2.6有理数的加减混合运算【素养基础达标】2023—2024学年北师大版数学七年级上册（含解析）

2.6有理数的加减混合运算【素养基础达标】
2023-2024学年北师大版数学九年级上册
基础知识梳理
二、有理数的运算
1、运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的
2、运算律
①加法交换律：a+b=b+a
②加法结合律：（a+b)+c=a+（b+c)
③乘法交换律：ab=ba
④乘法结合律：(ab)c=a(bc)
⑤乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+bc
3、有理数的加法法则
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
②异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值
③一个数同0相加，仍得这个数
4、有理数的减法法则
①减去一个数，等于加上这个数的相反数
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．把写成省略加号和括号的形式后的式子是　　
A． B． C． D．
2．将写成省略加号的和的形式为　　
A． B． C． D．
3．下面算式与的值相等的是　　
A． B．
C． D．
4．按照有理数加法则，计算的正确过程是　　
A． B． C． D．
5．下列运算错误的是　　
A． B． C． D．
6．如图，比数轴上点表示的数大3的数是　　
A． B．0 C．1 D．2
7．下列算式：①；②；③；④，其中计算正确的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列等式正确的是　　
A． B． C． D．
9．一天早晨的气温为，中午上升了，半夜又下降了，则半夜的气温是　　
A． B． C． D．
10．下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
二．填空题（共8小题）
11．阅读并回答：
我们知道，数轴上表示5和的两点之间的距离可以表示为，计算，即5和的两点之间的距离是7．事实上，数轴上表示和的两点之间的距离可以表示为．
思考并回答下列问题：
（1）表示两点 　　的距离，表示两点 　　的距离；
（2）在数轴上表示和的两点和的距离是 　　；（用含的代数式表示）如果，那么　　．
（3）猜想对于有理数，能够取得的最小值是 　　．
（4）写出所有符合条件的整数，成立，这样的可以是 　　．
12．我县12月份某天早晨，气温为，中午上升了，晚上又下降了，则晚上气温为 　　．
13．我市某天上午的气温为，中午上升了，下午下降了，到了夜间又下降了，则夜间的气温为　　．
14．若是2的相反数，，是最大的负整数，求　　．
15．一台无人机从高度为的位置开始，先上升，后下降，这时这台无人机所在的高度是 　　．
16．把写成省略括号的形式 　　．
17．若是最大的负整数，是最小的正整数，的相反数是它本身，则　　．
18．小丽计划在某外卖网站点如下表所示的菜品．已知每份订单的配送费为5元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满70元减30元，满100元减40元．如果小丽在购买下表中的所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐的总费用最低可为　　元．
菜品 单价（含包装费） 数量
水煮牛肉（小 40元 1
醋溜土豆丝（小 12元 1
豉汁排骨（小 30元 1
手撕包菜（小 12元 1
米饭 3元 2
三．解答题（共8小题）
19．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
20．一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，半夜的气温是多少摄氏度？
21．计算：．
22．．
23．计算：
（1）；
（2）．
24．阅读材料：对于三位自然数，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“开心数”．例如：437是“开心数”，因为4，3，7都不为0，且，7能被7整除；724不是“开心数”，因为，9不能被4整除．
（1）判断674，243是否是“开心数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字小7的所有“开心数”的个数，并说明理由．
25．观察下面的等式：；；；；
回答下列问题：
（1）填空：　　；
（2）设满足上面特征的等式最左边的数为，则的最大值为 　　，此时的等式为 　　．
26．计算：．
2.6有理数的加减混合运算【素养基础达标】
2023-2024学年北师大版数学九年级上册
基础知识梳理
二、有理数的运算
1、运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的
2、运算律
①加法交换律：a+b=b+a
②加法结合律：（a+b)+c=a+（b+c)
③乘法交换律：ab=ba
④乘法结合律：(ab)c=a(bc)
⑤乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+bc
3、有理数的加法法则
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
