人教版高中数学必修第二册6.1——6.2同步测试滚动训练（含解析）

人教版高中数学必修第二册6.1——6.2同步测试滚动训练
(时间:45分钟　分值:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.对于向量a与b,下列说法中正确的是 (　　)
A.若|a|=|b|,则a与b是共线向量
B.若|a|<|b|,则aC.若存在向量c,使得a∥c且c∥b,则a∥b
D.若a=b,则|a|=|b|
2.如图G1-1,在四边形ABCD中,若=,则下列各组向量中相等的是 (　　)
图G1-1
A.与
B.与
C.与
D.与
3.如图G1-2,平行四边形ABCD的对角线相交于点M,若=a,=b,则用a,b表示为 (　　)
图G1-2
A.a+b B.a-b
C.-a-b D.-a+b
4.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(　　)
A.4 B.3
C.2 D.0
5.若||=7,||=4,则||的取值范围是 (　　)
A.[3,7] B.(3,7)
C.[3,11] D.(3,11)
6.设a,b是非零向量,则“存在实数λ,使得a=λb”是“|a+b|=|a|+|b|”的 (　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则a与b的夹角θ= (　　)
A.150° B.120°
C.60° D.30°
8.已知向量a,b满足|a|=1,a⊥b,则向量a-2b在向量a上的投影向量为 (　　)
A.a B.a
C.-a D.a
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.若a,b为已知向量,且(4a-3c)+3(5c-4b)=0,则c=　　　　.
10.已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则a与b的夹角为　　　　.
11.已知等边三角形ABC中,D为BC上一点,若AB=3,BD=1,则·=　　　　.
12.已知|a|=,|b|=1,a与b的夹角为45°,则使向量2a-λb与λa-3b的夹角是锐角的实数λ的取值范围为　　　　　　　　　.
三、解答题(本大题共3小题,共40分)
13.(10分)已知e,f为两个不共线的向量,若四边形ABCD满足=e+2f,=-4e-f,=-5e-3f.
(1)用e,f表示;
(2)证明:四边形ABCD为梯形.
14.(15分)已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角θ=60°,求:
(1)a·b;(2)(2a-b)·(a+3b);(3)|a-b|.
15.(15分)如图G1-3,在边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是线段CD上一点,且满足||=2||,设=a,=b.
(1)用a,b表示.
(2)在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE 若存在,确定点F的位置,并求||;若不存在,请说明理由.
图G1-3
参考答案与解析
1.D　[解析] 两个向量的模相等时,它们不一定共线,故A错误;向量不能比较大小,故B错误;当c为零向量时,由a∥c且c∥b不能得出a∥b,故C错误.故选D.
2.D　[解析] 因为=,所以AB CD,所以四边形ABCD是平行四边形,所以AC,BD互相平分,所以=.故选D.
3.D　[解析] =-=b-a,∵平行四边形ABCD的对角线相交于点M,∴点M为BD的中点,∴==-a+b.故选D.
4.B　[解析] a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-(-1)=2+1=3,故选B.
5.C　[解析] 当与 共线且方向相反时,||取得最大值,最大值为4+7=11;当与共线且方向相同时,||取得最小值,最小值为7-4=3.故||的取值范围是[3,11].故选C.
6.B　[解析] 存在实数λ,使得a=λb,说明向量a,b共线,当a,b同向时,|a+b|=|a|+|b|成立,当a,b反向时,|a+b|=|a|+|b|不成立,所以充分性不成立.当|a+b|=|a|+|b|成立时,有a,b同向,所以存在实数λ,使得a=λb,必要性成立.故“存在实数λ,使得a=λb”是“|a+b|=|a|+|b|”的必要而不充分条件.故选B.
7.B　[解析] 由|a|=|b|=|c|且a+b=c,得|a+b|=|b|,平方得|a|2+|b|2+2a·b=|b|2 2a·b=-|a|2 2|a|·|b|·cos θ=-|a|2 cos θ=- θ=120°.
8.A　[解析] 如图,作=a,=b,OA⊥OB.延长OB至点C,使OB=BC,以OA,OC为邻边作矩形OCDA,则=2b,=a-2b,∠ACD即为a-2b与a的夹角,cos ∠ACD==,则向量a-2b在向量a上的投影向量为|a-2b|cos ∠ACD a=a.
9.b-a　[解析] ∵(4a-3c)+3(5c-4b)=0,∴a-2c+15c-12b=0,化简得13c=12b-a,∴c=b-a.
10.90°　[解析] ∵|a+b|=|a-b|,∴|a+b|2=|a-b|2,∴a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,解得a·b=0,∴a与b的夹角为90°.
11.　[解析] ∵=+,∴·=(+)·=+·=32+3×1×cos 120°=9-=.
12.1<λ<6且λ≠　[解析] ∵|a|=,|b|=1,a与b的夹角为45°,∴a·b=|a||b|cos 45°=×1×=1.当2a-λb与λa-3b同向共线时,满足2a-λb=m(λa-3b),m>0,则 得λ=.若向量2a-λb与λa-3b的夹角是锐角,则(2a-λb)·(λa-3b)>0且λ≠,即2λa2+3λb2-(6+λ2)a·b>0且λ≠,即4λ+3λ-(6+λ2)>0且λ≠,即λ2-7λ+6<0且λ≠,得1<λ<6且λ≠.
13.解:(1)=++=(e+2f)+(-4e-f)+(-5e-3f)=(1-4-5)e+(2-1-3)f=-8e-2f.
(2)证明:因为=-8e-2f=2(-4e-f)=2,
所以与同方向,且的长度为的长度的2倍,
所以在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD≠BC,所以四边形ABCD是梯形.
14.解:(1)a·b=|a|·|b|cos θ=2×3×cos 60°=3.
(2)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5a·b-3|b|2=2×22+5×3-3×32=-4.
(3)|a-b|====.
15.解:(1)根据题意得==b,
===-=-a,
∴=+=b-a.
(2)在线段BC上存在一点F满足AF⊥BE,此时||=.
理由如下:
设=t=tb(0≤t≤1),则=(1-t)b,
∴=+=a+tb.
∵在边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60°,
∴a·b=|a||b|cos 60°=.
∵AF⊥BE,∴·=(a+tb)·b-a=1-ta·b-a2+tb2=1-t×-+t=0,
解得t=,从而=a+b,
∴||====.