2.11有理数的混合运算【素养基础达标】 2023—2024学年北师大版数学七年级上册（含解析）

2.11有理数的混合运算【素养基础达标】
2023-2024学年北师大版数学七年级上册
基础知识梳理
二、有理数的运算
1、运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的
2、运算律
①加法交换律：a+b=b+a
②加法结合律：（a+b)+c=a+（b+c)
③乘法交换律：ab=ba
④乘法结合律：(ab)c=a(bc)
⑤乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+bc
3、有理数的加法法则
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
②异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值
③一个数同0相加，仍得这个数
4、有理数的减法法则
①减去一个数，等于加上这个数的相反数
5、有理数的乘法法则
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
②任何数与0相乘，积仍为0
③几个不为0的因数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正；当负因数的个数是奇数时，积为负。
6、有理数的除法法则
①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
②0除以任何非0数都得0，0不可作为除数，否则无意义
③除以一个数，等于乘以这个数的倒数
7、有理数的乘方
①几个相同因数积的运算叫做乘方
②一个数可以看作是本身的一次方
③当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数
④乘方的运算性质
(1) 正数的任何次幂都是正数
(2) 负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数
(3) 任何数的偶数次幂都是非负数，即a2≥0
(4) 1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0（0除外，0没有0次幂）
(5) -1的偶次幂得1，-1的奇次幂得-1
(6) 在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．在计算时，下列是三位同学的过程．甲：原式；乙：原式；丙：原式，则　　
A．甲正确 B．乙正确
C．丙正确 D．甲、乙、丙均不正确
2．符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）（1），（2），（3）；
（2），，．
利用以上规律计算：等于　　
A．2021 B．2022 C． D．
3．若，，，是不为零的有理数，且，互为相反数，，互为倒数，则的值是　　
A．0 B．1 C． D．2
4．下列各数中，负数是　　
A． B． C． D．
5．下列各式计算结果为负数的是　　
A． B． C． D．
6．若使得算式□0.25的值最小，则“□”中填入的运算符号是　　
A． B． C． D．
7．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，☆，为常数）．例如：4☆．若2☆，则4☆6的值为　　
A．7 B．8 C．9 D．10
8．若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于4，则的值是　　
A． B．65 C．或65 D．63或
9．求的值，可令，则，因此，．参照以上推理，计算的值为　　
A． B． C． D．
10．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是　　
A． B．1 C．3 D．
二．填空题（共8小题）
11．如果定义新的运算符号“”为：，那么　 　．
12．世界杯足球赛每4年举办一次，第20届世界杯于2014年在巴西举办，则第50届世界杯将于 　　年举办．
13．某次数学检测，以85分为基准，老师公布的成绩如下：周扬分，王婷0分，张江分，则他们三人的实际平均得分为 　　分．
14．有20位代表出席一次会议，每位代表都与其他代表握手一次，那么共握手 　　次．
15．计算：　　．
16．计算：　　．
17．若、互为相反数，、互为倒数，，则　　．
18．已知和两个有理数，规定一种新运算“”为：（其中，若，则　　．
三．解答题（共8小题）
19．计算：．
20．计算：
（1）；
（2）．
21．计算．
22．计算：．
23．计算：
（1）．
（2）．
24．计算：
（1）；
（2）．
25．计算：
（1）；
（2）．
26．计算：．
2.11有理数的混合运算【素养基础达标】
2023-2024学年北师大版数学七年级上册
基础知识梳理
二、有理数的运算
1、运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的
2、运算律
①加法交换律：a+b=b+a
②加法结合律：（a+b)+c=a+（b+c)
③乘法交换律：ab=ba
④乘法结合律：(ab)c=a(bc)
⑤乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+bc
3、有理数的加法法则
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
②异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值
③一个数同0相加，仍得这个数
4、有理数的减法法则
①减去一个数，等于加上这个数的相反数
5、有理数的乘法法则
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
②任何数与0相乘，积仍为0
③几个不为0的因数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正；当负因数的个数是奇数时，积为负。
6、有理数的除法法则
①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
②0除以任何非0数都得0，0不可作为除数，否则无意义
③除以一个数，等于乘以这个数的倒数
7、有理数的乘方
①几个相同因数积的运算叫做乘方
②一个数可以看作是本身的一次方
③当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数
④乘方的运算性质
(1) 正数的任何次幂都是正数
(2) 负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数
(3) 任何数的偶数次幂都是非负数，即a2≥0
(4) 1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0（0除外，0没有0次幂）
(5) -1的偶次幂得1，-1的奇次幂得-1
(6) 在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．在计算时，下列是三位同学的过程．甲：原式；乙：原式；丙：原式，则　　
A．甲正确 B．乙正确
C．丙正确 D．甲、乙、丙均不正确
【答案】
【分析】根据题目中的式子，通过变形，即可判断甲、乙、丙是否正确．
