人教版高中数学必修第二册6.2.4向量的数量积 第2课时 向量数量积的运算律 同步练习（含解析）

人教版高中数学必修第二册6.2.4向量的数量积
第2课时向量数量积的运算律 同步练习
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知非零向量a,b满足(a+b)⊥(a-b),则 (　　)
A.a=b B.|a|=|b|
C.a⊥b D.a∥b
2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a+b|=,则a·b= (　　)
A. B.1
C. D.2
3.已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,那么向量a-4b的模为 (　　)
A.2 B.2
C.6 D.12
4.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,则下列结论不正确的是 (　　)
A.0·a=0
B.(a·b)·c=a·(b·c)
C.若a·b=0,则a⊥b
D.(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2
5.如图L6-2-11,e1,e2为互相垂直的两个单位向量,则|a+b|= (　　)
图L6-2-11
A.20 B.
C.2 D.
6.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与λa-b垂直,则λ等于 (　　)
A. B.-
C.± D.1
7.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,则实数t的取值范围是 (　　)
A.-7,-
B.-7,-∪-,-
C.-7,-
D.-,-
8.八卦是中国文化中的基本哲学概念,如图L6-2-12①是八卦模型图,其平面图形记为图②中的正八边形ABCDEFGH,其中OA=1,则下列结论中错误的是 (　　)
图L6-2-12
A.∥ B.·=-
C.+=- D.||=
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=　　　　.
10.已知|a|=|b|=2,(a+2b)·(a-b)=-2,则a与b的夹角为　　　　.
11.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若a⊥b,则实数k的值为　　　　.
12.已知a,b,c为单位向量,且满足3a+λb+7c=0,若a与b的夹角为,则实数λ=　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角为.
(1)求|a+b|.
(2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)
14.(10分)设n和m是两个单位向量,其夹角是,求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.
15.(5分)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB的长为　　　　.
16.(15分)已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证:(a-b)⊥c;
(2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求实数k的取值范围.
参考答案与解析
1.B　[解析] ∵(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)·(a-b)=0,∴|a|2-|b|2=0,∴|a|=|b|.
2.A　[解析] 由|a+b|=,得(a+b)2=6,即a2+2a·b+b2=6,因为|a|=1,|b|=2,所以a·b=.故选A.
3.B　[解析] ∵|a-4b|2=a2-8a·b+16b2=22-8×2×1×cos 60°+16×12=12,∴|a-4b|=2.
4.AB　[解析] ∵0·a=0,∴A中结论错误;向量的数量积不满足结合律,∴B中结论错误;当a·b=0时,a与b的夹角为90°,即a⊥b,∴C中结论正确;D中结论正确.故选AB.
5.C　[解析] 由题意知a=-e1-e2,b=-e1-e2,所以a+b=-2e1-4e2,所以|a+b|====2,故选C.
6.A　[解析] ∵(3a+2b)·(λa-b)=3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=3λa2-2b2=12λ-18=0,∴λ=.
7.B　[解析] 由题意知(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,即2t2+15t+7<0,解得-78.D　[解析] 易知∥,所以A中结论正确;·=1×1×cos 135°=-,所以B中结论正确;+==-,所以C中结论正确;||=|+|===,所以D中结论错误.故选D.
9.2　[解析] ∵向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,∴a·b=2×1×cos 60°=1,∴|a+2b|====2.
10.60°　[解析] 设a与b的夹角为θ,由(a+2b)·(a-b)=-2,可得|a|2+a·b-2|b|2=4+2×2×cos θ-2×4=-2,所以cos θ=,又θ∈[0°,180°],所以θ=60°.
11.　[解析] 由题意知a·b=0,即(e1-2e2)·(ke1+e2)=0,整理得k-2+(1-2k)cos =0,解得k=.
12.-8或5　[解析] 由3a+λb+7c=0,可得7c=-(3a+λb),即49c2=9a2+λ2b2+6λa·b,而a,b,c为单位向量,则a2=b2=c2=1,则49=9+λ2+6λcos,即λ2+3λ-40=0,解得λ=-8或λ=5.
13.解:(1)|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=16+2×4×8×+64=48,
所以|a+b|=4.
(2)因为(a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,
即ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,即16k+(2k-1)(-16)-128=0,解得k=-7.
14.解:∵|n|=|m|=1且m与n的夹角是,∴m·n=|m||n|cos =1×1×=,∴|a|=|2m+n|====,|b|=|2n-3m|====,
a·b=(2m+n)·(2n-3m)=m·n-6m2+2n2=-6×1+2×1=-.
设a与b的夹角为θ,则cos θ===-.
∵θ∈[0,π],∴θ=,故a与b的夹角为.
15.　[解析] 因为E为CD的中点,所以=+=-=-.因为=+,·=1,所以·=(+)·-=-+·=1,即1-+||cos 60°=1,所以-+||=0,所以||=,即AB的长为.
16.解:(1)证明:因为|a|=|b|=|c|=1,且a,b,c之间的夹角均为120°,
所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120°=0,所以(a-b)⊥c.
(2)因为|ka+b+c|>1,所以(ka+b+c)2>1,
即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1,
所以k2+1+1+2kcos 120°+2kcos 120°+2cos 120°>1,
所以k2-2k>0,解得k<0或k>2.
故实数k的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞).