第22章 一元二次方程 单元练习 2023-2024学年 华师大版九年级数学上册（含解析）
文档属性
| 名称 | 第22章 一元二次方程 单元练习 2023-2024学年 华师大版九年级数学上册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 558.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-22 15:33:33 | ||
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文档简介
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第22章 一元二次方程 单元练习 2023-2024学年 华师大版九年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ）
A．3 B． C．0 D．
3．对于方程的两根，下列判断正确的是（ ）
A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于，另一根大于2
C．两根都小于0 D．两根都大于2
4．如图，双曲线与直线有两个交点，其中一个交点的坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．另一个交点坐标为 D．双曲线与直线只有一个交点
5．方程经过配方后，其结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若，则x的值是（ ）
A．5 B．5或 C．或 D．5或
7．已知关于的一元二次方程，其中数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根
8．若方程的两个实数根为a，b，则的值为（ ）
A．﹣9 B．9 C．﹣7 D．7
9．如图(1)，C为线段上一点，和均为等腰直角三角形，点F沿从点B匀速运动到点D，连接，令，图(2)是随时间变化的关系图像，则的长为( )
A． B． C． D．
二、填空题
10．若是一元二次方程的一个根，则 ．
11．方程的根是 ．
12．一元二次方程的根是 ．
13．某超市按照一种定价法则来制定商品的售价：商品的成本价a元，工商局限价b元，以及定价系数来确定定价c，a、b、c满足关系式，经验表明，最佳定价系数k恰好使得，据此可得，最佳定价系数k的值等于 ．
14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
15．请写出一个满足下列条件的一元二次方程：二次项系数为1，且两根之和为正数，两根之积为负数．你所写的一元二次方程是 ．
16．初三（2）班学生小明，由于以前学习不认真，作业态度马虎，还经常玩游戏，致使成绩不理想，期中考试数学仅考了50分．由于老师及时发现并进行了教育，小明认识到了自己的错误，决心努力学习，就给自己订了一个目标：期末考试数学一定要达到98分，每次考试（仅指月考，期中和期末考试）自己数学成绩增加的百分率相同．那么小明这次月考数学成绩要达到 分，他才算实现认真学习后的第一个小目标．
三、解答题
17．先化简，再求值，其中x的值是方程的根．
18．“口袋公园”是面向公众开放，规模较小，形状多样，具有一定游憩功能的公园绿化活动场地，类型包括小游园、小微绿地等．近年来，我市以全面推动生态文明建设、创建国家园林城市为目标，以满足市民对便捷游园的期待和要求为导向，从绿着手，以美为善，为美而行，在城区范围内兴建了30多个主题鲜明、特色突出、以小而灵、以精致胜的“口袋公园”．某“口袋公园”有一道长为16米的墙，计划用35米长的围栏靠墙围成一个面积为150平方米的矩形草坪，求该矩形草坪边的长．
19．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值．解：， ，∴ ，即的最小值是 试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知，求的最小值．
(2)比较代数式与的大小，并说明理由．
(3)如图，在中，，点在边上以/的速度从点向移动，点在边上以/的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值．
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参考答案：
1．D
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意，
C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
2．C
【分析】将代入方程求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为，
∴，
解得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的意义，将根代入方程求解是解题关键．
3．A
【分析】本题需先根据一元二次方程的解法，对方程进行计算，分别解出和的值，再进行估算即可得出结果．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了对一元二次方程的近似解的估算，解题时要注意在开方的时候不要漏掉方程根，这是解题的关键．
4．C
【分析】将点代入直线可求出的值，即可判断A；将点代入双曲线可求出的值，即可判断B；令求出的值，从而得到另一个交点，即可判断C；根据图象关于原点中心对称，可知双曲线与直线也有两个交点，可以判断D．
【详解】解：双曲线与直线的一个交点的坐标为，将点代入直线，
得，
，故A错误，不符合题意；
将点代入双曲线，可得，故B错误，不符合题意；
令，整理可得，
解得：，
另一个交点坐标为，故C正确，符合题意；
由图象关于原点中心对称，可知双曲线与直线也有两个交点，故D错误不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．
5．A
【分析】用配方法把一元二次方程配成完全平方的形式即可解答．
【详解】解：，
移项，两边同时加8得，，
配方得，．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤和方法是解题关键．
6．B
【分析】根据题意进行分类讨论，当时，可得，求出x的值即可；当时，可得求出x的值即可．
【详解】解：当时，则，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），
当时，则，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），，
综上：x的值是5或，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．
7．C
【分析】先由数轴得出与0的关系，再计算判别式的值即可判断．
【详解】解：由数轴得，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，掌握：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解决问题的关键．
8．D
【分析】先根据分式的加减运算、完全平方公式可得，然后再根据一元二次方程根与系数的关系可得，最后整体代入即可解答．
【详解】解：，
＝，
，
∵方程的两个实数根为a，b，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了异分母分式加法、完全平方公式、一元二次方程根与系数的关系等知识点，灵活运用完全平方公式和根与系数的关系是解答本题的关键．
9．C
