第24章 解直角三角形 单元练习 2023-2024学年 华师大版九年级数学上册（含解析）
文档属性
| 名称 | 第24章 解直角三角形 单元练习 2023-2024学年 华师大版九年级数学上册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-22 15:35:40 | ||
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文档简介
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第24章 解直角三角形 单元练习 2023-2024学年 华师大版九年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为 1.6 m，并测得BC=2.2 m ，CA=0.8 m, 那么树DB的高度是（ ）
A．6 m B．5.6 m C．5.4 m D．4.4 m
2．如图，在中，平分，于点F，D为的中点，连接并延长交于点E．若，，则线段的长为（ ）
A．5 B．8 C．3 D．4
3．如图，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（ ）
5．如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若是轴上的动点，则的最小值( )
A． B． C． D．
6．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口A和B的距离．点D，点E分别位于测绘点C的正北和正西方向．已知测得两定位点E和D与隧道口A和B的距离分别为和，测绘点H，G分别为，的中点，测绘方在测绘点H测得点G在点H的南偏西的方向上，且，则隧道的长约为（ ）（参考数据：）
A．1600m B．1300m C．980m D．900m
二、填空题
8．如图，一棵大树被风吹断，已知折断处距地面5米，树的折断部分与地面成45°的角，这棵大树有 米．
9．如图，在中，，，，交于点，平分交于点，则的长为 ．
10．如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值是 ．
11．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是 ．
B．用科学计算器计算：13××sin14°≈ （结果精确到0.1）
12．如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为 米．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数）
三、解答题
13．用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
14．如图，为了测量河的宽度，可以先在河对岸找到一个具有明显标志的点A，再在所在的岸边找到两点B、C，使△ABC构成直角三角形．如果测得BC＝35.7m，∠ABC＝70°，求河的宽度AC.
15．如图，四边形是平行四边形，延长至E，使点C是的中点，连接，，，，与相交于点O．
(1)求证：；
(2)当时，求证：四边形是菱形．
16．（1）计算：
（2）如图，在中，将沿对角线翻折得到，交于点E，求证：是等腰三角形．
17．为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革．湘潭某中学推进项目式学习，组织九年级数学兴趣小组，测量莲城（湘潭市）的地标：君子莲雕塑．君子莲雕塑采用抽象艺术手法，一朵含苞欲放的莲花，象征着美好的未来．雕塑所蕴含的“出污泥而不染，濯清涟而不妖”的高洁品格，启发、激励着一代又一代的湘潭人民向着美好未来奋勇前行．如图，测量小组在君子莲雕塑前的B点观测雕塑顶部A的仰角为，然后将观测点沿雕塑底部C的水平方向移动了到点D，在D点观测的仰角为，求君子莲雕塑的高度．（结果保留一位小数，）
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参考答案：
1．A
【分析】先根据相似三角形的判定定理得出Rt△ACE∽Rt△ABD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BD的长．
【详解】解：∵EC∥AB，BD⊥AB，
∴EC∥BD，∠ACE=∠ABD=90°，
在Rt△ACE∽Rt△ABD中，∠A=∠A，∠ACE=∠ABD=90°，
∴Rt△ACE∽Rt△ABD，
∴，即
，解得BD=6m．
故选A．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例．
2．C
【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得，且，结合角平分线可得，即，进而可得，由可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，D为的中点，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是证明是的中位线．
3．D
【分析】过点A作交于点D，先根据三角函数求出，再根据勾股定理求出，进而可得出答案．
【详解】解：过点A作交于点D，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查三角函数及勾股定理，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
4．A
【分析】先利用正弦的定义得到sinA＝0.25，然后利用计算器求锐角∠A．
【详解】解：sinA＝＝0.25，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为：
故选：A．
【点睛】本题考查了计算器 三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
5．B
【分析】，先得到，作点的对称点，作，所以，可得，可得当、、共线时，最小，进而可求得．
【详解】解：如图，作点的对称点，作于点，
一次函数交轴于点，
当时，，当时，，
，，，，
，
，
，
在的延长线上取，
，
作于，
，
，
当、、在同一条直线上时，
最小，
过点作于，
在中，，
，
最小值是，
最小值是，
故选：B．
【点睛】本题考查了“胡不归”问题，即形式问题，解决问题的关键是根据三角函数构造出或．
6．C
【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出；
【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠AOD=60°，
∴∠AOD=∠BOC=60°，
∴DG=DO，
同理可得：BH=BO，
S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH
=×AC××（DO+BO）
=，
故选：C．
【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键．
7．B
【分析】先解直角三角形求出，然后根据三角形中位线定理求出，即可求解．
【详解】解：由题意知：，，，，
在中，，
∴，
∵点H，G分别为，的中点，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方位角问题，三角形中位线定理等，明确题意，熟悉相关性质是解题的关键．
8．(5＋5)
【分析】把题中图形抽象成Rt△ABC，由∠BAC=45°得到AC=BC=5，再用勾股定理求出AB的长，最后可得大树在折断前的高度.
