第12章 整式的乘除 单元练习 2023-2024学年 华师大版八年级数学上册（含解析）
文档属性
| 名称 | 第12章 整式的乘除 单元练习 2023-2024学年 华师大版八年级数学上册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 556.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-22 15:18:20 | ||
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文档简介
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第12章 整式的乘除 单元练习 2023-2024学年 华师大版八年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若与的乘积中不含的二次项，则实数的值为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．多项式加上一个数或单项式后，使它成为一个多项式的完全平方，那么加上的数或单项式可以从①，②，③，④，⑤中选取，则选取的是（ ）
A．① B．③ C．②③⑤ D．①②③④⑤
4．已知是三个相邻的正偶数，以c为长，a为宽的长方形的面积是，以b为边长的正方形的面积是，则与的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
5．定义；如果代数式（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称两个代数式为“相反式”，有下列四个结论：
（1）代数式：的“相反式”是；
（2）若与互为“相反式”，则的值为；
（3）当时，代数式（，，，是常数的值为10，则它的“相反式”的值为；
（4）无论取何值，代数式的值总大于其“相反式”的值，则的取值范围为．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．若，，则 ．
7．如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为的小长方形铁片，则剩余部分面积为 ．
8．已知，则代数式的值为 ．
9．已知当和时，多项式的值相等，且，则当时，此多项式的值为 ．
10．用表示十位数字为m，个位数字为5的两位数，其中，且m是整数，例如，当时，表示的两位数是65
当时，；
当时，；
……
（1）请仿照上面的等式，用含m的式子表示： ；
（2）若与的差为6425，则 ．
三、解答题
11．已知，，，，为正整数，用含有、的式子表示的值．
12．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，管理部门规划了4块边长均为b米的正方形空地用于栽种梅、兰、竹、菊，剩余地块将铺设草坪．
(1)用含a，b的代数式表示铺设的草坪的面积．（结果化为最简形式）
(2)若，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用．
13．阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式：，对式子作如下变形：，
因为，所以，
当时，，
因此有最小值，即的最小值为．
通过阅读，解下列问题：
(1)代数式的最小值为___________，此时的值为___________
(2)试比较代数式与的大小，并说明理由．
14．阅读下列材料，解答下列问题：
例：若满足，求的值．
解：设，，则，．
上述解题过程中，把某个式子看成一个整体，用一个变量来代替它，从而使问题得到简化，用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你运用这种方法解答下列问题：
(1)若满足，则的值=___________；
(2)若满足，求的值．
15．有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．
(1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含，的式子表示）．
方法1：__________________________________________________．
方法2：__________________________________________________．
(2)若，求的值．
(3)如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根据图形的面积关系，因式分解： ．
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参考答案：
1．C
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方以及幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、a与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．B
【分析】利用多项式与多项式相乘，展开后合并同类项，再令含x的二次项系数为0，求解即可．
【详解】解：
，
∵与的乘积中不含的二次项，
∴，
解得：，
∴实数的值为．
故选：B
【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘积，熟练掌握多项式与多项式的乘法法则与合并同类项是解本题的关键．
3．C
【分析】根据题意进行分类讨论：当和1是两个平方项时；当是乘积二倍项，1为平方项时，即可解答．
【详解】解：当和1是两个平方项时：
∵，
∴乘积二倍项为，或；
当是乘积二倍项，1为平方项时：
∵，
∴另一个平方项为，
综上：加上的数或单项式可以选取的是，，；
即可以选取的是②③⑤，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方公式．已知项确定出未知项，进行分类讨论是解决此题的关键．
4．A
【分析】由题意可得，，又由，或，，可得．
【详解】解：由题意可得，
是三个相邻的正偶数，
，或，
或
，
故选：A．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景；理解题意，结合面积公式和连续正整数之间的关系运算是解题的关键．
5．C
【分析】根据相反式的含义直接可判断（1），再建立方程组，再解方程组可判断（2），先把代入代数式，再把代入其相反式即可判断（3），由（4）的含义建立不等式，再利用不等式的性质可判断（4），从而可得答案．
【详解】解：（1）的“相反式”是，（1）错误；
（2）由题意得，解得，
，（2）正确；
（3）当时，代数式
，，
，（3）正确；
（4）由题意得，
即
，
解得，（4）正确；
故正确结论有3个，
故选C．
【点睛】本题考查的是相反式的含义，二元一次方程组的解法，求解代数式的值，非负数的性质，不等式的性质，因式分解的应用，理解题意，选择合适的方法是解本题的关键．
6．
【分析】逆运用同底数幂的除法法则，先把写成的形式，再利用幂的乘方法则把写成|的形式后代入求值．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的运算，掌握同底数幂的除法法则、幂的乘方法则是解题的关键．
7．
【分析】用大矩形的面积减去小矩形的面积得出代数式，然后根据整式的混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：根据题意可得剩余部分的面积为