【分析】根据题意结合图1、图2可知，．设，根据等腰直角三角形的性质，可将未知与已知条件集中在中，利用勾股定理可解得x的值，从而使问题得解．
【详解】连接．如下图．
根据题意结合图1、图2可知，．
∵与均为等腰直角三角形，设，
∴．
在中，，
即
整理得：
∴或（不合题意，舍去）
即．
∴
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理的应用、图标的分析等知识点，解题的关键是读懂图，推知的题设条件．
10．2023
【分析】利用一元二次方程的解，可得出，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键．
11．
【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
【详解】，
，
，
或3．
故答案是 0 或 3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，本题运用的是因式分解法．
12．
【分析】用配方法求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的方法和步骤．
13．
【分析】根据，得到，代入，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即：，
解得：或（不合题意，舍去）；
经检验，是原方程的解；
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查解分式方程．解题的关键是得到．
14．且
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．
15．（答案不唯一）
【分析】设这个方程为，根据题意和一元二次方程根与系数的关系得出，，，写出符合条件的b和c的值，再根据一元二次方程根的判别式判断是否有解即可．
【详解】解：设这个方程为，
根据题意可得：，，
∴，
当时，，
∴当时，该方程有解，
∴该方程可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要主要是考查了一元二次方程的相关概念以及根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．
16．70
【分析】设数学成绩增加的百分率为，由题意得，，解得，根据，计算求解即可．
【详解】解：设数学成绩增加的百分率为，
由题意得，，
解得，（负根舍去）
∴数学成绩增加的百分率为，
∴，
故答案为：70．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程并求解．
17．，4
【分析】根据整式的混合运算化简后代入x的值计算即可.
【详解】解：原式
；
∵x的值是方程的根，
解得，
又∵，
∴，
∴，
原式．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，实数的运算，分式的化简和求值，解一元一次不等式，正确地进行运算是解题的关键.
18．该矩形草坪BC边的长为15米
【分析】可设边的长为x米，则AB的长是米，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解．
【详解】解：设边的长为x米，且，
根据题意得：
解得：，，
∵，
∴不合题意，舍去，
即：，
答：该矩形草坪BC边的长为15米．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．
19．(1)3
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据题目给的方法将原式配方成，即可判断；
（2）利用作差法结合配方法解答即可；
（3）由题意得：，可得，进而可用含t的式子表示出四边形的面积，再利用配方法求解即可．
【详解】（1），
∵，
∴的最小值是3，即y的最小值是3；
（2）∵
，
，
∴，
∴；
（3）由题意得：，
∴，
∴四边形的面积
；
∴四边形的面积的最小值是．
【点睛】本题考查了配方法的应用，正确变形、掌握解答的方法是解题的关键．
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第22章 一元二次方程 单元练习 2023-2024学年 华师大版九年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ）
A．3 B． C．0 D．
3．对于方程的两根，下列判断正确的是（ ）
A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于，另一根大于2
C．两根都小于0 D．两根都大于2
4．如图，双曲线与直线有两个交点，其中一个交点的坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．另一个交点坐标为 D．双曲线与直线只有一个交点
5．方程经过配方后，其结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若，则x的值是（ ）
A．5 B．5或 C．或 D．5或
7．已知关于的一元二次方程，其中数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根
8．若方程的两个实数根为a，b，则的值为（ ）
A．﹣9 B．9 C．﹣7 D．7
9．如图(1)，C为线段上一点，和均为等腰直角三角形，点F沿从点B匀速运动到点D，连接，令，图(2)是随时间变化的关系图像，则的长为( )
A． B． C． D．
二、填空题
10．若是一元二次方程的一个根，则 ．
11．方程的根是 ．
12．一元二次方程的根是 ．
13．某超市按照一种定价法则来制定商品的售价：商品的成本价a元，工商局限价b元，以及定价系数来确定定价c，a、b、c满足关系式，经验表明，最佳定价系数k恰好使得，据此可得，最佳定价系数k的值等于 ．
14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
15．请写出一个满足下列条件的一元二次方程：二次项系数为1，且两根之和为正数，两根之积为负数．你所写的一元二次方程是 ．
16．初三（2）班学生小明，由于以前学习不认真，作业态度马虎，还经常玩游戏，致使成绩不理想，期中考试数学仅考了50分．由于老师及时发现并进行了教育，小明认识到了自己的错误，决心努力学习，就给自己订了一个目标：期末考试数学一定要达到98分，每次考试（仅指月考，期中和期末考试）自己数学成绩增加的百分率相同．那么小明这次月考数学成绩要达到 分，他才算实现认真学习后的第一个小目标．
三、解答题
17．先化简，再求值，其中x的值是方程的根．
18．“口袋公园”是面向公众开放，规模较小，形状多样，具有一定游憩功能的公园绿化活动场地，类型包括小游园、小微绿地等．近年来，我市以全面推动生态文明建设、创建国家园林城市为目标，以满足市民对便捷游园的期待和要求为导向，从绿着手，以美为善，为美而行，在城区范围内兴建了30多个主题鲜明、特色突出、以小而灵、以精致胜的“口袋公园”．某“口袋公园”有一道长为16米的墙，计划用35米长的围栏靠墙围成一个面积为150平方米的矩形草坪，求该矩形草坪边的长．
19．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值．解：， ，∴ ，即的最小值是 试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知，求的最小值．
(2)比较代数式与的大小，并说明理由．
(3)如图，在中，，点在边上以/的速度从点向移动，点在边上以/的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值．