【详解】解：如图，把题中图形抽象成如下图：
∵∠BAC=45°，∠BCA=90°，
∴AC=BC=5，
∴AB==5，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=(5＋5)米．
故答案为(5＋5)
【点睛】此题主要利用了勾股定理解决问题，解题时要正确理解题意，把握题目的数量关系．
9．/
【分析】过点作于点，过点作于点，根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，再证明和是等腰直角三角形，利用勾股定理，求得，，然后根据角平分线的性质定理，得到，最后利用列式求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
平分，，，
，
，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，解题关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
10．/0.6
【分析】先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据余弦函数的定义即可求解．
【详解】∵四边形为矩形，
∴，，
∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
∴，，
在中，
∴，
∴，
设，则
在中，∵，
∴，解得，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，三角函数．
11． 9 11.3
【分析】A、首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数；
B、利用科学计算器计算可得．
【详解】解：A．∵正多边形的一个内角是140°，
∴它的外角是：180°-140°=40°，
则这个正多边形的边数为：360°÷40°=9．
故答案为：9．
B.13××sin14°≈13×3.61×0.24≈11.3，
故答案为：11.3．
【点睛】此题主要考查了多边形的外角与内角和计算器的使用，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．
12．
【分析】过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：米，，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：如图：过点作，垂足为，延长交于点，
由题意得：米，，，
设米，
米，
在中，，
（米），
在中，，
米，
，
解得：，
米，米，
在中，，
米，
米，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．(1)0.7314
(2)0.2164
(3)0.9041
(4)
【分析】利用计算器求出结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
【点睛】本题考查计算锐角三角函数值，熟练使用计算器是解题的关键．
14．河宽AC为98m.
【分析】把△ABC按1∶1000在纸上画出，得到Rt△A′B′C′，利用比例尺求出河宽AC.
【详解】解：把△ABC按1∶1000在纸上画出，∠C′＝90°，∠B′＝70°，B′C′∶BC＝1∶1000，B′C′=3.57cm，得到Rt△A′B′C′
则△ABC∽A′B′C′.
用刻度尺量得A′C′＝9.8cm.
则，
∴AC＝98m.
