第21章 二次根式 单元练习 2023-2024学年 华师大版九年级数学上册（含解析）

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第21章 二次根式 单元练习 2023-2024学年 华师大版九年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．若有意义，则可以取（ ）
A．0 B． C． D．
2．计算的结果为（ ）
A．1 B． C． D．5
3．如果成立，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
4．若，且，则的值为（　　）．
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．边长分别为a、b、c的三角形面积可由公式求出，其中，这个公式是由大约公元1世纪的古希腊数学家海伦首先发现的，因此把这个公式叫做海伦三角形面积公式．已知三边长分别为和，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．要使代数式有意义，则a的取值范围为 ．
10．如图，在正方形中，，E为的中点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为 ．
11．观察下列各式及其验证过程．
.
验证：
同理可得：，，
…
通过上述探究你能猜测出： ______()，并验证你的结论．
12．从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
13．[阅读与计算]：求三边长分别为a、b、c的三角形的面积S．古希腊几何学家海伦在《度量》一书中给出了“海伦公式”：（其中）；我国南宋数学家秦九韶在《数学九章》中提出三斜求积术：；若一个三角形的三边长分别是、、，请选择一种方法求这个三角形的面积．
三、解答题
14．（1）计算：；
（2）下面是王亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务．
解：方程两边同乘以，得 第一步 ． 第二步 第三步 第四步 经检验：是原方程的解． 第五步 ∴原方程的解是 第六步
任务一：
①以上求解过程中，第一步的依据是______；
②王亮同学的求解过程从第______步开始出现错误，整个解答过程．
从前一步到后一步的变形共出现______处错误：
③分式方程检验的目的是______．
任务二：请你直接写出这个方程的正确解______．
15．观察下列等式：
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
……
根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第四个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并给出证明．
16．细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题．（其中Sn表示图中第n个三角形的面积），，，，，…
(1)用含有n（n是正整数）的式子表示：　 　，　 　；
(2)若一个三角形的面积是，请通过计算说明这是第几个三角形：
(3)求出的值．
17．在等腰和等腰中，，，连接、交于点．
(1)如图若，则与的数量关系为___________；的度数为___________；
(2)如图，若，判断与之间存在怎样的关系？并说明理由；
(3)在（2）的条件下，当，且点与点重合时，请直接写出与之间存在的数量关系．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数进行求解即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
即可以取的值是0．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
2．A
【分析】利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】此题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．A
【分析】根据二次根式的意义，被开方数大于等于0，列不等式组求解．
【详解】∵，
∴，
解得：﹣3≤x≤3．
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
4．C
【分析】用已知式子分别表示出，，再计算它们的商即可得结论．
【详解】解：，
， ．
，．
， ．
，
，．
．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的运算和整式的变形，掌握二次根式的运算和完全平方公式是解决本题的关键．其中，开平方运算时，确定符号是本题的难点．
5．B
【分析】由整式的加减法运算法则判定A选项；由单项式除以单项式的运算法则判定B选项；由二次根式的加法运算法则判定C选项；由完全平方公式判定D选项．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、与不是同类二次根式，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查整式的混合运算，二次根式的加减运算，熟练掌握整式的减法、除法运算法则，完全平方公式，二次根式的加法运算法则是解题的关键．
6．A
【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转，连接，相交于点O，与交于点E，根据菱形的性质推出的长，再根据菱形的性质推出与的长，再根据重叠部分的面积求解即可．②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积．
【详解】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，
连接，相交于点O，与交于点E，

∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，
∴，
∴A，，C三点共线，
∴，
又∵，
∴，，
∵重叠部分的面积，
∴重叠部分的面积；
②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键．
7．D
【分析】先根据得出，，根据要有意义，得出，根据得出，从而得出，将代入即可求出式子的值．
【详解】解：∵，
∴，，
∵要有意义，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴
，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式有意义的条件得出．
8．A
【分析】先计算出p的值，再将三角形的三边代入海伦公式计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
9．/
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
【详解】解：代数式有意义，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，根据题意得出关于a的不等式是解题的关键．
10．
【分析】由正方形，可得，，，证明，求解，再结合旋转的性质与勾股定理可得答案．
【详解】解：∵正方形，
∴，，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
由旋转可得：，，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，熟记旋转的性质是解本题的关键．
11．，见解析.