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参考答案：
1．D
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意，
C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
2．C
【分析】将代入方程求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为，
∴，
解得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的意义，将根代入方程求解是解题关键．
3．A
【分析】本题需先根据一元二次方程的解法，对方程进行计算，分别解出和的值，再进行估算即可得出结果．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了对一元二次方程的近似解的估算，解题时要注意在开方的时候不要漏掉方程根，这是解题的关键．
4．C
【分析】将点代入直线可求出的值，即可判断A；将点代入双曲线可求出的值，即可判断B；令求出的值，从而得到另一个交点，即可判断C；根据图象关于原点中心对称，可知双曲线与直线也有两个交点，可以判断D．
【详解】解：双曲线与直线的一个交点的坐标为，将点代入直线，
得，
，故A错误，不符合题意；
将点代入双曲线，可得，故B错误，不符合题意；
令，整理可得，
解得：，
另一个交点坐标为，故C正确，符合题意；
由图象关于原点中心对称，可知双曲线与直线也有两个交点，故D错误不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．
5．A
【分析】用配方法把一元二次方程配成完全平方的形式即可解答．
【详解】解：，
移项，两边同时加8得，，
配方得，．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤和方法是解题关键．
6．B
【分析】根据题意进行分类讨论，当时，可得，求出x的值即可；当时，可得求出x的值即可．
【详解】解：当时，则，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），
当时，则，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），，
综上：x的值是5或，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．
7．C
【分析】先由数轴得出与0的关系，再计算判别式的值即可判断．
【详解】解：由数轴得，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，掌握：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解决问题的关键．
8．D
【分析】先根据分式的加减运算、完全平方公式可得，然后再根据一元二次方程根与系数的关系可得，最后整体代入即可解答．
【详解】解：，
＝，
，
∵方程的两个实数根为a，b，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了异分母分式加法、完全平方公式、一元二次方程根与系数的关系等知识点，灵活运用完全平方公式和根与系数的关系是解答本题的关键．
9．C
【分析】根据题意结合图1、图2可知，．设，根据等腰直角三角形的性质，可将未知与已知条件集中在中，利用勾股定理可解得x的值，从而使问题得解．
【详解】连接．如下图．
根据题意结合图1、图2可知，．
∵与均为等腰直角三角形，设，
∴．
在中，，
即
整理得：
∴或（不合题意，舍去）
即．
∴
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理的应用、图标的分析等知识点，解题的关键是读懂图，推知的题设条件．
10．2023
【分析】利用一元二次方程的解，可得出，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键．
11．
【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
【详解】，
，
，
或3．
故答案是 0 或 3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，本题运用的是因式分解法．
12．
【分析】用配方法求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的方法和步骤．
13．
【分析】根据，得到，代入，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即：，
解得：或（不合题意，舍去）；
经检验，是原方程的解；
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查解分式方程．解题的关键是得到．
14．且
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．
15．（答案不唯一）
【分析】设这个方程为，根据题意和一元二次方程根与系数的关系得出，，，写出符合条件的b和c的值，再根据一元二次方程根的判别式判断是否有解即可．
【详解】解：设这个方程为，
根据题意可得：，，
∴，
当时，，
∴当时，该方程有解，
∴该方程可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要主要是考查了一元二次方程的相关概念以及根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．
16．70
【分析】设数学成绩增加的百分率为，由题意得，，解得，根据，计算求解即可．
【详解】解：设数学成绩增加的百分率为，
由题意得，，
解得，（负根舍去）
∴数学成绩增加的百分率为，
∴，
故答案为：70．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程并求解．
17．，4
【分析】根据整式的混合运算化简后代入x的值计算即可.
【详解】解：原式
；
∵x的值是方程的根，
解得，
又∵，
∴，
∴，
原式．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，实数的运算，分式的化简和求值，解一元一次不等式，正确地进行运算是解题的关键.
18．该矩形草坪BC边的长为15米
【分析】可设边的长为x米，则AB的长是米，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解．
【详解】解：设边的长为x米，且，
根据题意得：
解得：，，
∵，
∴不合题意，舍去，
即：，
答：该矩形草坪BC边的长为15米．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．
19．(1)3
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据题目给的方法将原式配方成，即可判断；
（2）利用作差法结合配方法解答即可；
（3）由题意得：，可得，进而可用含t的式子表示出四边形的面积，再利用配方法求解即可．
【详解】（1），
∵，
∴的最小值是3，即y的最小值是3；
（2）∵
，
，
∴，
∴；
（3）由题意得：，
∴，
∴四边形的面积
；
∴四边形的面积的最小值是．
【点睛】本题考查了配方法的应用，正确变形、掌握解答的方法是解题的关键．
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