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，读懂题意，根据题意列出代数式，然后根据整式的混合运算法则进行计算是解本题的关键．
8．1
【分析】先根据单项式乘多项式和完全平方公式进行化简，再将整体代入进行计算即可．
【详解】解：
，
，
原式，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了单项式乘多项式和完全平方公式，熟练掌握单项式乘多项式和完全平方公式的运算法则，是解题的关键．
9．46
【分析】将和时，分别代入多项式，根据值相等得出，再根据得出，最后代入求解即可．
【详解】解：
当时， ，
当时，，
∵当和时，多项式的值相等，
∴，则，
∴或，
整理得：或
∵，
∴，则，
∴当，，
故答案为：46．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，得出关于p和q的关系式，掌握整式的运算法则．
10． 8
【分析】（1）由题意可知，利用完全平方公式展开计算即可；
（2）由题意得，即，根据即可求解．
【详解】解：（1）
，
（2）由题意可得：，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：，8．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用及因式分解的应用，理解题意，列出是解决问题的关键．
11．
【分析】先根据幂的乘方的逆运算得到，再由同底数幂乘除法的逆运算将原式变形为，由此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
12．(1)平方米
(2)元
【分析】（1）用长方形面积减去4个正方形面积即可得到答案；
（2）根据（1）所求代入求出草坪的面积，进而求出对应的费用即可．
【详解】（1）解：
平方米，
∴铺设的草坪的面积为平方米；
（2）解：当时，平方米，
∴铺设草坪所需要的费用为元．
【点睛】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．
13．(1)，
(2)，见解析
【分析】（1）根据材料提示，运用配方法配成完全平方公式，即可求解；
（2）运用作差法化简两个代数式，运用配方法配成完全平方公式，比较结果的正负，即可求解．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴当时，的最小值为，
故答案为：，．
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查乘法公式，作差法比较两个多项式的大小的综合，掌握配方法配成完全平方公式判定代数式的最值，运用作差法比较结果的正负判断代数式的大小等知识是解题的关键．
14．(1)120
(2)2022
【分析】（1）利用整体思想和完全平方公式可求；
（2）利用整体思想和完全平方公式可求，可求解．
【详解】（1）解：设，，则．
∵，∴
，
故答案为120；
（2）解：设，则，
∴，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式是解题的关键．
15．(1)；
(2)1
(3)
【分析】（1）根据两种方法分别表示阴影部分的面积即可；
（2）根据非负数的定义可得，，再根据进行计算即可；
（3）求出所拼成的长方形的长、宽以及总面积即可．
【详解】（1）解：方法1：图2中阴影部分是边长为，因此面积为；
方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为的正方形减去4个长为，宽为的长方形面积，因此有；
（2）解：∵，，，
，，
即，，
；
（3）解：如图所示：
1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为，
而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为，宽为的长方形，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式，数形结合，掌握完全平方公式的结构特征是关键．
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第12章 整式的乘除 单元练习 2023-2024学年 华师大版八年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若与的乘积中不含的二次项，则实数的值为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．多项式加上一个数或单项式后，使它成为一个多项式的完全平方，那么加上的数或单项式可以从①，②，③，④，⑤中选取，则选取的是（ ）
A．① B．③ C．②③⑤ D．①②③④⑤
4．已知是三个相邻的正偶数，以c为长，a为宽的长方形的面积是，以b为边长的正方形的面积是，则与的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
5．定义；如果代数式（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称两个代数式为“相反式”，有下列四个结论：
（1）代数式：的“相反式”是；
（2）若与互为“相反式”，则的值为；
（3）当时，代数式（，，，是常数的值为10，则它的“相反式”的值为；
（4）无论取何值，代数式的值总大于其“相反式”的值，则的取值范围为．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．若，，则 ．
7．如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为的小长方形铁片，则剩余部分面积为 ．
8．已知，则代数式的值为 ．
9．已知当和时，多项式的值相等，且，则当时，此多项式的值为 ．
10．用表示十位数字为m，个位数字为5的两位数，其中，且m是整数，例如，当时，表示的两位数是65
当时，；
当时，；
……
（1）请仿照上面的等式，用含m的式子表示： ；
（2）若与的差为6425，则 ．
三、解答题
11．已知，，，，为正整数，用含有、的式子表示的值．
12．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，管理部门规划了4块边长均为b米的正方形空地用于栽种梅、兰、竹、菊，剩余地块将铺设草坪．
(1)用含a，b的代数式表示铺设的草坪的面积．（结果化为最简形式）
(2)若，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用．
13．阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式：，对式子作如下变形：，
因为，所以，
当时，，
因此有最小值，即的最小值为．
通过阅读，解下列问题：
(1)代数式的最小值为___________，此时的值为___________
(2)试比较代数式与的大小，并说明理由．
14．阅读下列材料，解答下列问题：
例：若满足，求的值．
解：设，，则，．
上述解题过程中，把某个式子看成一个整体，用一个变量来代替它，从而使问题得到简化，用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你运用这种方法解答下列问题：
(1)若满足，则的值=___________；
(2)若满足，求的值．
15．有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．
(1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含，的式子表示）．