【解答】解：，故甲错误，
，故乙错误；
，故丙错误；
故选：．
2．符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）（1），（2），（3）；
（2），，．
利用以上规律计算：等于　　
A．2021 B．2022 C． D．
【答案】
【分析】从已知可得，为正整数时，，，从而可得答案．
【解答】解：由（1）知，
由（2）知，
，
故选：．
3．若，，，是不为零的有理数，且，互为相反数，，互为倒数，则的值是　　
A．0 B．1 C． D．2
【答案】
【分析】先根据相反数和倒数的性质、定义得出，，再代入计算即可．
【解答】解：由题意知，，
则原式
，
故选：．
4．下列各数中，负数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】把各数进行化简，再判断即可．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
5．下列各式计算结果为负数的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用有理数的乘方，减法的法则，绝对值的意义，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
6．若使得算式□0.25的值最小，则“□”中填入的运算符号是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】将“，，”分别代入□，然后计算出式子的结果，再比较大小，即可解答本题．
【解答】解：，，，，
，
若使得算式□0.25的值最小，则“□”中填入的运算符号是“”，
故选：．
7．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，☆，为常数）．例如：4☆．若2☆，则4☆6的值为　　
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】
【分析】先根据新定义得出2☆，计算出的值，再按新定义计算4☆6，将的值代入计算即可．
【解答】解：由题意知，2☆，
解得，
因此4☆．
故选：．
8．若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于4，则的值是　　
A． B．65 C．或65 D．63或
【答案】
【分析】先根据相反数性质、倒数的定义及绝对值的概念得出，，或，再分别代入计算即可．
【解答】解：根据题意知，，或，
当时，原式
；
当时，原式
；
综上，的值是65或，
故选：．
9．求的值，可令，则，因此，．参照以上推理，计算的值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】仿照题目中的例子，先写出，然后作差，即可求得所求式子的值．
【解答】解：，
，
，
，
，
故选：．
10．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是　　
A． B．1 C．3 D．
【答案】
【分析】根据数轴可以得到，，然后即可将所求式子的绝对值去掉，再化简即可．
【解答】解：由数轴可得，
，，
，
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．如果定义新的运算符号“”为：，那么　　．
【分析】根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
故答案为：．
12．世界杯足球赛每4年举办一次，第20届世界杯于2014年在巴西举办，则第50届世界杯将于 　2134　年举办．
【答案】2134．
【分析】根据有理数的运算法则直接列式计算即可．
【解答】解：世界杯足球赛每4年举办一次，第20届世界杯于2014年在巴西举办，
第50届世界杯的举办时间为：（年，
故答案为：2134．
13．某次数学检测，以85分为基准，老师公布的成绩如下：周扬分，王婷0分，张江分，则他们三人的实际平均得分为 　83　分．
【答案】83．
【分析】根据正数和负数表示的实际意义以及算术平均数的定义解决此题．
【解答】解：由题意可知，周扬的得分为：（分，王婷是85分；张江的得分是：（分，
所以三人的实际平均得分为：（分．
故答案为：83．
14．有20位代表出席一次会议，每位代表都与其他代表握手一次，那么共握手 　190　次．
【答案】190．
【分析】利用握手的总次数参会人数（参会人数，即可求出结论．
【解答】解：
（次．
故答案为：190．
15．计算：　32　．
【答案】32．
【分析】先算乘方，再算加法即可．
【解答】解：
，
故答案为：32．
16．计算：　　．
【答案】．
【分析】先算乘方运算和括号内的，再算乘除，最后算加减．
【解答】解：
，
故答案为：．
17．若、互为相反数，、互为倒数，，则　1或5　．
【答案】1或5．
【分析】根据倒数的定义，相反数和绝对值的概念可求和的值，从而求出代数式的值．
【解答】解：由题意得：，，，
当时，原式；
当时，原式．
故答案为：1或5．
18．已知和两个有理数，规定一种新运算“”为：（其中，若，则　　．
【答案】．
【分析】根据新运算法则直接列式求解即可得到答案；
【解答】解：，，
，
解得：，
经检验符合题意．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
19．计算：．
【答案】．
【分析】先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可．
【解答】解：
．
20．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）15；
（2）．
【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可；
（2）先算绝对值，再根据有理数的除法运算法则计算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
21．计算．
【答案】12．
【分析】先算乘方，再算除法，最后算加减法即可．
【解答】解：
．
22．计算：．
【答案】6．
【分析】先算乘方和括号内的式子，再算括号外的乘除法，最后算加法即可．
【解答】解：
．
23．计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）22；（2）．
【分析】（1）利用乘法分配律展开，再进一步计算即可；
（2）先计算乘方和括号内运算，再计算乘法，最后计算加法即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
24．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先算乘法，再算加减即可；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
25．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2）．
【分析】（1）先去括号，在合并同类项；
（2）先变形再利用分配律解答即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
26．计算：．
【答案】．
【分析】利用乘方运算、绝对值的定义和有理数的混合运算法则计算．
【解答】解：
．