(共23张PPT)
22.1.1二次函数
人教版九年级上册
教材分析
本节课“二次函数”属人教版九年级数学上册《二次函数》一章中一个基本知识点，也是初中数学“数与代数”领域中的一个重要知识点。本节课的学习对于后续知识“二次函数的图像和性质”、“用二次函数解决实际问题”等知识的学习奠定了基础。
教学目标
1.理解并掌握二次函数的概念和一般形式；
2.会利用二次函数的概念解决问题；
3.根据实际问题列出二次函数表达式.
新知导入
1.一次函数的一般形式： ．
y＝kx＋b(k≠0)
2.正比例函数的一般形式： ．
y＝kx(k≠0)
3.正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 .
y=6x2
此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
新知讲解
问题1 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
m= n(n-1)
即 m= n2- n ②
②式表示了多边形的对角线总条数m与边数n之间的关系,对于n的每一个值,m都有一个对应值,即m是n的函数.
新知讲解
问题2 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的 x 的值而确定.
y与x之间的关系应怎样表示？
即y=20x2+40x+20 ③
y=20(1+x)2
③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数.
新知讲解
思考：函数①②③有什么共同点
y= 6x2 ①
y=20x2+40x+20 ③
m= n2- n ②
3）未知数的最高次数是2
共同的特征：1）等号左边是函数
2）右边是关于自变量的二次式
新知讲解
二次函数的定义
形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a,b,c为常数，且a≠ 0;
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
新知讲解
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数，a≠0)
二次函数的特殊形式：
1、当b＝0时，y＝ax2＋c
2、当c＝0时，y＝ax2＋bx
3、当b＝0，c＝0时， y＝ax2
典例精析
例、下列函数中哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
① ②
③ ④
⑤ ⑥
解：①二次项系数是，一次项系数是0，常数项是2
⑤二次项系数是1，一次项系数是1，常数项是0
⑥二次项系数是1，一次项系数和常数项是0
√
×
最高次数是4
×
×
√
√
a=0
分母含有未知数
新知讲解
【提问】如何根据实际问题列二次函数关系式？
一般方法：1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系；
2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系；
3）列出相应二次函数的关系式。
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1 .下列函数中，（x是自变量），是二次函数的为( )
A. y=ax2+bx+c B. y2=x2-4x+1
C. y=x2 D. y=22+ x+1
2. 函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A. m,n是常数,且m≠0 B. m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n D. m,n为任何实数
C
C
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如果函数是二次函数,则k的值一定是______
4.已知二次函数y＝1－2x－x2，其中二次项系数a＝ ，一次项系数b＝ ，常数项c＝ ．
0或3
-1
-2
1
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5. 已知y关于 x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1.
1）当m为何值时，此函数是一次函数？
2）当m为何值时，此函数是二次函数？
解：1）∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1是一次函数，
∴m2+2m=0，m≠0，
解得：m=﹣2；
2）∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1是二次函数，
∴m2+2m≠0，
解得：m≠﹣2且m≠0．
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
解：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0，
解得，m=3或m=﹣1；
当m=3时，y=6x2+9；
当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1；
综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
6.已知y=是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式.
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2.
求（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 (cm2 ).
课堂总结
二次函数
定 义
y=ax2+bx+c(a ≠0，a，b，c是常数）
一般形式
等号两边都是整式；
自变量的最高次数是2；
二次项系数a ≠0．
特殊形式
y=ax2（a ≠0）；
y=ax2+bx(a ≠0，a，b是常数) ；
y=ax2+c(a ≠0，a，c是常数)．
板书设计
22.1.1二次函数
1.二次函数的概念
一般地，形如y=ax +bx+c (a，b，c是常数，a≠0 )的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
2.二次函数解析式
一元二次方程的特殊形式：
y＝ax2＋c （ a≠0 ，b=0）
y＝ax2＋bx （ a≠0，c＝0）
y＝ax2 （a≠0，b＝0，c＝0）
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数为______，常数项为 .
