人教版高中数学必修第二册6.3平面向量基本定理及坐标表示 同步测试滚动训练（含解析）

人教版高中数学必修第二册
6.3平面向量基本定理及坐标表示 同步测试滚动训练
(时间:45分钟　分值:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知M(3,-2),N(-5,-1),若=,则点P的坐标为 (　　)
A.(-8,1) B.
C. D.(8,-1)
2.已知点A(1,3),B(-2,7),则与向量方向相反的单位向量是 (　　)
A. B.(3,-4)
C. D.
3.若|a|=6,|b|=1,a·b=-9,则a与b的夹角为 (　　)
A.120° B.150°
C.60° D.30°
4.已知a,b是单位向量,且a+b=(,-1),则|a-b|=(　　)
A.1 B.
C. D.2
5.若a=(x,2),b=(-3,5),且a与b的夹角是钝角,则实数x的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
6.已知=(2,3),=(3,t),||=1,则·= (　　)
A.-3 B.-2
C.2 D.3
7.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,2)
B.(2,+∞)
C.(-∞,+∞)
D.(-∞,2)∪(2,+∞)
8.已知点A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),O(0,0),若|+|=,α∈(0,π),则与的夹角为 (　　)
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.已知向量a=(2,-3),b=(1,2),p=(9,4),若p=ma+nb,则m+n=　　　　.
10.已知向量a⊥b,且a=(x,1),b=(1,-2),则实数x=　　　　,|a+b|=　　　　.
11.已知平面向量a=(1,0),b=-,,则a与a+b的夹角为　　　　.
12.在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,P是线段AD(包括端点)上的动点,则·的取值范围是　　　　.
三、解答题(本大题共3小题,共40分)
13.(10分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,-,向量n=(sin x,cos x),x∈(0,π).
(1)若m⊥n,求tan x的值;
(2)若m∥n,求x的值.
14.(15分)已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD;
(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标并求矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值.
15.(15分)设函数f(x)=a·b,其中向量a=(2cos x,1),b=(cos x,sin 2x+m).
(1)求函数f(x)的最小正周期和f(x)在[0,π]上的单调递增区间;
(2)若当x∈0,时f(x)的最大值为4,求m的值.
参考答案与解析
1.C　[解析] 设P(x,y),则由=,得(x-3,y+2)=×(-8,1),∴x=-1,y=-.
2.D　[解析] ∵A(1,3),B(-2,7),∴=(-3,4),则||==5,因此,与向量方向相反的单位向量是-=-(-3,4)=,-.故选D.
3.B　[解析] 设a与b的夹角为θ,则cos θ===-,∵θ∈[0°,180°],∴θ=150°.故选B.
4.A　[解析] 因为a,b是单位向量,且a+b=(,-1),所以(a+b)2=()2+(-1)2=3,所以2a·b=1,所以|a-b|==1.故选A.
5.C　[解析] 由题意知(x,2)·(-3,5)<0且a,b不共线,解得x>且x≠-,∴x>.
6.C　[解析] 由=-=(1,t-3),得||==1,得t=3,则=(1,0),所以·=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.
7.D　[解析] 因为平面内的任一向量c都可以唯一表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),所以a,b一定不共线,所以1×(3m-2)≠2×m,解得m≠2,所以m的取值范围是(-∞,2)∪(2,+∞).故选D.
8.D　[解析] 因为|+|2=(+)2=+2·+=9+6cos α+1=13,所以cos α=,又α∈(0,π),所以α=,所以C,.设与的夹角为θ,则cos θ===,因为0≤θ≤π,所以θ=,所以与的夹角为.
9.7　[解析] 由题可得解得故m+n=7.
10.2　　[解析] ∵a⊥b,∴a·b=0,即x-2=0,∴x=2,∴a+b=(3,-1),∴|a+b|==.
11.　[解析] ∵a=(1,0),b=-,,∴a+b=,,∴a·(a+b)=1×+0×=.设a与a+b的夹角为θ,则cos θ==,∵0≤θ≤π,∴θ=,∴a与a+b的夹角为.
12.[0,1]　[解析] 根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,此时A(0,1),B(0,0),C(2,0),D(2,1),设P(x,1),x∈[0,2],则·=(x,1)·(x-2,1)=x2-2x+1=(x-1)2,故其最大值为1,最小值为0,故·的取值范围是[0,1].
13.解:(1)若m⊥n,则m·n=,-·(sin x,cos x)=sin x-cos x=0,
即sin x=cos x,得sin x=cos x,∴tan x=1.
(2)∵m∥n,∴sin x+cos x=0,
即sin x+cos x=0,∴tan x=-1,
又x∈(0,π),∴x=.
14.解:(1)证明:∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴=(1,1),=(-3,3),
∴·=1×(-3)+1×3=0,∴⊥,即AB⊥AD.
(2)∵⊥,四边形ABCD为矩形,∴=.
设点C的坐标为(x,y),则=(1,1),=(x+1,y-4),
∴解得∴点C的坐标为(0,5).
由于=(-2,4),=(-4,2),
∴·=8+8=16>0,||=2,||=2.
设与的夹角为θ,则cos θ===>0,
∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
15.解:(1)∵f(x)=a·b=2cos2x+sin 2x+m=sin 2x+cos 2x+m+1=2sin2x++m+1,∴函数f(x)的最小正周期为=π.
由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
∵x-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z∩[0,π]=0,∪,π,
∴函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间为0,和,π.
(2)∵0≤x≤,∴≤2x+≤,
∴当2x+=时,函数f(x)取得最大值,
即2sin+m+1=m+3=4,故m=1.