方法1：__________________________________________________．
方法2：__________________________________________________．
(2)若，求的值．
(3)如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根据图形的面积关系，因式分解： ．
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参考答案：
1．C
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方以及幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、a与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．B
【分析】利用多项式与多项式相乘，展开后合并同类项，再令含x的二次项系数为0，求解即可．
【详解】解：
，
∵与的乘积中不含的二次项，
∴，
解得：，
∴实数的值为．
故选：B
【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘积，熟练掌握多项式与多项式的乘法法则与合并同类项是解本题的关键．
3．C
【分析】根据题意进行分类讨论：当和1是两个平方项时；当是乘积二倍项，1为平方项时，即可解答．
【详解】解：当和1是两个平方项时：
∵，
∴乘积二倍项为，或；
当是乘积二倍项，1为平方项时：
∵，
∴另一个平方项为，
综上：加上的数或单项式可以选取的是，，；
即可以选取的是②③⑤，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方公式．已知项确定出未知项，进行分类讨论是解决此题的关键．
4．A
【分析】由题意可得，，又由，或，，可得．
【详解】解：由题意可得，
是三个相邻的正偶数，
，或，
或
，
故选：A．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景；理解题意，结合面积公式和连续正整数之间的关系运算是解题的关键．
5．C
【分析】根据相反式的含义直接可判断（1），再建立方程组，再解方程组可判断（2），先把代入代数式，再把代入其相反式即可判断（3），由（4）的含义建立不等式，再利用不等式的性质可判断（4），从而可得答案．
【详解】解：（1）的“相反式”是，（1）错误；
（2）由题意得，解得，
，（2）正确；
（3）当时，代数式
，，
，（3）正确；
（4）由题意得，
即
，
解得，（4）正确；
故正确结论有3个，
故选C．
【点睛】本题考查的是相反式的含义，二元一次方程组的解法，求解代数式的值，非负数的性质，不等式的性质，因式分解的应用，理解题意，选择合适的方法是解本题的关键．
6．
【分析】逆运用同底数幂的除法法则，先把写成的形式，再利用幂的乘方法则把写成|的形式后代入求值．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的运算，掌握同底数幂的除法法则、幂的乘方法则是解题的关键．
7．
【分析】用大矩形的面积减去小矩形的面积得出代数式，然后根据整式的混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：根据题意可得剩余部分的面积为
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，读懂题意，根据题意列出代数式，然后根据整式的混合运算法则进行计算是解本题的关键．
8．1
【分析】先根据单项式乘多项式和完全平方公式进行化简，再将整体代入进行计算即可．
【详解】解：
，
，
原式，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了单项式乘多项式和完全平方公式，熟练掌握单项式乘多项式和完全平方公式的运算法则，是解题的关键．
9．46
【分析】将和时，分别代入多项式，根据值相等得出，再根据得出，最后代入求解即可．
【详解】解：
当时， ，
当时，，
∵当和时，多项式的值相等，
∴，则，
∴或，
整理得：或
∵，
∴，则，
∴当，，
故答案为：46．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，得出关于p和q的关系式，掌握整式的运算法则．
10． 8
【分析】（1）由题意可知，利用完全平方公式展开计算即可；
（2）由题意得，即，根据即可求解．
【详解】解：（1）
，
（2）由题意可得：，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：，8．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用及因式分解的应用，理解题意，列出是解决问题的关键．
11．
【分析】先根据幂的乘方的逆运算得到，再由同底数幂乘除法的逆运算将原式变形为，由此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
12．(1)平方米
(2)元
【分析】（1）用长方形面积减去4个正方形面积即可得到答案；
（2）根据（1）所求代入求出草坪的面积，进而求出对应的费用即可．
【详解】（1）解：
平方米，
∴铺设的草坪的面积为平方米；
（2）解：当时，平方米，
∴铺设草坪所需要的费用为元．
【点睛】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．
13．(1)，
(2)，见解析
【分析】（1）根据材料提示，运用配方法配成完全平方公式，即可求解；
（2）运用作差法化简两个代数式，运用配方法配成完全平方公式，比较结果的正负，即可求解．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴当时，的最小值为，
故答案为：，．
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查乘法公式，作差法比较两个多项式的大小的综合，掌握配方法配成完全平方公式判定代数式的最值，运用作差法比较结果的正负判断代数式的大小等知识是解题的关键．
14．(1)120
(2)2022
【分析】（1）利用整体思想和完全平方公式可求；
（2）利用整体思想和完全平方公式可求，可求解．
【详解】（1）解：设，，则．
∵，∴
，
故答案为120；
（2）解：设，则，
∴，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式是解题的关键．
15．(1)；
(2)1
(3)
【分析】（1）根据两种方法分别表示阴影部分的面积即可；
（2）根据非负数的定义可得，，再根据进行计算即可；
（3）求出所拼成的长方形的长、宽以及总面积即可．
【详解】（1）解：方法1：图2中阴影部分是边长为，因此面积为；
方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为的正方形减去4个长为，宽为的长方形面积，因此有；
（2）解：∵，，，
，，
即，，
；
（3）解：如图所示：
1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为，
而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为，宽为的长方形，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式，数形结合，掌握完全平方公式的结构特征是关键．
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