(共28张PPT)
22.1.2二次函数y=的图象与性质
人教版九年级上册
教材分析
本章从二次函数y＝ax2出发，再依次讨论y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的图象和性质，逐步深入，最终得出一般的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征及性质．因此二次函数y＝ax2是本章后续内容研究的基础．
教学目标
1.正确理解抛物线的有关概念.
2.会用描点法画出二次函数y=ax 的图象，概括图象的特点.
3.掌握二次函数y=ax 的图象和性质，并会应用.
新知导入
【提问1】画一个函数图象需要哪些步骤？
【提问2】画一次函数y=3x+2的图象？
【提问3】一次函数的图象是什么形状？二次函数的图象是是什么形状？
列表、描点、连线
1.列表
x 0 1
y=3x+2 2 5
2.描点
3.连线
一次函数的图象是一条直线
本节课我们学习二次函数y=ax2的图象和性质
新知讲解
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … …
画出二次函数y=x2的图象.（列表、描点、连线）
9
4
1
0
1
9
4
1.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象．
新知讲解
3
6
9
y
O
-3
3
x
从图象可以看出，二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上.这条曲线叫做抛物线y=x2.
实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
新知讲解
抛物线y=x2是轴对称图形吗？它的对称轴在哪里？
抛物线y=x2与对称轴交点坐标为________叫做抛物线y=x2的_______,
它是抛物线y=x2的最_______点.
抛物线y=x2是轴对称图形，它的对称轴是y轴.
对称轴
顶点
（0，0）
顶点
低
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
【切记】顶点是抛物线的最低点或最高点。
新知讲解
从二次函数y=x2的图象可以看出：在对称轴的_____，抛物线从左到右下降；
在对称轴的_____，抛物线从左到右上升.
也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____；当x＞0时，y随x的增大而_____.
左侧
右侧
减小
增大
典例精析
例1 在同一直角坐标系中，画出函数y=x2，y=2x2的图象.
解：1.分别列表，再画出它们的图象.
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y=x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
典例精析
y=2x2
y= x2
1
2
新知讲解
思考：函数y=x2,y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比,有什么共同点和不同点？
开口都向上（a>0） ，对称轴都是y轴。
当x<0时，y随x增大而减小；
当x>0时，y随x增大而增大。
顶点是原点（最小值）。
a值越大抛物线开口越小。
新知讲解
思考：当a＞0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？
一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小。.
新知讲解
1）开口都向下（a<0） ，对称轴都是y轴。
2）当x<0时，y随x增大而增大；
当x>0时，y随x增大而减小。
3）顶点是原点（最大值）。
4）a值越小抛物线开口越小。
【结论】一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
在同一直角坐标系中，画出函数y=-x2,y=x2,y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.
归纳总结
y＝ax2 a>0 a<0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴是y轴（直线x＝0）
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A.它的图象经过点（-1，-2）
B.它的图象的对称轴是直线x＝2
C.当x＜0时，y随x的增大而增大
D.当－1≤x≤2时，y有最大值为8，最小值为0
2.若二次函数y=ax2的图象过点P(-2，4)，则该图象必经过点( )
A.(2，4) B.(-2，-4) C.(-4，2) D.(4，-2)
D
A
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．抛物线y= x2的对称轴是 ______________，顶点坐标是_____________
4．下列说法中正确的序号是_____________
①在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0；
②在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大
③抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=﹣x2的开口最大
④不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点
①②④
y轴
（0，0）
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.已知点P（x1,y1）,Q（x2,y2）在抛物线y=（m2+2）x2上，且x1解: ∵a=m2+2>0
∴抛物线开口向上
∴当x<0时，y随x增大而减小
∵x1∴y1＞y2
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
解：（1）由是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得
解得k=-3；
（2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2，
y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
6．已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）直接写出顶点坐标和对称轴．
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.在平面直角坐标系中，若抛物线与直线交于点和点，其中，点为原点，求的面积.
解：由题意得：
解得： 或
∵点和点，其中
∴，
直线与y轴的交点坐标为：（0，1）
∴ 1=
课堂总结
二次函数y=ax2图象及性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性
板书设计
二次函数y=ax2的图象与性质
一、二次函数y=ax2的图象
二、二次函数y=ax2的性质
图象、开口方向、对称性、
顶点、最值、增减性、开口大小
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.已知二次函数的图象开口向上，则直线经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
2.如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=2x2的图象，C2是函数y=－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为_______．
D
2π
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
解：∵函数为二次函数，
∴m2﹣3m﹣2＝2，且m-20，
解得，m1＝4，m2＝﹣1．
（1）∵其函数图象开口向上，∴m﹣2＞0，解得m＞2，∴m＝4．
∴函数关系式为y＝2x2；
3．函数为二次函数，
（1）若其函数图象开口向上，求函数的解析式；
（2）若当时，y随x的增大而减小，求函数的解析式．
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
（2）∵当x≥0时，y随x的增大而减小，
∴m﹣2＜0，∴m＜2，∴m＝﹣1，
∴函数关系式为y＝﹣3x2．
作业布置
【综合拓展类作业】
4.已知:如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
作业布置
【综合拓展类作业】
解：由题意得
解得
所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.
