以方程组的解为坐标的点在第四象限，
故选：．
先求解方程组，再判断点在平面直角坐标系中的位置．
本题考查了二元一次方程组的解法及平面直角坐标系的相关知识，掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：总面积为，
其中阴影部分面积为，
飞镖落在阴影部分的概率是，
故选：．
根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
10.【答案】
【解析】解：设肉价为文两，哑巴所带的钱数为文，
依题意，得：，
解得：，
．
故选：．
设肉价为文两，哑巴所带的钱数为文，根据“买一斤两还差二十五文钱，买八两多十五文钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其代入中即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11.【答案】互补的两个角可以都是直角
【解析】解：互补的两个角可以都是直角，
说明“互补的两个角一定是一个锐角一个钝角”是假命题，可举出的反例是“互补的两个角可以都是直角”．
根据两个直角互补解答即可．
本题考查的是两角互补的定义，即若两个角的和是，则这两个角互补．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得：恰好取到未过保质期的饮料的概率是．
故答案为：．
直接根据概率公式计算，即可求解．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
13.【答案】
【解析】解：把代入得：
，
解得，
．
故答案为：．
把与的值代入方程组，求出与的值，即可确定出的值．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
14.【答案】
【解析】解：，
，
又，，，
，．
由折叠的性质可知：，
，
．
故答案为：．
由，可得出，由三角形的内角和为可求出的度数，从而得出的度数，由折叠的性质可知，可得，代入数据即可得出结论．
本题考查平行线的性质、折叠的性质以及三角形的内角和为，解题的关键是找出与的度数．本题属于基础题，根据平行线的性质找出角的关系，结合图形即可得出结论．
15.【答案】
【解析】解：直线和直线相交于点，
方程组的解是．
故答案为：．
两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
本题主要考查了一次函数与二元一次方程，掌握二元一次方程与一次函数的关系：从图象上看，二元一次方程的解相当于已知两条直线交点的坐标成为解答本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：延长交于点，
设，
平分，
，
，
，
平分，
，
，，
，
，
故答案为：．
延长交于点，设，利用外角的性质表示出，结合角平分线得到，根据列出等式，即可求出．
本题考查三角形，角平分线，解题的关键是熟练运用三角形的外角性质，本题属于基础题型．
17.【答案】解：，
得：，解得：，
将代入，解得：，
原方程的解是．
，整理得：
，
，可得：
，解得：，
将代入，解得：，
原方程组的解是．
【解析】直接运用加减消元法即可解答；
先化简方程组，然后运用加减消元法即可解答．
本题主要考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解答本题的关键．
18.【答案】解：已知：如图，四边形是一个任意四边形．
求证：．
证明：连接，
的内角和是，
，
的内角和是，
，
，
，
四边形内角和．
【解析】根据题意，写出已知、求证，并画出图形，再写出证明过程即可．
本题考查了四边形内角和的证明、三角形的内角和定理，解决本题的关键是熟练掌握证明题的解答过程．
19.【答案】解：方法一：
由题意可得：，
由得：，
把代入、得：，
整理得：，
解得：，
的值为．
方法二：
由得：，
把代入得：，
，
，
由题意可得：．
，
解得：
的值为．
方法三：
得：，
由题意可得：．
，
解得：，
把，代入得：，
解得：，
的值为．
【解析】方法一：由题意可得：，由得：，把代入、得整理得：，解方程组即可求解；
方法二：由得：，把代入得：，由题意可得： ，解方程即可求解；
方法三：得：，由题意可得：把，代入，即可求解．
本题考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
20.【答案】黄
【解析】解：有个除颜色外都相同的球，其中有个红球，个黄球，
黄球的个数大于红球的个数，
从中随意摸出一个球，摸出黄球的可能性大，
故答案为：黄；
从中随意摸出一个球，摸出红球的概率是，
故答案为：；
设袋子中需再加入个红球，
由题意列方程得，，
解得，
经检验是原方程的解，
袋子中需再加入个红球，
故答案为：；
要使摸到的红球和黄球的可能性相同，即摸到红球的概率为，
设口袋中放入红球个，由题意得，
，
解得，
口袋中放入黄球的个数为，
答：放入口袋中红球个、黄球个．
根据可能性的概念求解即可；
根据概率公式求解即可；
设袋子中需再加入个红球，根据题意列方程求解即可；
设口袋中放入红球个，根据题意列方程求解即可．
本题考查概率的计算，掌握概率的计算方法是正确解答的关键．
21.【答案】解：设甲类保温杯每个进价为元，乙类保温杯每个的进价为元，依题意得：
，
解得：．
答：甲类保温杯每个的进价为元，乙类保温杯每个的进价为元；
设该超市本次购进甲类保温杯个，则购进乙类保温杯为个，
依题意得：，
解得：，
台．
答：该超市本次购进甲类保温杯个，乙类保温杯个．
【解析】设甲类保温杯每个进价为元，乙类保温杯每个的进价为元，根据题意列出方程组即可解答；
设该超市本次购进甲类保温杯个，则购进乙类保温杯为个，根据题意列出方程即可解答．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
22.【答案】解：，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
．
【解析】利用平行线的性质和判定解答即可．
此题考查三角形的内角和定理，关键是根据平行线的判定和性质解答．
23.【答案】解：把代入，得，
解得：，
把代入得：，
解得：，
原方程组的解为；
由得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
原方程组的解为；
把代入得：，解得：，
把代入得：，解得：，
把代入得：，解得：，
原方程组的解为．
【解析】把代入，求出的值，再把的值代入，求出的值；
由可得，把代入求出的值，再把的值代入，求出的值，即可；
先把代入，求出的值，再把的值代入，求出的值，最后把的值代入，求出的值，即可．
本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组，掌握整体思想是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：含角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为，
．
故答案为．
，
，，
．
故答案为．
如图：当时，；
如图：当时，；
如图：当时，；
如图：当时，；
如图：当时，；
综上，存在．一共有种情况，分别有：、、、、．
如图：当时，
答案不唯一
直接根据旋转的性质即可解答；
由题意可知，然后可得、，最后求和即可解答；
分别画出各种情况即可解答；
任选的一种情况求解即可．
本题主要考查了旋转的性质、平行线的性质、平行线的判定等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解答本题的关键．
25.【答案】解：直线：与相交于点，
，
解得，
，
设直线的表达式为，
把点，代入得：
，
解得，
直线的解析式为；
当时，，
直线与轴的交点的坐标为，
，
当时，，，
直线与轴的交点的坐标为，
，
，
，
．
过点作垂直于轴的直线，与直线交于点，
点的坐标为：，
，
，
当点在点的上方时，如图所示：
，
解得：，
此时点的坐标为；
当点在点的下方时，如图所示：
，
解得：，
此时点的坐标为；
综上分析可知，点的坐标为或．
【解析】先求出点的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可；
先求出点、的坐标，得出，然后根据求出结果即可；
先求出点的坐标为：，得出，求出，分两种情况，当点在点的上方时，当点在点的下方时，分别求出点的坐标即可．
本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线所围成的图形面积，解题的关键是画出图形，数形结合，熟练掌握待定系数法．
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