②异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值
③一个数同0相加，仍得这个数
4、有理数的减法法则
①减去一个数，等于加上这个数的相反数
素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．把写成省略加号和括号的形式后的式子是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据去括号的法则和有理数加减法的法则可以将题目中的式子写成省略加号和的形式，本题得以解决．
【解答】解：
，
故选：．
2．将写成省略加号的和的形式为　　
A． B． C． D．
【分析】根据去括号法则省略括号和加号即可．
【解答】解：将写成省略加号的和的形式为，
故选：．
3．下面算式与的值相等的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据有理数的加减混合运算法则计算即可得出答案．
【解答】解：由于
．
对于选项，
，
故选项不符合；
对于选项，
，
故选项不符合；
对于选项，
，
故选项符合；
对于选项，
，
故选项不符合．
故选：．
4．按照有理数加法则，计算的正确过程是　　
A． B． C． D．
【分析】根据有理数的加法法则：异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，再用大绝对值减去小绝对值即可．
【解答】解：，
故选：．
5．下列运算错误的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据有理数的加法法则计算即可判断；
根据有理数的减法法则计算即可判断；
根据有理数的减法法则计算即可判断；
根据有理数的去括号法则计算即可判断；
【解答】解：，故正确；
，故错误；
，故正确；
，故正确．
故选：．
6．如图，比数轴上点表示的数大3的数是　　
A． B．0 C．1 D．2
【答案】
【分析】结合数轴得出对应的数，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：由数轴可得：表示，则比数轴上点表示的数大3的数是：．
故选：．
7．下列算式：①；②；③；④，其中计算正确的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】利用有理数的加减法法则对每个算式进行判断即可得出结论．
【解答】解：，
①的运算正确；
，
②的运算不正确；
，
③的运算正确；
，
④的运算正确，
综上，计算正确的有3个，
故选：．
8．下列等式正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】、、选项先根据绝对值的性质求值，再根据加法法则计算；
、根据减法法则计算．
【解答】解：、原式，不符合题意；
、原式，符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式，不符合题意；
故选：．
9．一天早晨的气温为，中午上升了，半夜又下降了，则半夜的气温是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】本题需先算出中午的温度，再根据半夜又下降了，即可算出半夜的气温的度数．
【解答】解：依题意有
．
故选：．
10．下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据有理数的加减运算的法则求解．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．阅读并回答：
我们知道，数轴上表示5和的两点之间的距离可以表示为，计算，即5和的两点之间的距离是7．事实上，数轴上表示和的两点之间的距离可以表示为．
思考并回答下列问题：
（1）表示两点 　和3　的距离，表示两点 　　的距离；
（2）在数轴上表示和的两点和的距离是 　　；（用含的代数式表示）如果，那么　　．
（3）猜想对于有理数，能够取得的最小值是 　　．
（4）写出所有符合条件的整数，成立，这样的可以是 　　．
【答案】（1）和3，和；
（2），1或；
（3）3；
（4）或3．
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可；
（2）根据数轴上两点间的距离公式求解即可；
（3）当在和2之间时，能够取得最小值，进一步计算即可；
（4）分情况讨论：当在左边时，当在2右边时，分别计算即可．
【解答】解：（1）根据题意，表示和3的距离，表示和的距离，
故答案为：和3，和；
（2）在数轴上表示和的两点的距离是：，
当，则，
解得或，
故答案为：，1或；
（3）表示和的两点的距离，表示和2的两点的距离，
当在和2之间时，能够取得最小值，
能够取得的最小值是，
故答案为：3；
（4），
当在左边时，
则有，
解得，
当在2的右边时，
则有，
解得，
符合条件的整数或3，
故答案为：或3．
12．我县12月份某天早晨，气温为，中午上升了，晚上又下降了，则晚上气温为 　　．
【答案】．
【分析】根据题意列式并计算．
【解答】解：
，
故答案为：．
13．我市某天上午的气温为，中午上升了，下午下降了，到了夜间又下降了，则夜间的气温为　　．
【分析】首先用我市某天上午的气温加上中午上升的温度，求出中午的温度是多少；然后用它减去下午、夜间又下降的温度，求出夜间的气温为多少即可．
【解答】解：
答：夜间的气温为．
