第23章 图形的相似 单元练习 2023-2024学年 华师大版九年级数学上册（含解析）
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| 名称 | 第23章 图形的相似 单元练习 2023-2024学年 华师大版九年级数学上册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-22 15:34:07 | ||
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第23章 图形的相似 单元练习 2023-2024学年 华师大版九年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．已知，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
2．两个相似多边形的面积比是，若较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线，一等腰的三个顶点A、B、C分别在直线，，上，且，交与点，若与的距离为2，与的距离为8，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，点是矩形的对角线的中点，交于点．若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，和是以点为位似中心的位似图形，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点A的坐标为，点B是y轴的正半轴上的一点，将线段绕点B按逆时针方向旋转，每次旋转，第一次旋转结束时，点A与点C重合．若点C的坐标为，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．若线段，且点C是的黄金分割点，且，则的长为 .
8．如图，矩形的对称轴交于点E，交于点F．若矩形与矩形相似，则的值为 ．
9．如图，在菱形中，E为边上一点．过点F作于点P，交的延长线于点F，若．则的值为 ．
10．如图，在中，，， ．若将沿折叠，点A与边的点恰好重合，点，分别在，上．将沿折叠，点与点恰好重合．将沿折叠，点与点恰好重合，则四边形的周长为 ．
11．如图，和是以点C为位似中心的位似图形，且和的面积之比为1：9，点C的坐标为，若点B的对应点的横坐标为6，则点B的横坐标为 ．
12．如图，直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，，将沿y轴折叠得到，再将绕原点O顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标为 ．
三、解答题
13．如图，这是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中作的角平分线；
(2)在图2中上取点P，使．
14．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
(1)将绕点顺时针旋转得到，请画出．
(2)以点为位似中心，将在点异侧按位似比进行放大得到，请画出．
15．如图，矩形的两边，都在坐标轴的正半轴上，，另两边与反比例函数的图象分别相交于点E，F，且．过点E作轴于点H，过点F作于点G，请解答下列问题．
(1) ；
(2)当四边形为正方形时，求点F的坐标；
(3)当时，若矩形矩形，求出相似比．
16．如图，已知，点为边的中点，过点作，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过的中点C，且与相交于点D，，
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使的值最大，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】根据，可设，则，代入所求的式子即可求解．
【详解】
解：，
设，则，
则原式．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例的性质，根据，正确设出未知数是本题的关键．
2．C
【分析】利用面积比等于相似比的平方，求出相似比，再利用周长比等于相似比进行计算即可．
【详解】∵两相似多边形的面积比是，
∴两相似多边形的相似比为：，
∴两相似多边形的周长比为：，
∵较小多边形的周长为，
∴较大多边形的周长为：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似多边形．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比的性质，是解题的关键．
3．C
【分析】过点作于点，交直线于点，过点作于点，根据题意先求得，，的值，再证，可得出的值，然后根据勾股定理得出的值；由可得，从而可得比例式，将相关线段的值代入计算即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作于点，交直线于点，过点作于点，
与的距离为2，与的距离为8，
，，，
，，
，
又在等腰中，，
，，
，
在和中，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
4．C
【分析】易知是中位线，则，在中，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求得，根据矩形求出，从而求出的周长．
【详解】解：点是矩形的对角线的中点，，
，为中点，
在中，利用勾股定理求得，
，
在中，利用勾股定理求得，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，以及勾股定理和中位线的性质，解题的技巧是把所求三角形的三条线段分别放在不同的三角形中求解长度．
5．C
【分析】根据题意可得，进而根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，
∴
∴，
∴，故C正确
∵，
∴
∴，，，故A，B，D选项不正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
6．D
【分析】过作轴于点，通过证得，得出，，可得点的坐标，再由旋转的角度，可知旋转4次是一个循环，则第2023次旋转结束时与第3次旋转结束时的位置一样，即可得出结论．
【详解】解：过作轴于点，如图：
，
，
，
，
，，
，
，，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，，
，
，
第1次旋转结束时，点；
第2次旋转结束时，点；
第3次旋转结束时，点；
第4次旋转结束时，点；
发现规律：旋转4次一个循环，
，
第2023次旋转结束时，点，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转、规律型点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律．
7．
【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．
【详解】解：∵点C是的黄金分割点，且，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
8．
【分析】根据相似多边形的对应边成比例进行计算即可解答．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵矩形的对称轴分别交于点E，交于点F，
∴，
∵矩形与矩形相似，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似多边形的性质，轴对称的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
