人教版高中数学必修第二册6.3.1平面向量基本定理 同步练习（含解析）

人教版高中数学必修第二册6.3.1平面向量基本定理 同步练习
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.如图L6-3-1所示,设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点,给出下列向量组:
①{,};②{,};③{,};④{,}.
其中可作为该平面内所有向量的一个基底的是 (　　)
图L6-3-1
A.①② B.①③
C.①④ D.③④
2.如图L6-3-2所示,用向量e1,e2表示向量a-b为 (　　)
图L6-3-2
A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2
C.e1-3e2 D.3e1-e2
3.如图L6-3-3所示,在矩形ABCD中,若=6e1,=4e2,则= (　　)
图L6-3-3
A.3e1+2e2 B.3e1-2e2
C.2e1+3e2 D.2e1-3e2
4.已知A,B,O是平面内不共线的三个定点,且=a,=b,点P在平面ABO内,点P关于点A的对称点为Q,点Q关于点B的对称点为R,则= (　　)
A.a-b B.2(b-a)
C.2(a-b) D.b-a
5.已知A,B,D三点共线,且对任意一点C,有=+λ,则λ等于 (　　)
A. B.
C.- D.-
6.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则= (　　)
A.- B.-
C.+ D.+
7.已知在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为 (　　)
A. B.
C. D.
8.如图L6-3-4所示,在四边形ABCD中,=,E为BC的中点,且=x+y,则3x-2y= (　　)
图L6-3-4
A. B.
C.1 D.2
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.已知a=e1+e2,b=2e1-e2,c=-2e1+4e2(e1,e2是同一平面内的两个不共线向量),则c=　　　　(用a,b表示).
10.已知a,b是两个不共线的向量,=2a+kb,=a+3b,=2a-b,若A,B,D三点共线,则实数k=　　　　.
11.在矩形ABCD中,AB=3,AC=5,e1=,e2=,若=xe1+ye2,则x+y的值为　　　　.
12.在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,=,=2,若=λ+μ,则λ+μ=　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)如图L6-3-5所示,D是线段BC的一个四等分点,试用,表示.
图L6-3-5
14.(10分)如图L6-3-6,平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),求λ+μ的值.
图L6-3-6
15.(5分)已知点G为△ABC的重心,过点G作一条直线与AB,AC分别交于M,N,若=x,=y,x,y∈R,则+= (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
16.(15分)若点M是△ABC所在平面内一点,且满足=+.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比;
(2)若N为AB的中点,AM与CN交于点O,设=x+y,求x,y的值.
参考答案与解析
1.B　[解析] 与不共线,∥,与不共线,∥,所以①③可以作为该平面内所有向量的一个基底.
2.C　[解析] 由图易知a-b=e1-3e2.
3.A　[解析] ==(+)=(+)=3e1+2e2.
4.B　[解析] 根据向量加法的平行四边形法则得2a=+,2b=+,∴=-=2b--(2a-)=2(b-a).
5.C　[解析] 因为A,B,D三点共线,所以存在实数t,使=t,则-=t(-),所以=+t(-)=(1-t)+t,又=+λ,所以解得λ=-.
6.A　[解析] =+=+=+(+)=++=+,所以=-,故选A.
7.C　[解析] 设=λ(λ∈R),则=+=+λ=+λ(-)=+λ-=(1-λ)+=m+,∴解得
8.C　[解析] ∵E 为BC 的中点,∴=,而=++=- +,∴= =- +=- +,则=+= +,又=x+y ,∴x=,y=,则3x-2y=1, 故选C.
9.2a-2b　[解析] 设c=λa+μb(λ,μ∈R),则-2e1+4e2=λ(e1+e2)+μ(2e1-e2),所以解得故c=2a-2b.
10.-8　[解析] ∵=a+3b,=2a-b,∴=+=-a-3b+2a-b=a-4b,又=2a+kb,且A,B,D三点共线,∴一定存在实数λ,使=λ,∴2a+kb=λ(a-4b),∴∴k=-8.
11.7　[解析] 在矩形ABCD中,AB=3,AC=5,利用勾股定理可得AD=4.∵e1=,e2=,∴=3e1,==4e2,∴=+=3e1+4e2,∴x=3,y=4,可得x+y=7.
12.　[解析] 根据题意,=+=+=+(+)=++=++=+--=-,因为=λ+μ,所以λ=,μ=-,则λ+μ=+=.
13.解:∵D是线段BC的一个四等分点,
∴==(-),
∴=+=+(-)=+.
14.解:如图,作平行四边形ODCE,使A,B在其邻边OD,OE上,OC为其对角线,则=+.
在Rt△OCD中,∵||=2,∠COD=30°,∠OCD=90°,
∴||=4,||=2,
故=4,=2,
即λ=4,μ=2,∴λ+μ=6.
15.C　[解析] ∵G为△ABC的重心,∴=(+),∴=-=(+)-x=-x+,=-=y-(+)=-+y-.∵与共线,∴存在实数λ使得=λ,即-x+=λ-+y-,可得消去λ,可得x+y-3xy=0,两边同时除以xy,整理可得+=3,故选C.
16.解:(1)由=+可知M,B,C三点共线,
令=λ(λ∈R),则=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ,可得λ=,所以=,即面积之比为1∶4.
(2)由=x+y,可得=x+,=+y,
由O,M,A三点共线及O,N,C三点共线,
可得解得