故答案为：．
14．若是2的相反数，，是最大的负整数，求　　．
【答案】．
【分析】根据题意，可得：，，，据此求出的值即可．
【解答】解：是2的相反数，，是最大的负整数，
，，，
．
故答案为：．
15．一台无人机从高度为的位置开始，先上升，后下降，这时这台无人机所在的高度是 　　．
【答案】．
【分析】根据题意列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：，
故答案为：．
16．把写成省略括号的形式 　　．
【答案】．
【分析】把减法运算统一为加法运算，再省略括号．
【解答】解：
，
故答案为：．
17．若是最大的负整数，是最小的正整数，的相反数是它本身，则　　．
【答案】．
【分析】利用有理数的相关概念和相反数的意义分别求得，，的值，然后代入运算即可得出结论．
【解答】解：是最大的负整数，
，
是最小的正整数，
，
的相反数是它本身，
．
，
故答案为：．
18．小丽计划在某外卖网站点如下表所示的菜品．已知每份订单的配送费为5元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满70元减30元，满100元减40元．如果小丽在购买下表中的所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐的总费用最低可为　65　元．
菜品 单价（含包装费） 数量
水煮牛肉（小 40元 1
醋溜土豆丝（小 12元 1
豉汁排骨（小 30元 1
手撕包菜（小 12元 1
米饭 3元 2
【分析】根据满30元减12元，满70元减30元，满100元减40元，即可得到结论．
【解答】解：小丽应采取的订单方式是100一份，
所以点餐总费用最低可为（元．
答：他点餐的总费用最低可为65元．
故答案为：65．
三．解答题（共8小题）
19．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）10；
（4）3.5．
【分析】（1）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可；
（2）先求绝对值，再将加减统一为加法，利用加法的交换律与结合律进行计算；
（3）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可；
（4）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
20．一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，半夜的气温是多少摄氏度？
【答案】．
【分析】根据上升记为正，下降记为负，可得数的表示，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：．
答：半夜的气温是．
21．计算：．
【答案】1.75．
【分析】利用有理数的加减运算计算即可．
【解答】解：
．
22．．
【答案】3．
【分析】利用有理数的加减运算，计算即可．
【解答】解：
．
23．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）4；（2）．
【分析】（1）去括号，再加减运算；
（2）去括号，再加减运算．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
24．阅读材料：对于三位自然数，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“开心数”．例如：437是“开心数”，因为4，3，7都不为0，且，7能被7整除；724不是“开心数”，因为，9不能被4整除．
（1）判断674，243是否是“开心数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字小7的所有“开心数”的个数，并说明理由．
【答案】（1）674不是“开心数”，243是“开心数”；
（2）181、183、189、291，共4个．
【分析】（1）根据“开心数”的定义逐个判断即可；
（2）设这个“开心数”的十位数字为，百位数字为，且是整数），求出，整数和9，再得出答案即可．
【解答】解：（1）674不是“开心数”，243是“开心数”．理由如下：
，13不能被4整除，
不是“开心数”，
、4、3都不为0，且，6能被3整除，
是“开心数”；
（2）设这个“开心数”的十位数字为，百位数字为，且是整数），
则：，
当时，，
因为9能被1、3、9整除，
所以满足条件的“开心数”有181、183、189，
当时，，
因为11能被1整除，
所以满足条件的“开心数”有291，
综上所述，满足条件的“开心数”有181、183、189、291，共4个．
25．观察下面的等式：；；；；
回答下列问题：
（1）填空：　0　；
（2）设满足上面特征的等式最左边的数为，则的最大值为 　　，此时的等式为 　　．
【答案】（1）0；（2）4；．
【分析】（1）利用题干中等式的特征解答即可；
（2）利用满足上面特征的等式的右边的最大值为3，得到关于 的不等式，由不等式的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：，
故答案为：0；
（2）满足上面特征的等式的右边的最大值为3，
，
，
的最大值为4，
此时的等式为：，
故答案为：4；．
26．计算：．
【答案】1.9．
【分析】利用有理数的加减混合运算计算即可．
【解答】解：
．