9．/0.25
【分析】连接，过点C作交的延长线于点M，根据菱形的性质，三角形相似的判定和性质计算即可．
【详解】连接，过点C作交的延长线于点M，
∵菱形，，
∴，，，，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握菱形的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
10．14
【分析】将沿折叠，点A与边的点恰好重合，得是的中位线，可证明四边形为矩形，根据，可得，即可解答．
【详解】解：∵将沿折叠，点A与边的点恰好重合，
∴是的中位线，
∴，，，
由折叠的性质可得：，，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴四边形的周长为，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了翻折变换，三角形中位线定理，含角的直角三角形，矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌握上述知识点．
11．
【分析】过点B作轴于点D，过点作于点H，则，可得可得，再由相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可得，继而得到，然后根据题意可得,进而求得,最后求得即可解答．
【详解】解：如图：过点B作轴于点D，过点作于点H，则，
∴，
∴，
∴，
∵和的面积之比为1：9，
∴，
∴，
∵点C的坐标为，点B的对应点的横坐标为6，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点B的横坐标为．
故答案为: ．
【点睛】本题主要考查了位似图形、相似三角形的判定和性质等知识点，掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
12．
【分析】由折叠的性质可知各点的坐标分别为：，，，在坐标系中作出绕原点O顺时针旋转得到的，再证明点是点绕原点O顺时针旋转得到的，进而可得答案．
【详解】如图，三个顶点的坐标分别为，，，又将沿y轴折叠得到；
由折叠的性质可知各点的坐标分别为：，，；
如图，即为所求，
由图可知，，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴点是点绕原点O顺时针旋转得到的，
由图可知，点的坐标是，
故答案为：
【点睛】本题主要考查图形的旋转和折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，关键在于正确作图．
13．(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】（1）由图可知，构造等腰三角形，根据三线合一作出的角平分线；
（2）在（1）的基础上，作等腰三角形底边的平行线，交的点即为点．
【详解】（1）解：如图1所示，即为所作，
（2）如图2所示，点即为所作
【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺作图问题，等腰三角形的三线合一，平行线分线段成比例定理，根据图中信息求出的长构造等腰三角形是解决此题的关键．
14．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质作出对应点，再连接即可．
（2）根据位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于位似比作出对应点，再连接即可．
【详解】（1）如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
【点睛】本题考查作图-位似变换、旋转变换，熟练掌握位似变换、旋转变换的性质是解答本题的关键．
15．(1)8
(2)点F的坐标为
(3)
【分析】（1）先根据矩形的性质得到，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征计算出；
（2）由（1），知反比例函数的解析式为，设点F的坐标为，则，，可得，求得，即可；
（3）设点F的坐标为，则，，若矩形与矩形相似，根据相似的性质得，即，整理得，可得，求得，可得，进而可得相似比为．
【详解】（1）∵四边形为矩形，轴，，且．
∴，
∴，
故答案为：8；
（2）由（1），知反比例函数的解析式为．
设点F的坐标为，则，，
因为点F在反比例函数的图象上，且四边形是正方形，
所以，解得或，
所以点F的坐标为；
（3）因为矩形矩形，设点F的坐标为，则，，
所以，即，整理，得，
因为点F在反比例函数的图象上，所以，
联立解得或（舍去）
所以
所以相似比为．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质和正方形的性质、相似的性质；理解图形与坐标的关系；会解一元二次方程．
16．(1)见解析
(2)1
【分析】（1）根据平行线的性质得，，再根据两角对应相等的两个三角形相似得证；
（2）根据中点的定义得，由（1）可知得，将代入计算即可．
【详解】（1）证明：，
，
．
（2）解：为边的中点，
，
由（1）可知，
，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握两角对应相等两个三角形相似是解决此题的关键．
17．(1)
(2)P点坐标为
【分析】（1）设点D的坐标为，取中点E，连接，根据三角形的中位线定理，可得点C的坐标为，根据点C、点D均在反比例函数的函数图象上，得到，进行求解即可；
（2）在x轴上任取一点P，连接、，则：，当P、C、D共线时的值最大．延长交x轴于点P，此时的值最大，求出的解析式，求出与轴的交点坐标即可．
【详解】（1）解：设点D的坐标为，则点A的坐标为，取中点E，连接，
∵点C为的中点，点E为的中点；
∴，；
∵轴，
∴，
∴点C的坐标为．
∵点C、点D均在反比例函数的函数图象上，
∴，解得：．
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）存在—；在x轴上任取一点P，连接、，
∵，当P、C、D共线时的值最大．
∴延长交x轴于点P，此时的值最大，
设直线的解析式为；
由（1）知：点C的坐标为，点D的坐标为
则：，解得：，
∴，
令，得：，解得：；
∴P点坐标为．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
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第23章 图形的相似 单元练习 2023-2024学年 华师大版九年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．已知，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
2．两个相似多边形的面积比是，若较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线，一等腰的三个顶点A、B、C分别在直线，，上，且，交与点，若与的距离为2，与的距离为8，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，点是矩形的对角线的中点，交于点．若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，和是以点为位似中心的位似图形，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点A的坐标为，点B是y轴的正半轴上的一点，将线段绕点B按逆时针方向旋转，每次旋转，第一次旋转结束时，点A与点C重合．若点C的坐标为，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．若线段，且点C是的黄金分割点，且，则的长为 .