即河宽AC为98m.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，通过比例尺作图的方式构建相似三角形，然后列出比例式是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，然后利用平行四边形的判定和性质得出四边形是平行四边形，证明；
（2）根据直角三角形的性质得出，再根据（1）可知四边形是平行四边形证明四边形是菱形．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
点C是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）证明：由（1）可知四边形是平行四边形，
，点C是的中点，
，
平行四边形是菱形．
【点睛】本题考查菱形的判定，关键是根据平行四边形的性质得出解答．
16．（1）；（2）见解析
【分析】（1）先根据算术平方根和零指数幂的运算法则、绝对值意义和特殊角的三角函数值求解，再加减运算即可；
（2）根据平行四边形和折叠的的性质得到，再根据等腰三角形的判定可得结论．
【详解】解：（1）
；
（2）∵中，，
∴．
由折叠得：，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算、零指数幂、平行四边形的性质、折叠性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关运算法则和性质是解答的关键．
17．君子莲雕塑的高度为
【分析】设，则，，根据，列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意可得：，，，，
设，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
，
解得：
则．
答：君子莲雕塑的高度为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握各个特殊角度锐角三角函数值，以及解直角三角形的方法和步骤．
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第24章 解直角三角形 单元练习 2023-2024学年 华师大版九年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为 1.6 m，并测得BC=2.2 m ，CA=0.8 m, 那么树DB的高度是（ ）
A．6 m B．5.6 m C．5.4 m D．4.4 m
2．如图，在中，平分，于点F，D为的中点，连接并延长交于点E．若，，则线段的长为（ ）
A．5 B．8 C．3 D．4
3．如图，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（ ）
5．如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若是轴上的动点，则的最小值( )
A． B． C． D．
6．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口A和B的距离．点D，点E分别位于测绘点C的正北和正西方向．已知测得两定位点E和D与隧道口A和B的距离分别为和，测绘点H，G分别为，的中点，测绘方在测绘点H测得点G在点H的南偏西的方向上，且，则隧道的长约为（ ）（参考数据：）
A．1600m B．1300m C．980m D．900m
二、填空题
8．如图，一棵大树被风吹断，已知折断处距地面5米，树的折断部分与地面成45°的角，这棵大树有 米．
9．如图，在中，，，，交于点，平分交于点，则的长为 ．
10．如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值是 ．
11．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是 ．
B．用科学计算器计算：13××sin14°≈ （结果精确到0.1）
12．如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为 米．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数）
三、解答题
13．用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
14．如图，为了测量河的宽度，可以先在河对岸找到一个具有明显标志的点A，再在所在的岸边找到两点B、C，使△ABC构成直角三角形．如果测得BC＝35.7m，∠ABC＝70°，求河的宽度AC.
15．如图，四边形是平行四边形，延长至E，使点C是的中点，连接，，，，与相交于点O．
(1)求证：；
(2)当时，求证：四边形是菱形．
16．（1）计算：
（2）如图，在中，将沿对角线翻折得到，交于点E，求证：是等腰三角形．
17．为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革．湘潭某中学推进项目式学习，组织九年级数学兴趣小组，测量莲城（湘潭市）的地标：君子莲雕塑．君子莲雕塑采用抽象艺术手法，一朵含苞欲放的莲花，象征着美好的未来．雕塑所蕴含的“出污泥而不染，濯清涟而不妖”的高洁品格，启发、激励着一代又一代的湘潭人民向着美好未来奋勇前行．如图，测量小组在君子莲雕塑前的B点观测雕塑顶部A的仰角为，然后将观测点沿雕塑底部C的水平方向移动了到点D，在D点观测的仰角为，求君子莲雕塑的高度．（结果保留一位小数，）
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参考答案：
1．A
【分析】先根据相似三角形的判定定理得出Rt△ACE∽Rt△ABD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BD的长．
【详解】解：∵EC∥AB，BD⊥AB，
∴EC∥BD，∠ACE=∠ABD=90°，
在Rt△ACE∽Rt△ABD中，∠A=∠A，∠ACE=∠ABD=90°，
∴Rt△ACE∽Rt△ABD，
∴，即
，解得BD=6m．
故选A．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例．
2．C
【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得，且，结合角平分线可得，即，进而可得，由可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，D为的中点，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是证明是的中位线．
3．D
【分析】过点A作交于点D，先根据三角函数求出，再根据勾股定理求出，进而可得出答案．
【详解】解：过点A作交于点D，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查三角函数及勾股定理，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
4．A
【分析】先利用正弦的定义得到sinA＝0.25，然后利用计算器求锐角∠A．
【详解】解：sinA＝＝0.25，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为：
故选：A．
【点睛】本题考查了计算器 三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
5．B
【分析】，先得到，作点的对称点，作，所以，可得，可得当、、共线时，最小，进而可求得．
【详解】解：如图，作点的对称点，作于点，
一次函数交轴于点，
当时，，当时，，
，，，，
，
，
，
在的延长线上取，
，
作于，
，
，
当、、在同一条直线上时，
最小，
过点作于，
在中，，
，
最小值是，
最小值是，
故选：B．
【点睛】本题考查了“胡不归”问题，即形式问题，解决问题的关键是根据三角函数构造出或．
6．C
【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出；
【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠AOD=60°，
∴∠AOD=∠BOC=60°，
∴DG=DO，
同理可得：BH=BO，
S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH
=×AC××（DO+BO）
=，
故选：C．
【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键．
7．B
【分析】先解直角三角形求出，然后根据三角形中位线定理求出，即可求解．
【详解】解：由题意知：，，，，
在中，，
∴，
∵点H，G分别为，的中点，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方位角问题，三角形中位线定理等，明确题意，熟悉相关性质是解题的关键．
8．(5＋5)
【分析】把题中图形抽象成Rt△ABC，由∠BAC=45°得到AC=BC=5，再用勾股定理求出AB的长，最后可得大树在折断前的高度.