∴S△ACO＝×CO×4＝8，S△BOC＝×4×1＝2，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
谢谢
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第二章
课标要求 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2 +k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，并能解决简单实际问题；知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。能够综合运用二次函数与二次方程、不等式的关系、二次函数的性质解决问题；能用二次函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系，解决简单实际问题；培养学生建立二次函数模型的能力和对现实问题进行定性分析的能力。
内容分析 本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。学生在学习了正比例函数、一次函数和一元二次方程之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。
学情分析 学生在之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，对一次函数的相关知识如:各种变量、函数的一般形式、图象、增减性等知识有一定基础,相关应用也较常见,学生在学二次函数前具备了一定函数方面的基础知识、基本技能。在相关知识的学习过程中,学生已经经历了一些解决实际问题活动，感受到了函数反映的是变化过程,并可通过列表、解析式、图象了解变化过程,对各种函数的表达方法的特点有所了解,获得了探究学习新函数知识的基础;同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力。
单元目标 教学目标1、能用表格﹑表达式﹑图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考和语言表达能力。能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系。2、会作二次函数的图象，并能归纳出二次函数的图象性质。3、能够根据二次函数的解析式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，从作二次函数的图象中，能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。4、理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。5、能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测，在探究中获得发现，提高学生学习数学的信心和兴趣。(二)教学重点、难点教学重点：会根据所给信息确定二次函数的表达式，会根据公式确定图象的顶点，开口方向和对称轴，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。教学难点：如何利用二次函数的图象并结合函数表达式去探索，理解函数的性质，并利用解决相关的实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数22.1 二次函数的图象和性质422.2 二次函数与一元二次方程122.3实际问题与二次函数1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务22.1二次函数的图象与性质理解并掌握二次函数的概念； 会用描点法正确画出函数图象，分别理解二次函数y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2、y＝a(x－h)2+k的性质及它与函数y＝ax2的平移关系；能用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；能灵活的根据条件恰当地选择解析式的模式求二次函数的解析式。确定二次函数解析式，掌握二次函数的图象与性质；会求二次函数解析式。任务1.理解二次函数的概念 任务2.描点法画函数图象并归纳函数的性质任务3.确定二次函数解析式22.2二次函数与一元二次方程理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握方程与函数间的转化应用；会判断抛物线与x轴的交点个数；会用图象法求一元二次方程的近似根。探索二次函数与一元二次方程之间的关系的过程，由特殊到一般，提高学生的分析、探索、归纳能力。任务1.出示问题：任务2.观察并归纳关系任务3.利用图象解近似根22.3实际问题与二次函数理解二次函数模型的基本构成（函数解析式、自变量的取值范围、函数的图象等）；会用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。学生能找出题目的等量关系表示出函数解析式，并能注意自变量的取值范围，进行求最值。任务1.探究二次函数求最值任务2.利润问题任务3.建模问题
《第二十二章 二次函数》单元教学设计
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分课时教学设计
第二课时《22.1.2二次函数y=的图象与性质》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本章从二次函数y＝ax2出发，再依次讨论y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的图象和性质，逐步深入，最终得出一般的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征及性质．因此二次函数y＝ax2是本章后续内容研究的基础．
学习者分析 在本节课上，学生要面对曲线型函数图象，在用研究一次函数的方法研究二次函数时，出现了新的研究内容：对称性和最大(小)值．分段讨论二次函数y随x的增大如何变化也是学生没有接触过的．虽然在研究一次函数时学生知道通过观察函数图象研究函数性质，但是仍然有许多学生不能很好地用图象来解释问题．
教学目标 1、会用描点法画出形如y＝ax2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念； 2、通过观察图象能说出二次函数y＝ax2的图象特征和性质； 3、能利用二次函数y＝ax2的图象和性质解决数学问题，进一步渗透数形结合的思想.