8．如图，矩形的对称轴交于点E，交于点F．若矩形与矩形相似，则的值为 ．
9．如图，在菱形中，E为边上一点．过点F作于点P，交的延长线于点F，若．则的值为 ．
10．如图，在中，，， ．若将沿折叠，点A与边的点恰好重合，点，分别在，上．将沿折叠，点与点恰好重合．将沿折叠，点与点恰好重合，则四边形的周长为 ．
11．如图，和是以点C为位似中心的位似图形，且和的面积之比为1：9，点C的坐标为，若点B的对应点的横坐标为6，则点B的横坐标为 ．
12．如图，直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，，将沿y轴折叠得到，再将绕原点O顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标为 ．
三、解答题
13．如图，这是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中作的角平分线；
(2)在图2中上取点P，使．
14．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
(1)将绕点顺时针旋转得到，请画出．
(2)以点为位似中心，将在点异侧按位似比进行放大得到，请画出．
15．如图，矩形的两边，都在坐标轴的正半轴上，，另两边与反比例函数的图象分别相交于点E，F，且．过点E作轴于点H，过点F作于点G，请解答下列问题．
(1) ；
(2)当四边形为正方形时，求点F的坐标；
(3)当时，若矩形矩形，求出相似比．
16．如图，已知，点为边的中点，过点作，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过的中点C，且与相交于点D，，
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使的值最大，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】根据，可设，则，代入所求的式子即可求解．
【详解】
解：，
设，则，
则原式．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例的性质，根据，正确设出未知数是本题的关键．
2．C
【分析】利用面积比等于相似比的平方，求出相似比，再利用周长比等于相似比进行计算即可．
【详解】∵两相似多边形的面积比是，
∴两相似多边形的相似比为：，
∴两相似多边形的周长比为：，
∵较小多边形的周长为，
∴较大多边形的周长为：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似多边形．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比的性质，是解题的关键．
3．C
【分析】过点作于点，交直线于点，过点作于点，根据题意先求得，，的值，再证，可得出的值，然后根据勾股定理得出的值；由可得，从而可得比例式，将相关线段的值代入计算即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作于点，交直线于点，过点作于点，
与的距离为2，与的距离为8，
，，，
，，
，
又在等腰中，，
，，
，
在和中，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
4．C
【分析】易知是中位线，则，在中，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求得，根据矩形求出，从而求出的周长．
【详解】解：点是矩形的对角线的中点，，
，为中点，
在中，利用勾股定理求得，
，
在中，利用勾股定理求得，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，以及勾股定理和中位线的性质，解题的技巧是把所求三角形的三条线段分别放在不同的三角形中求解长度．
5．C
【分析】根据题意可得，进而根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，
∴
∴，
∴，故C正确
∵，
∴
∴，，，故A，B，D选项不正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
6．D
【分析】过作轴于点，通过证得，得出，，可得点的坐标，再由旋转的角度，可知旋转4次是一个循环，则第2023次旋转结束时与第3次旋转结束时的位置一样，即可得出结论．
【详解】解：过作轴于点，如图：
，
，
，
，
，，
，
，，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，，
，
，
第1次旋转结束时，点；
第2次旋转结束时，点；
第3次旋转结束时，点；
第4次旋转结束时，点；
发现规律：旋转4次一个循环，
，
第2023次旋转结束时，点，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转、规律型点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律．
7．
【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．
【详解】解：∵点C是的黄金分割点，且，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
8．
【分析】根据相似多边形的对应边成比例进行计算即可解答．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵矩形的对称轴分别交于点E，交于点F，
∴，
∵矩形与矩形相似，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似多边形的性质，轴对称的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
9．/0.25
【分析】连接，过点C作交的延长线于点M，根据菱形的性质，三角形相似的判定和性质计算即可．
【详解】连接，过点C作交的延长线于点M，
∵菱形，，