【分析】首先理解题意，结合题意对原式进行计算，继而可求得答案．
【详解】．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，读懂题目，熟练应用二次根式的性质进行化简是解题关键.
12．（或或，写出一种结果即可）
【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．
【详解】解：①选择和，
则
．
②选择和，
则
．
③选择和，
则
．
故答案为：（或或，写出一种结果即可）．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
13．3
【分析】方法一：一个三角形的三边长分别是、、，令，再代入进行计算即可；
方法二：一个三角形的三边长分别是、、，令，再代入进行计算即可．
【详解】方法一：
解：∵一个三角形的三边长分别是、、，
令，
∴，
∴，
，
，
∴
．
方法二：
∵一个三角形的三边长分别是、、，
令，
∴，，
∴
．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，三角形的面积的计算，准确的进行计算是解本题的关键．
14．（1）
（2）任务一：①等式的性质；②二，3；③判定解是否是增根
任务二：
【分析】（1）先计算乘方与开方，并去绝对符号，再计算加减即可；
（2）先去分母，将分式方程转化成整式方程求解，然后检验即可．
【详解】解：（1）
；
（2）任务一：①方程两边同乘以，得，依据是等式的性质；
②第二步，，漏乘了项，应为
∴王亮同学的求解过程从第二步开始出现错误，
第三步，左边应为不是，
第四步，计算错误，应为不是，
∴整个解答过程，从前一步到后一步的变形第二步、第三步、第四步共出现3处错误；
③分式方程检验的目的是判定解是否是增根．
任务二：解：方程两边同乘以，得
，
．，
，
，
经检验：是原方程的解．
∴原方程的解是．
【点睛】本题考查实数的运算，解分式方程，熟练掌握负整指数幂与零指数幂运算法则，正确解分式方程的解法是解题的关键．
15．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）由前三个等式得出规律，即可得出结果；
（2）由规律得出答案，再验证即可．
【详解】（1）解：由题意可得：第四个等式为：，
故答案为：；
（2）猜想的第n个等式为：，
验证：
所写等式正确．
【点睛】本题主要考查数式的变化规律，二次根式的化简，归纳推理等知识，根据题意得出规律是解决问题的关键．
16．(1)n，
(2)它是第20个三角形
(3)
【分析】（1）利用勾股定理求出推出，即可得到；
（2）根据（1）所求把代入中进行求解即可；
（3）根据进行求解即可．
【详解】（1）解：∵每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：
，…，，
∴．
∴，
故答案为：n，．
（2）解：若一个三角形的面积是，则，
∴，即，
∴这是第20个三角形，
（3）解：，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，图形类的规律探索，化简二次根式，正确理解题意和熟知勾股定理是解题的关键．
17．(1)，
(2)，，理由见解析
(3)或
【分析】（1）设、相交于H，证明得到，，再利用的内角和定理和对顶角相等求解即可；
（2）同（1），证明得到，，再利用的内角和定理和对顶角相等求解即可；
（3）由题意，B、C、D三点共线，有两种情况，分别画出图形，利用（2）中结论和含30度角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质得到，，再根据，即可得出数量关系．
【详解】（1）解：如图1，设、相交于H，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
故答案为：，；
（2）解：，，理由为：
设、相交于H，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，，
∴；
（3）解：由题意，B、C、D三点共线，有两种情况：
①如图3，
∵，，，
∴，，，
由（2）知，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，则，
∴，
则，
∴；
②如图四，
同上，，， ，，，
∴，
则，
∴，
综上，或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质，三角形的内角和定理、全等三角形判定和性质，含的直角三角形性质，勾股定理等知识，解答的关键是熟练掌握全等三角形判定和性质，利用类比的方法，先根据题（1）中的特例感知解决问题的方法，且得出重要的结论，在此结论基础上深入探究，结合此结论解决问题．
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