-3x2
-18
12
2.一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的
价格为y万元，则y与x之间的函数关系式为( )
A．y＝60(1－x)2 B．y＝60(1－x)
C．y＝60－x2 D．y＝60(1＋x)2
A
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。
xm
y m2
xm
（40-2x ）m
解：
由题意得：
y=x(40-2x)
即 y=-2x2+40x
(0当x＝12m时，菜园的面积为
y =-2x2+40x=-2×122+40×12
=192（m2）
作业布置
【综合拓展类作业】
4. 若函数+a是二次函数，求：
（1）求a的值.
（2）求函数关系式.
（3）当x=-2时，y的值是多少？
解：
（1）由题意，得
解得
（2）当a=-1时，函数关系式为 .
（3）将x=-2代入函数关系式中，有
谢谢
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第二章
课标要求 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2 +k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，并能解决简单实际问题；知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。能够综合运用二次函数与二次方程、不等式的关系、二次函数的性质解决问题；能用二次函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系，解决简单实际问题；培养学生建立二次函数模型的能力和对现实问题进行定性分析的能力。
内容分析 本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。学生在学习了正比例函数、一次函数和一元二次方程之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。
学情分析 学生在之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，对一次函数的相关知识如:各种变量、函数的一般形式、图象、增减性等知识有一定基础,相关应用也较常见,学生在学二次函数前具备了一定函数方面的基础知识、基本技能。在相关知识的学习过程中,学生已经经历了一些解决实际问题活动，感受到了函数反映的是变化过程,并可通过列表、解析式、图象了解变化过程,对各种函数的表达方法的特点有所了解,获得了探究学习新函数知识的基础;同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力。
单元目标 教学目标1、能用表格﹑表达式﹑图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考和语言表达能力。能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系。2、会作二次函数的图象，并能归纳出二次函数的图象性质。3、能够根据二次函数的解析式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，从作二次函数的图象中，能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。4、理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。5、能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测，在探究中获得发现，提高学生学习数学的信心和兴趣。(二)教学重点、难点教学重点：会根据所给信息确定二次函数的表达式，会根据公式确定图象的顶点，开口方向和对称轴，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。教学难点：如何利用二次函数的图象并结合函数表达式去探索，理解函数的性质，并利用解决相关的实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数22.1 二次函数的图象和性质422.2 二次函数与一元二次方程122.3实际问题与二次函数1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务22.1二次函数的图象与性质理解并掌握二次函数的概念； 会用描点法正确画出函数图象，分别理解二次函数y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2、y＝a(x－h)2+k的性质及它与函数y＝ax2的平移关系；能用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；能灵活的根据条件恰当地选择解析式的模式求二次函数的解析式。确定二次函数解析式，掌握二次函数的图象与性质；会求二次函数解析式。任务1.理解二次函数的概念 任务2.描点法画函数图象并归纳函数的性质任务3.确定二次函数解析式22.2二次函数与一元二次方程理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握方程与函数间的转化应用；会判断抛物线与x轴的交点个数；会用图象法求一元二次方程的近似根。探索二次函数与一元二次方程之间的关系的过程，由特殊到一般，提高学生的分析、探索、归纳能力。任务1.出示问题：任务2.观察并归纳关系任务3.利用图象解近似根22.3实际问题与二次函数理解二次函数模型的基本构成（函数解析式、自变量的取值范围、函数的图象等）；会用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。学生能找出题目的等量关系表示出函数解析式，并能注意自变量的取值范围，进行求最值。任务1.探究二次函数求最值任务2.利润问题任务3.建模问题
《第二十二章 二次函数》单元教学设计
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分课时教学设计
第一课时《二次函数》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课“二次函数”属人教版九年级数学上册《二次函数》一章中一个基本知识点，也是初中数学“数与代数”领域中的一个重要知识点。本节课的学习对于后续知识“二次函数的图像和性质”、“用二次函数解决实际问题”等知识的学习奠定了基础。
学习者分析 在学习本节课之前，学生已经学习了函数、正比例函数、和一次函数等相关知识，并且对用函数关系表示实际问题已有初步的经验。所以本节课会采用类比的学习方法。