∴，，，，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握菱形的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
10．14
【分析】将沿折叠，点A与边的点恰好重合，得是的中位线，可证明四边形为矩形，根据，可得，即可解答．
【详解】解：∵将沿折叠，点A与边的点恰好重合，
∴是的中位线，
∴，，，
由折叠的性质可得：，，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴四边形的周长为，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了翻折变换，三角形中位线定理，含角的直角三角形，矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌握上述知识点．
11．
【分析】过点B作轴于点D，过点作于点H，则，可得可得，再由相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可得，继而得到，然后根据题意可得,进而求得,最后求得即可解答．
【详解】解：如图：过点B作轴于点D，过点作于点H，则，
∴，
∴，
∴，
∵和的面积之比为1：9，
∴，
∴，
∵点C的坐标为，点B的对应点的横坐标为6，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点B的横坐标为．
故答案为: ．
【点睛】本题主要考查了位似图形、相似三角形的判定和性质等知识点，掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
12．
【分析】由折叠的性质可知各点的坐标分别为：，，，在坐标系中作出绕原点O顺时针旋转得到的，再证明点是点绕原点O顺时针旋转得到的，进而可得答案．
【详解】如图，三个顶点的坐标分别为，，，又将沿y轴折叠得到；
由折叠的性质可知各点的坐标分别为：，，；
如图，即为所求，
由图可知，，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴点是点绕原点O顺时针旋转得到的，
由图可知，点的坐标是，
故答案为：
【点睛】本题主要考查图形的旋转和折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，关键在于正确作图．
13．(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】（1）由图可知，构造等腰三角形，根据三线合一作出的角平分线；
（2）在（1）的基础上，作等腰三角形底边的平行线，交的点即为点．
【详解】（1）解：如图1所示，即为所作，
（2）如图2所示，点即为所作
【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺作图问题，等腰三角形的三线合一，平行线分线段成比例定理，根据图中信息求出的长构造等腰三角形是解决此题的关键．
14．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质作出对应点，再连接即可．
（2）根据位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于位似比作出对应点，再连接即可．
【详解】（1）如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
【点睛】本题考查作图-位似变换、旋转变换，熟练掌握位似变换、旋转变换的性质是解答本题的关键．
15．(1)8
(2)点F的坐标为
(3)
【分析】（1）先根据矩形的性质得到，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征计算出；
（2）由（1），知反比例函数的解析式为，设点F的坐标为，则，，可得，求得，即可；
（3）设点F的坐标为，则，，若矩形与矩形相似，根据相似的性质得，即，整理得，可得，求得，可得，进而可得相似比为．
【详解】（1）∵四边形为矩形，轴，，且．
∴，
∴，
故答案为：8；
（2）由（1），知反比例函数的解析式为．
设点F的坐标为，则，，
因为点F在反比例函数的图象上，且四边形是正方形，
所以，解得或，
所以点F的坐标为；
（3）因为矩形矩形，设点F的坐标为，则，，
所以，即，整理，得，
因为点F在反比例函数的图象上，所以，
联立解得或（舍去）
所以
所以相似比为．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质和正方形的性质、相似的性质；理解图形与坐标的关系；会解一元二次方程．
16．(1)见解析
(2)1
【分析】（1）根据平行线的性质得，，再根据两角对应相等的两个三角形相似得证；
（2）根据中点的定义得，由（1）可知得，将代入计算即可．
【详解】（1）证明：，
，
．
（2）解：为边的中点，
，
由（1）可知，
，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握两角对应相等两个三角形相似是解决此题的关键．
17．(1)
(2)P点坐标为
【分析】（1）设点D的坐标为，取中点E，连接，根据三角形的中位线定理，可得点C的坐标为，根据点C、点D均在反比例函数的函数图象上，得到，进行求解即可；
（2）在x轴上任取一点P，连接、，则：，当P、C、D共线时的值最大．延长交x轴于点P，此时的值最大，求出的解析式，求出与轴的交点坐标即可．
【详解】（1）解：设点D的坐标为，则点A的坐标为，取中点E，连接，
∵点C为的中点，点E为的中点；
∴，；
∵轴，
∴，
∴点C的坐标为．
∵点C、点D均在反比例函数的函数图象上，
∴，解得：．
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）存在—；在x轴上任取一点P，连接、，
∵，当P、C、D共线时的值最大．
∴延长交x轴于点P，此时的值最大，
设直线的解析式为；
由（1）知：点C的坐标为，点D的坐标为
则：，解得：，
∴，
令，得：，解得：；
∴P点坐标为．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
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