人教版高中数学必修第二册6.2.4向量的数量积 第1课时 向量数量积的定义、投影向量 同步练习（含解析）

人教版高中数学必修第二册6.2.4向量的数量积
第1课时向量数量积的定义、投影向量 同步练习
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角θ=150°,则a·b等于 (　　)
A.-6 B.6
C.-6 D.6
2.如图L6-2-10所示,一力作用在小车上,其中力F的大小为10 N,方向与水平面成60°角.当小车向前运动10 m时,力F所做的功为 (　　)
图L6-2-10
A.100 J
B.50 J
C.50 J
D.200 J
3.已知两个单位向量e1,e2的夹角为θ,则下列说法不正确的是 (　　)
A.e1在e2上的投影向量为cos θ e2
B.e1·e2=1
C.=
D.(e1+e2)⊥(e1-e2)
4.在四边形ABCD中,·=0,=,则四边形ABCD是 (　　)
A.直角梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
5.已知△ABC中,·(+)=0,则△ABC的形状为 (　　)
A.正三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
6.已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为,e是与向量a+b方向相同的单位向量,则a在向量a+b上的投影向量为 (　　)
A.e B.e
C.e D.e
7.在△ABC中,AB=4,∠ABC=30°,AD是边BC上的高,则·等于 (　　)
A.0 B.4
C.8 D.-4
8.已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为 (　　)
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角θ=120°,则a·b=　　　　.
10.已知|a|=2,|b|=8,a与b的夹角θ=60°,则向量b在向量a上的投影向量是　　　　,向量a在向量b上的投影向量是　　　　.
11.已知在△ABC中,AB=AC=4,·=8,则△ABC的形状是　　　　　　.
12.已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知△ABC中,=a,=b,当a·b满足下列条件时,能确定△ABC的形状吗
(1)a·b<0;(2)a·b=0;(3)a·b>0.
14.(10分)若向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4,求a·b+b·c+c·a.
15.(5分)(多选题)设a,b是两个非零向量,则下列说法中正确的是 (　　)
A.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ使得a=λb
B.若a⊥b,则|a+b|=|a-b|
C.若|a+b|=|a|+|b|,则a在b上的投影向量为|a|
D.若存在实数λ使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|
16.(15分)已知两个不共线的向量a,b满足|a|=3,|b|=1,它们的夹角为,求|xa-b|的最小值及对应的实数x的值,并判断此时向量a与向量xa-b是否垂直.
参考答案与解析
1.C　[解析] a·b=|a||b|cos θ=3×4×=-6.
2.B　[解析] 力F所做的功为10×10cos 60°=50(J),故选B.
3.B　[解析] e1在e2上的投影向量为|e1|·cos θ e2=cos θ e2,故A中说法正确;e1·e2=|e1||e2|cos θ=cos θ,故B中说法不正确;|e1|2=|e2|2=1,故C中说法正确;(e1+e2)·(e1-e2)=|e1|2-|e2|2=0,故D中说法正确.
4.C　[解析] 由·=0,知AB⊥BC.由=,知BC AD,所以四边形ABCD是矩形.
5.B　[解析] 因为+=,所以·(+)=·=0,所以⊥,所以△ABC为直角三角形,故选B.
6.A　[解析] 由题知a·b=-1,|a|=2,|b|=1,∴|a+b|===,a·(a+b)=a2+a·b=4-1=3,∴a在a+b上的投影向量为·e=·e=e.故选A.
7.B　[解析] 由题可得在上的投影向量为,所以·=||2.由已知可得AD=AB·sin∠ABC=2,所以·=||2=4.
8.C　[解析] 设两个非零向量a,b的夹角为θ,因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,即2a2+|a||b|cos θ=0,又因为|b|=4|a|,|a|≠0,所以cos θ=-.因为θ∈[0,π],所以θ=.故选C.
9.-1　[解析] a·b=|a||b|cos θ=1×2×=-1.
10.2a　　[解析] 向量b在向量a上的投影向量是|b|cos θ·=8×cos 60°·=2a.向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θ·=2×cos 60°·=.
11.等边三角形　[解析] 由·=||||cos∠BAC,得8=4×4cos∠BAC,所以cos∠BAC=,因为0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°,又AB=AC,所以△ABC是等边三角形.
12.90°　[解析] 由=(+),知O是线段BC的中点,故BC是圆O的直径,从而∠BAC=90°,因此与的夹角为90°.
13.解:a·b=·=||·||·cos A.
(1)当a·b<0时,A为钝角,△ABC为钝角三角形.
(2)当a·b=0时,A为直角,△ABC为直角三角形.
(3)当a·b>0时,A为锐角,△ABC的形状不确定.
14.解:由已知得|c|=|a|+|b|,c=-a-b,∴向量a与b同向,而向量c与它们反向,
∴a·b+b·c+c·a=3cos 0°+4cos 180°+12cos 180°=3-4-12=-13.
15.AB　[解析] 当|a+b|=|a|-|b|时,a,b方向相反且|a|≥|b|,则存在负实数λ使得a=λb,A选项说法正确,D选项说法错误;若|a+b|=|a|+|b|,则a,b方向相同,a在b上的投影向量为a,C选项说法错误;若a⊥b,则以a,b为邻边的平行四边形为矩形,且|a+b|和|a-b|是这个矩形的两条对角线长,则|a+b|=|a-b|,B选项说法正确.故选AB.
16.解:∵a·b=|a||b|cos=,
∴|xa-b|2=x2a2-2xa·b+b2 =9x2-3x+1=9x-2+,
∴当x=时,|xa-b|取得最小值,最小值为.
当x=时,∵a·(xa-b)=xa2-a·b=×9-=0,∴a与xa-b垂直.