教学目标 1.理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法. 2.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 3.培养学生有条理的思考和表达，以及从实际问题抽象出数学问题的意识。
教学重点 二次函数的概念
教学难点 由实际问题确定二次函数解析式
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 【提问】 1.一次函数的一般形式： 2.正比例函数的一般形式： ． 3. 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 . 表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数. 学生活动1： 学生思考，回答问题 y＝kx＋b(k≠0) y＝kx(k≠0) y=6x2 活动意图说明： 先回顾函数的相关知识，为本节课学生学习二次函数做好铺垫。环节二：新知探究教师活动2： 【问题1】n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。比赛的场次数m与球队数有什么关系？ ② 【问题2】某工厂一种产品现在的年产量是20吨，计划今后两年增加产量。如果每一年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y与x之间的关系应怎样表示？ 【提问】上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征？ 1）y=6x2 2） 3) y=20x2+40x+20 根据一次函数概念，尝试归纳二次函数的概念？ 一般地，形如y=ax + bx +c(其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 【提问】同学们，谈谈你对二次函数的理解，需要注意些什么？ 尝试说出二次函数的特殊形式？ 1)当b＝0时， y＝ax2＋c（a） 2)当c＝0时， y＝ax2＋bx （a） 3)当b＝0，c＝0时， y＝ax2 （a） 学生活动2： 学生积极回答问题 学生先独立思考，互相交流自己的想法，并展示： ①等号左边是函数 ②右边是关于自变量x的二次式 ③未知数最高次数是2 先由学生尝试归纳总结，再由教师给出二次函数 的概念 先由学生回答，老师帮助引导与完善。 先由学生回答，老师通过多媒体展示特殊形式 类型： 活动意图说明：让学生经历合作探究过程，通过观察、发现、归纳，结合一次函数的概念概括 二次函数的概念，培养学生抽象概括的能力。再通过提问环节，引导学生初步思考、回顾已有 的知识，主动参与到本节课的学习中来。环节三：典例精析 教师活动3： 例、下列函数中哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 学生活动3： 请学生积极回答，然后师生共同纠错 解：①二次项系数是，一次项系数是0，常数项是2 ⑤二次项系数是1，一次项系数是1 ⑥二次项系数是1，一次项系数和常数项是0 活动意图说明：加深学生对二次函数的理解与掌握。环节四：新知讲解教师活动4： 【提问】如何根据实际问题列二次函数关系式？ 一般方法： 1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系； 2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系； 3）列出相应二次函数的关系式。 学生活动4： 通过归纳总结，使学生掌握根据实际问题列二次函数 关系式的方法 活动意图说明：为后续学习教材22.3 实际问题与二次函数做好铺垫。
板书设计 1.一般地，形如y=ax +bx+c (a，b，c是常数，a≠0 )的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.一元二次方程的特殊形式： y＝ax2＋c （ a≠0 ，b=0） y＝ax2＋bx （ a≠0，c＝0） y＝ax2 （a≠0 b＝0，c＝0）
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1 .下列函数中，（x是自变量），是二次函数的为( ) A. y=ax2+bx+c B. y2=x2-4x+1 C. y=x2 D. y=22+ x+1 2. 函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A. m,n是常数,且m≠0 B. m,n是常数,且n≠0 C. m,n是常数,且m≠n D. m,n为任何实数 3.如果函数是二次函数,则k的值一定是______ 4.已知二次函数y＝1－2x－x2，其中二次项系数a＝ ，一次项系数b＝ ，常数项c＝ ． 选做题： 5. 已知y关于 x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1. 1）当m为何值时，此函数是一次函数？ 2）当m为何值时，此函数是二次函数？ 6.已知y=是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式 【综合拓展类作业】 7.矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2. 求：（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当x=3时矩形的面积.
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数为______，常数项为 . 2.一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数关系式为( ) A．y＝60(1－x)2 B．y＝60(1－x) C．y＝60－x2 D．y＝60(1＋x)2 选做题： 3.一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。 【综合拓展类作业】 4. 若函数+a是二次函数，求： （1）求a的值. (2) 求函数关系式. （3）当x=-2时，y的值是多少？
教学反思 二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的、重要的函数，在历年来的中考中题中都占有较大的分值。二次函数不仅和学生以前学过的一元二次方程有着密切的联系，而且对培养学生“数形结合”的数学思想具有重要作用。本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域。在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义。教学过程中在细节方面我还有很多的不足，另外在语言的精炼方面我还有待加强，所以我会更加努力，争取在课堂上做到环环相扣，引人入胜，充分激发学生的求知欲、调动学生学习的主动性。
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