教学重点 观察函数y＝ax2的图象，数形结合地得出它的图象特征和性质．
教学难点 分段讨论二次函数y随x的增大如何变化
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 1. 画一个函数图象需要哪些步骤？ 2. 画一次函数y=3x+2的图象？ 3. 一次函数的图象是什么形状？二次函数的图象是是什么形状？ 学生活动1： 学生积极回答问题，教师给出正确答案活动意图说明： 首先用问题作为切入点，引出新知。学生会根据已有的知识储备轻松得出结果，这样问题就出来了， 我们用列表，描点，连线的方法画一次函数y=3x+2的图象。那么可否用这种方法画二次函数y=ax2的 图象并研究其性质？从而自然而然的引出下面的数学活动。环节二：新知探究教师活动2： 用描点法画二次函数 y=x2 的图象。 （1）列表： (2)描点： (3)连线 观察y=x2的图象，它有什么特征？它的形状像什么？ 归纳： 从图象可以看出，二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上.这条曲线叫做抛物线y=x2. 实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c. 问：抛物线y=x2是轴对称图形吗？它的对称轴在哪里？ 观察y=x2的图象，讨论x与y的变化趋势？ 从二次函数y=x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大. 学生活动2： 学生动手实践画出二次函数 y=x2 的图象，在学生 完成图象后，教师通过多媒体展示画图过程。 学生积极回答问题，允许出现不同的观点，教师 引导与纠正 学生认真观察二次函数y=x2的图象后给出答案. 抛物线y=x2是轴对称图形，它的对称轴是y轴. 抛物线y=x2与对称轴交点坐标为(0,0)叫做抛物线 线y=x2的顶点,它是抛物线y=x2的最低点. 学生认真观察二次函数y=x2的图象后，教师引导 学生得出结论 活动意图说明：通过类比正比例函数，引导学生观察图象的形状、位置、变化趋势，感受“形” 的特征，感受自变量与函数值之间变化与对应的关系，使学生对二次函数的图象和性质形成初步 的印象．环节三：典例精析 教师活动3： 例1 在同一直角坐标系中，画出函数y=x2，y=2x2的图象. 解：1.分别列表，再画出它们的图象. 图象： 思考：（1）二次函数,的图象与二次函数的图象相比，有什么共同点和不同点？ （2）当a >0时，二次函数的图象有什么特点？ 归纳： 一般地，当a＞0时，抛物线y＝ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小． 学生活动3： 在教师引导下，学生借鉴画二次函数的图象的经验，自主画图.教师巡视,指导在同一坐标系中画出，的图像.作图完成后，学生展示作品，并说出该函数图象的特征，教师适时点评． 类比研究二次函数y＝x2的角度和方法，由学生尝试从图象的开口方向、对称轴、顶点、增减性等方面分别描述函数y＝x2，y＝2x2的图象特征 活动意图说明：经历从特殊到一般的研究过程，归纳出二次函数y＝ax2(a>0)的图象特征和性质．环节四：新知讲解教师活动4： 在同一直角坐标系中，画出函数y=-x2 ，y=-x2 ，y=-2x2的图象.对比函数图象，有什么相同点与不同点？ 归纳：一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小．学生活动4： 学生动手实践画出二次函数y=-x2 ，y=-x2 ，y=-2x2的图象，在学生完成图象后，类比a＞0时的研究过程，由学生尝试从图象的开口方向、对称轴、顶点、增减性等方面分别描述当a＜0时，二次函数y＝ax2的图象特征活动意图说明：经历从特殊到一般的研究过程，归纳出二次函数y＝ax2(a<0)的图象特征．环节五:归纳总结教师活动5： 你能说出二次函数y＝ax2 的图象特征和性质吗？ 学生活动5： 学生相互补充，师生共同梳理归纳活动意图说明：整体梳理二次函数y＝ax2的图象特征和性质．
板书设计 一、二次函数y=ax2的图象 二、二次函数y=ax2的性质 图象、开口方向、对称性、顶点、最值、增减性、开口大小
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ） A.它的图象经过点（-1，-2） B.它的图象的对称轴是直线x＝2 C.当x＜0时，y随x的增大而增大 D.当－1≤x≤2时，y有最大值为8，最小值为0 2.若二次函数y=ax2的图象过点P(-2，4)，则该图象必经过点( ) A.(2，4) B.(-2，-4) C.(-4，2) D.(4，-2) 3．抛物线y= x2的对称轴是 ______________，顶点坐标是_________________ 4．下列说法中正确的序号是_____________ ①在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0； ②在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大 ③抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=﹣x2的开口最大 ④不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点 选做题： 5.已知点P（x1,y1）,Q（x2,y2）在抛物线y=（m2+2）x2上，且x1课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知二次函数的图象开口向上，则直线经过的象限是（ ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 2.如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=2x2的图象，C2是函数y=－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为_______． 选做题： 3．函数为二次函数， （1）若其函数图象开口向上，求函数的解析式； （2）若当时，y随x的增大而减小，求函数的解析式． 【综合拓展类作业】 4.已知:如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
教学反思 本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣。教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识。整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣。
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