【详解】解：如图，把题中图形抽象成如下图：
∵∠BAC=45°，∠BCA=90°，
∴AC=BC=5，
∴AB==5，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=(5＋5)米．
故答案为(5＋5)
【点睛】此题主要利用了勾股定理解决问题，解题时要正确理解题意，把握题目的数量关系．
9．/
【分析】过点作于点，过点作于点，根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，再证明和是等腰直角三角形，利用勾股定理，求得，，然后根据角平分线的性质定理，得到，最后利用列式求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
平分，，，
，
，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，解题关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
10．/0.6
【分析】先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据余弦函数的定义即可求解．
【详解】∵四边形为矩形，
∴，，
∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
∴，，
在中，
∴，
∴，
设，则
在中，∵，
∴，解得，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，三角函数．
11． 9 11.3
【分析】A、首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数；
B、利用科学计算器计算可得．
【详解】解：A．∵正多边形的一个内角是140°，
∴它的外角是：180°-140°=40°，
则这个正多边形的边数为：360°÷40°=9．
故答案为：9．
B.13××sin14°≈13×3.61×0.24≈11.3，
故答案为：11.3．
【点睛】此题主要考查了多边形的外角与内角和计算器的使用，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．
12．
【分析】过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：米，，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：如图：过点作，垂足为，延长交于点，
由题意得：米，，，
设米，
米，
在中，，
（米），
在中，，
米，
，
解得：，
米，米，
在中，，
米，
米，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．(1)0.7314
(2)0.2164
(3)0.9041
(4)
【分析】利用计算器求出结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
【点睛】本题考查计算锐角三角函数值，熟练使用计算器是解题的关键．
14．河宽AC为98m.
【分析】把△ABC按1∶1000在纸上画出，得到Rt△A′B′C′，利用比例尺求出河宽AC.
【详解】解：把△ABC按1∶1000在纸上画出，∠C′＝90°，∠B′＝70°，B′C′∶BC＝1∶1000，B′C′=3.57cm，得到Rt△A′B′C′
则△ABC∽A′B′C′.
用刻度尺量得A′C′＝9.8cm.
则，
∴AC＝98m.
即河宽AC为98m.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，通过比例尺作图的方式构建相似三角形，然后列出比例式是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，然后利用平行四边形的判定和性质得出四边形是平行四边形，证明；
（2）根据直角三角形的性质得出，再根据（1）可知四边形是平行四边形证明四边形是菱形．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
点C是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）证明：由（1）可知四边形是平行四边形，
，点C是的中点，
，
平行四边形是菱形．
【点睛】本题考查菱形的判定，关键是根据平行四边形的性质得出解答．
16．（1）；（2）见解析
【分析】（1）先根据算术平方根和零指数幂的运算法则、绝对值意义和特殊角的三角函数值求解，再加减运算即可；
（2）根据平行四边形和折叠的的性质得到，再根据等腰三角形的判定可得结论．
【详解】解：（1）
；
（2）∵中，，
∴．
由折叠得：，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算、零指数幂、平行四边形的性质、折叠性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关运算法则和性质是解答的关键．
17．君子莲雕塑的高度为
【分析】设，则，，根据，列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意可得：，，，，
设，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
，
解得：
则．
答：君子莲雕塑的高度为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握各个特殊角度锐角三角函数值，以及解直角三角形的方法和步骤．
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